Presesjon

Den presesjon er navnet gitt til en gradvis endring i retning av rotasjonsaksen av et objekt eller, mer generelt, en vektor under påvirkning av miljøet, for eksempel, når et dreiemoment det er påført. Dette fenomenet observeres lett med en snurre, men alle roterende gjenstander kan gjennomgå presesjon. I løpet av presesjon, den vinkel som dannes av rotasjonsaksen eller vektoren med en gitt retning forblir imidlertid fast kalles nutation vinkel og generelt bemerket . Det er en av de tre vinklene til Euler . Vektoren eller rotasjonsaksen beskriver således over tid en kjegle hvis akse er den faste retningen. Denne kjeglen krysses med en konstant vinkelhastighet som bestemmes av dataene til problemet. Hvilken retning presesjonen skjer, avhenger av det vurderte problemet. θ{\ displaystyle \ theta}

Matematisk formel

Den matematiske formelen som beskriver nedgangen til en størrelse er skrevet IKKE{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}

dIKKEdt=Ω∧IKKE{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathbf {N}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ mathbf {\ Omega}} \ wedge {\ mathbf {N} }},

hvor er en konstant (eller muligens sakte varierende) vektormengde. Retningen bestemmer aksen til presisjonskeglen, og dens norm er homogen i en vinkelhastighet . I et slikt tilfelle foregår presesjonen i vinkelhastigheten Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Ωs=|Ω|{\ displaystyle \ Omega _ {p} = | {\ mathbf {\ Omega}} |},

og mot klokken i planet orientert av . Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Demonstrasjon

Ved å ta prikkproduktet fra startligningen med , får vi Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Ω⋅dIKKEdt=Ω⋅(Ω∧IKKE){\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}} \ cdot {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathbf {N}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ mathbf {\ Omega }} \ cdot \ left ({\ mathbf {\ Omega}} \ wedge {\ mathbf {N}} \ right)}.

Høyre side er null fordi den tilsvarer det blandede produkt som består av to identiske vektorer. Dette innebærer derfor at komponenten av er konstant over tid. Ved å utføre prikkproduktet fra startligningen med , oppnår vi denne tiden IKKE{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}IKKE{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}

IKKE⋅dIKKEdt=IKKE⋅(Ω∧IKKE){\ displaystyle {\ mathbf {N}} \ cdot {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathbf {N}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ mathbf {N}} \ cdot \ left ({\ mathbf {\ Omega}} \ wedge {\ mathbf {N}} \ right)}.

Av samme grunn som før er høyre side null. Venstre side av ligningen representerer variasjonen av normen for , noe som betyr at den er konstant over tid. Da komponenten parallell med også er konstant, er komponenten ortogonal til denne vektoren også konstant. IKKE{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

Når det gjelder komponenter, hvis vi velger et aksesystem som er parallelt med z- aksen , får vi Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

dIKKExdt=-ΩIKKEy{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {x}} {{\ rm {d}} t}} = - \ Omega N_ {y}}, dIKKEydt=ΩIKKEx{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {y}} {{\ rm {d}} t}} = \ Omega N_ {x}}, dIKKEzdt=0{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {z}} {{\ rm {d}} t}} = 0}.

Den siste ligningen gir konstanten til komponenten parallelt med . De to andre ligningene kombineres i IKKE{\ displaystyle {\ mathbf {N}}}Ω{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}

dIKKEx+JegIKKEydt=JegΩ(IKKEx+JegIKKEy){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} N_ {x} + iN_ {y}} {{\ rm {d}} t}} = i \ Omega (N_ {x} + iN_ {y}) }.

Ved å stille har vi, ved å merke et avledet med hensyn til tid, IKKEx+JegIKKEy=reksp⁡(Jegθ){\ displaystyle N_ {x} + iN_ {y} = r \ exp (i \ theta)}

(r˙+Jegrθ˙)eksp⁡(Jegθ)=JegΩreksp⁡(Jegθ){\ displaystyle \ left ({\ dot {r}} + ir {\ dot {\ theta}} \ right) \ exp (i \ theta) = i \ Omega r \ exp (i \ theta)} ,

er

(r˙+Jegrθ˙)=JegΩr{\ displaystyle \ left ({\ dot {r}} + ir {\ dot {\ theta}} \ right) = i \ Omega r}. Den virkelige delen av derivatet gir variasjonen av modulet til det komplekse tallet , som er null her. Den imaginære delen av derivatet gir, opp til en faktor r , variasjonen i argumentet. Denne variasjonen er her konstant, noe som viser at argumentet for varierer i vinkelhastigheten .IKKEx+JegIKKEy{\ displaystyle N_ {x} + iN_ {y}}IKKEx+JegIKKEy{\ displaystyle N_ {x} + iN_ {y}}Ω{\ displaystyle \ Omega}  

Presesjon kan forklares intuitivt med "kvadratisk hjulmodell".

De forskjellige typene presesjon

Et stort antall fysiske situasjoner gir opphav til et fenomen med presesjon:

• i mekanikk vil et roterende objekt som en topp eller et gyroskop oppleve en presesjonsbevegelse hvis den ikke er balansert, det vil si om den resulterende kraften til kreftene som utøves på den ikke er null.
• Oscillasjonsplanet til en Foucault-pendel gjennomgår en presesjon over tid, og manifesterer dermed jordens rotasjon . Den fysiske effekten bak dette er Coriolis-styrken .

I astronomi

Jevndøgnens presesjon

Et roterende legeme kan sees på som et gyroskop og kan gjøres til presisjon. Dette er for eksempel tilfellet med jorden , hvis polakse er i presesjon på grunn av gravitasjonsinteraksjoner med solen og månen . Dette fenomenet ble oppdaget av den greske astronomen Hipparchus kort tid etter år 150 f.Kr. J.-C.

Presesjon av orbital vinkelmoment

En kropp i bane vil, i tillegg til sin egen rotasjon, ha et banevinkelmoment som skyldes sin sirkulære eller elliptiske bevegelse rundt sentralkroppen. Retningen til banevinkelmomentet representerer det normale i planet for stjernens bane. Dette flyet kan til slutt gjennomgå en presesjon under påvirkning av andre himmellegemer. Det er det samme generelt når det gjelder kompleks bane rundt tyngdepunktet til flere systemer .

Apsidal presesjon

En kropp i elliptisk bane kan se sin bane forstyrres i sitt plan av andre stjerner. En av forstyrrelsene har en tendens til å variere aksen bestemt av banens semi-hovedakse ( Runge-Lenz-vektoren ). Dermed varierer retningen bestemt av banepunktet nærmest sentrallegemet over tid. Vi snakker om periheliets presesjon, eller mer generelt, utenfor solsystemet , om periapsis (eller periastronens forhånd). Fremskrittet av periapsis kan produseres ved interaksjoner med andre legemer, men kan også produseres ved et avvik fra sentralkroppens sfærisitet. En tredje mulig årsak til fremskrittet av periapsis er spådd av generell relativitet , en av de lettest observerbare effektene er et fremskritt av periapsis i tillegg til de andre årsakene som er oppført ovenfor. Fremgangen til periheliet til planeten Merkur var den første verifiseringen av teorien om generell relativitetsteori oppdaget av Albert Einstein . Systemet med den største relativistiske periastrale fremgangen er den doble pulsaren PSR J0737-3039 (mer enn 16 grader per år).

Einstein-de Sitter-effekten

En partikkel nedsenket i et gravitasjonsfelt vil også se sitt eget vinkelmoment inn i presesjon på grunn av eksistensen av denne. Vi snakker om Sitter-effekten , først forutsagt i 1916 av Willem de Sitter .

Geodetisk presesjon

Kombinasjonen av Thomas-presesjonen og Sitter-effekten kalles den geodetiske presesjonen.

Lense-Thiring-effekt

Den generelle relativitetsteorien forutsa også at et roterende legeme forårsaker en ringvirkning av romtiden i retning av dets rotasjon. Denne effekten, ofte kalt det engelske navnet frame-draging, er Lense-Thirring-effekten, oppdaget av Josef Lense og Hans Thirring i 1918, forårsaker en ekstra nedgang i kroppens banevinkelmoment hvis banens plan ikke ' er ikke vinkelrett på senterlegemets rotasjonsakse, så vel som en ytterligere presesjon av periapsis og egenvinkelmomentet til legemer utsatt for sentrallegemets innflytelse. I sistnevnte tilfelle snakker vi noen ganger om Schiff-presesjon . Lense-Thirring-effekten kan i prinsippet oppdages indirekte ved å studere akkretjonsskivene til kompakte gjenstander . Dens nøyaktig måling i gravitasjonsfeltet jorden er hensikten med oppdraget satellitt Gravity Probe B til NASA lansert i 2004 , og hvis resultatene, positiv, ble annonsert på4. mai 2011. Lense-Thirring-effekten er en av manifestasjonene av gravitomagnetisme , en formell og ufullkommen analogi mellom visse aspekter av generell relativitet og elektromagnetisme .

I atomfysikk

Precession of Larmor

En partikkel med magnetisk moment vil se at den går foran når partikkelen er nedsenket i et magnetfelt . Vi snakker da om Larmor-presesjon, hvor frekvensen kan måles.

Thomas presesjon

En partikkels egen vinkelmoment ( spinnet ) vil også gå ned hvis partikkelen akselereres. Dette resultatet, en konsekvens av spesiell relativitet , ble riktig forklart for første gang av Llewellyn Thomas i løpet av 1920-tallet og kalles Thomas presesjon.

Mekanisk presesjon

Når et roterende objekt opplever dreiemoment , endres rotasjonsaksen over tid. Dette er resultatet av teoremet om vinkelmoment , en konsekvens av det grunnleggende prinsippet om dynamikk uttrykt i andre halvdel av XVII -  tallet av Isaac Newton . Når dette dreiemomentet som utøves av en kraft med konstant retning (for eksempel den alvoret i jord ) på et objekt som har vinkelmoment er tilstrekkelig stort og hvis dreieakse går gjennom punktet for påføring av kraften, da objektet vil gå inn i presesjon, det vil si at dens vinkelmoment vil holde en konstant intensitet, men vil se sin retning beskrive en presisjon rundt styringsretningen.

I praksis vil en snurreplate lansert med tilstrekkelig høy hastighet tilfredsstille disse antagelsene. Rotasjonsaksen vil dermed holde en konstant vinkel med vertikalen (retning av tyngdekraften), men vil rotere med konstant hastighet (hvis friksjonen blir neglisjert ).

Presesjonens fysikk

Under disse forholdene er presesjonstiden som følger:

Ts=4π2JegsVSTs{\ displaystyle T_ {p} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} I_ {s}} {CT_ {s}}}},

Hvor I s er den treghetsmoment, T er perioden for rotasjon rundt rotasjonsaksen, og C er dreiemomentet. Dette uttrykket kan omskrives i form av tilsvarende vinkelhastigheter . Ved å notere ω er vinkelhastigheten av legemet ( ) og Ω p den for den presesjons ( ), har vi ωs=2π/Ts{\ displaystyle \ omega _ {s} = 2 \ pi / T_ {s}}Ωs=2π/Ts{\ displaystyle \ Omega _ {p} = 2 \ pi / T_ {p}}

Ωsωs=VSJegs{\ displaystyle \ Omega _ {p} \ omega _ {s} = {\ frac {C} {I_ {s}}}}.

Merknader og referanser

1. Péter Hantz og Zsolt I. Lázár , “  Precession intuitively explained  ”, Frontiers in Physics , vol.  7,2019( DOI  10.3389 / fphy.2019.00005 , les online )

Relaterte artikler

• Gyroskop
• Lagrange bevegelse av snurretoppen
• Ernæring
• Schiff Precession
• Snurre

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">