Christoffel symboler
I matematikk og fysikk er Christoffelsymboler (eller Christoffel- koeffisienter , eller forbindelseskoeffisienter ) et uttrykk for Levi-Civita-forbindelsen avledet fra metrisk tensor . Christoffels symboler brukes i de praktiske beregningene av romgeometrien: de er konkrete beregningsverktøy, for eksempel for å bestemme geodesikken til Riemannian-manifoldene , men på den annen side er håndteringen relativt lang, spesielt på grunn av antall involverte termer. .
Dette er grunnleggende verktøy som brukes innenfor rammene av generell relativitet for å beskrive virkningen av masse og energi på krumning av romtid .
Tvert imot tillater de formelle notasjonene for Levi-Civita-forbindelsen uttrykk for teoretiske resultater på en elegant måte, men har ingen direkte anvendelse for praktiske beregninger.
Den eponymous av Christoffel symboler er den tyske matematikeren Elwin Bruno Christoffel (1829-1900) som introduserte dem i 1869 i en artikkel datert 3. januar.
Foreløp
Definisjonene gitt nedenfor er gyldige for både Riemannian manifolds og pseudo-Riemannian manifolds , slik som de som brukes i generell relativitet . Vi bruker også notasjonen av de høyere indeksene for de kontravariante koordinatene, og lavere for de samvariante koordinatene.
Definisjon
I en Riemanian eller pseudo-Riemanian manifold er det ikke noe koordinatsystem som gjelder for hele manifolden. Man kan likevel lokalt definere et Lorentz-koordinatsystem (se definisjon av en topologisk variasjon : man kan finne på hvert punkt i et åpent nabolag homeomorf til et åpent i rommet ).
M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}Rikke{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Den covariant derivat gjør det mulig å vurdere utviklingen av et vektorfelt ved å ta hensyn til ikke bare dets iboende modifikasjoner , men også at i koordinatsystemet. Dermed, hvis vi tar et koordinatsystem i polarkoordinater, de to vektorer og er ikke konstant og avhenger av punktet studert. Kovariantderivatet gjør det mulig å ta hensyn til disse to evolusjonsfaktorene.
V{\ displaystyle V}er{\ displaystyle e_ {r}}eθ{\ displaystyle e _ {\ theta}}
De Christoffel symboler representerer da utviklingen av base vektorer, gjennom deres covariant derivat:
ΓkjJeg{\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ji}}
∇e→Jege→j=ΓkjJege→k{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {i}} {\ vec {e}} _ {j} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ji} {\ vec {e}} _ {k}}Vi får dermed Christoffel-koeffisientene fra forbindelsen hvis den er kjent. Omvendt, å kjenne Christoffel-koeffisientene gjør det mulig å rekonstruere uttrykket for forbindelsen ved å bruke egenskapene til det kovariante derivatet :
∇{\ displaystyle \ nabla}
∇u→v→=uJeg∂Jegvje→j+uJegvjΓkjJege→k{\ displaystyle \ nabla _ {\ vec {u}} {\ vec {v}} = u ^ {i} \ partial _ {i} v ^ {j} {\ vec {e}} _ {j} + u ^ {i} v ^ {j} {\ Gamma ^ {k}} _ {ji} {\ vec {e}} _ {k}}Koordinatene til vektoren er notert med semikolon, i henhold til definisjonen:
∇e→αv→{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {\ alpha}} {\ vec {v}}}
∇e→αv→=vk;αe→k{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {\ alpha}} {\ vec {v}} = {v ^ {k}} _ {; \ alpha} {\ vec {e}} _ { k}}Ved å erstatte med i forholdet ovenfor, får vi:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}e→α{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ alpha}}
vk;α=∂αvk+vjΓkjα{\ displaystyle {v ^ {k}} _ {; \ alpha} = \ partial _ {\ alpha} v ^ {k} + v ^ {j} {\ Gamma ^ {k}} _ {j \ alpha}}Vi kan derfor se at utviklingen av vektoren faktisk avhenger både av dens iboende utvikling (betegnelse ) og av basen, knyttet til den andre termen og spesielt Christoffels symbol.
v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}∂αvk{\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} v ^ {k}}Γkjα{\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {j \ alpha}}
Dette resultatet er gyldig for en vektor som er en tensor av orden 1. For en tensor av orden og rang , kunne vi oppnå det samme:
v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}j+l{\ displaystyle j + l}(l,j){\ displaystyle (l, j)}
TJeg...jk...l;m=TJeg...jk...l,m + ΓJegikkemTikke...jk...l + ... + ΓjikkemTJeg...ikkek...l - ΓskmTJeg...js...l - ΓslmTJeg...jk...s{\ displaystyle {T ^ {i \ dots j}} _ {k \ dots l; m} = {T ^ {i \ dots j}} _ {k \ dots l, m} \ + \ {\ Gamma ^ { i}} _ {\ mathbf {n} m} {T ^ {\ mathbf {n} \ dots j}} _ {k \ dots l} \ + \ \ dots \ + \ {\ Gamma ^ {j}} _ {\ mathbf {n} m} {T ^ {i \ dots \ mathbf {n}}} _ {k \ dots l} \ - \ {\ Gamma ^ {\ mathbf {s}}} _ {km} {T ^ {i \ dots j}} _ {\ mathbf {s} \ dots l} \ - \ {\ Gamma ^ {\ mathbf {s}}} _ {lm} {T ^ {i \ dots j}} _ { k \ dots \ mathbf {s}}}Indeksene med fet skrift fremhever bidragene til de forskjellige komponentene i Christoffel. Vi observerer at de motstridende indeksene gir opphav til et positivt bidrag fra Christoffel-koeffisienten, og de kovariante indeksene til et negativt bidrag.
Uttrykk fra metrisk tensor
Christoffel-koeffisientene beregnes oftest ut fra metrisk tensor , med tanke på at
gJegk{\ displaystyle g_ {ik}}
∇e→αg→Jegk=0{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {\ alpha}} {\ vec {g}} _ {ik} = 0}fordi beregningen er lokalt konservert : det er et Lorentz-koordinatsystem lokalt på hvert punkt i rommet.
Ved å anvende , tensor av ordre 2 og rang (0,2), ligningen av Christoffel-koeffisientene gitt ovenfor (to samvariantkoordinater gir 2 "negative" bidrag), ved å merke seg :
g{\ displaystyle g}gJegk,ℓ=∂gJegk∂xℓ{\ displaystyle g_ {ik, \ ell} = {\ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial x ^ {\ ell}}}}
gJegk;ℓ=gJegk,ℓ-gmkΓmJegℓ-gJegmΓmkℓ. {\ displaystyle \, g_ {ik; \ ell} = g_ {ik, \ ell} -g_ {mk} \ Gamma ^ {m} {} _ {i \ ell} -g_ {im} \ Gamma ^ {m} {} _ {k \ ell}. \}Vi finner da, ved å permere indeksene og uttrykke flere verdier av koeffisientene:
ΓJegkℓ=12gJegm(∂gmk∂xℓ+∂gmℓ∂xk-∂gkℓ∂xm)=12gJegm(gmk,ℓ+gmℓ,k-gkℓ,m), {\ displaystyle \ Gamma ^ {i} {} _ {k \ ell} = {\ frac {1} {2}} g ^ {im} \ left ({\ frac {\ partial g_ {mk}} {\ partial x ^ {\ ell}}} + {\ frac {\ partial g_ {m \ ell}} {\ partial x ^ {k}}} - {\ frac {\ partial g_ {k \ ell}} {\ partial x ^ {m}}} \ right) = {1 \ over 2} g ^ {im} (g_ {mk, \ ell} + g_ {m \ ell, k} -g_ {k \ ell, m}), \ }hvor tensoren er den omvendte av tensoren , definert ved hjelp av Kronecker-symbolet som .
gJegj{\ displaystyle g ^ {ij}}gJegj{\ displaystyle g_ {ij}}gkJeggJegl=δkl{\ displaystyle g ^ {ki} g_ {il} = \ delta ^ {k} {} _ {l}}
Merk : Selv om Christoffel symboler er skrevet i samme notasjon som tensor, er det ikke det tensor . Faktisk transformerer de ikke som tensorer under en endring av koordinatene.
De fleste forfattere velger å definere Christoffels symboler i en holonomisk koordinatbase , som er konvensjonen som følges her. I ikke- holonomiske koordinater uttrykkes Christoffels symboler i en mer kompleks formulering:
ΓJegkℓ=12gJegm(∂gmk∂xℓ+∂gmℓ∂xk-∂gkℓ∂xm+vs.mkℓ+vs.mℓk-vs.kℓm) {\ displaystyle \ Gamma ^ {i} {} _ {k \ ell} = {\ frac {1} {2}} g ^ {im} \ left ({\ frac {\ partial g_ {mk}} {\ partial x ^ {\ ell}}} + {\ frac {\ partial g_ {m \ ell}} {\ partial x ^ {k}}} - {\ frac {\ partial g_ {k \ ell}} {\ partial x ^ {m}}} + c_ {mk \ ell} + c_ {m \ ell k} -c_ {k \ ell m} \ right) \}hvor er koblingskoeffisientene til basen, dvs.
vs.kℓm=gmsvs.kℓs{\ displaystyle c_ {k \ ell m} = g_ {mp} c_ {k \ ell} {} ^ {p}}
[ek,eℓ]=vs.kℓmem {\ displaystyle [e_ {k}, e _ {\ ell}] = c_ {k \ ell} {} ^ {m} e_ {m} \, \}hvor er basisvektorene og tilsvarer Lie-kroken . To ikke-holonomiske grunneksempler er for eksempel de som er assosiert med sfæriske eller sylindriske koordinater.
ek{\ displaystyle e_ {k}}[.,.]{\ displaystyle [.,.]}
For eksempel, bare ikke-konstant forhold til det metriske tensor i sfæriske koordinater er , og vi har , , . Ikke-null-elementene i Christoffel-symbolet som en funksjon av metrisk tensor er derfor få:
gθθ=r2{\ displaystyle g _ {\ theta \ theta} = r ^ {2}}gϕϕ=r2synd2θ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi} = r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}gθθ,r=2r{\ displaystyle g _ {\ theta \ theta, r} = 2r}gϕϕ,r=2rsynd2θ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi, r} = 2r \ sin ^ {2} \ theta}gϕϕ,θ=2r2cosθsyndθ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi, \ theta} = 2r ^ {2} \ cos \ theta \ sin \ theta}
Γθθr=-rΓϕϕr=-rsynd2θΓrθθ=Γθrθ=r-1Γϕϕθ=-cosθsyndθΓrϕϕ=Γϕrϕ=r-1Γϕθϕ=Γθϕϕ=kosteθ{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma _ {\ theta \ theta} ^ {r} & = - r \\\ Gamma _ {\ phi \ phi} ^ {r} & = - r \ sin ^ {2 } \ theta \\\ Gamma _ {r \ theta} ^ {\ theta} = \ Gamma _ {\ theta r} ^ {\ theta} & = r ^ {- 1} \\\ Gamma _ {\ phi \ phi } ^ {\ theta} & = - \ cos \ theta \ sin \ theta \\\ Gamma _ {r \ phi} ^ {\ phi} = \ Gamma _ {\ phi r} ^ {\ phi} & = r ^ {-1} \\\ Gamma _ {\ phi \ theta} ^ {\ phi} = \ Gamma _ {\ theta \ phi} ^ {\ phi} & = \ barneseng \ theta \ ende {justert}}}På samme måte, den eneste ikke-konstant uttrykk for den metriske tensor i sylindriske koordinater er , og vi har . Ikke-null-elementene i Christoffel-symbolet som en funksjon av metrisk tensor er derfor få:
gϕϕ=r2{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi} = r ^ {2}}gϕϕ,r=2r{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi, r} = 2r}
Γϕϕr=-rΓrϕϕ=Γϕrϕ=1r{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma _ {\ phi \ phi} ^ {r} & = - r \\\ Gamma _ {r \ phi} ^ {\ phi} = \ Gamma _ {\ phi r} ^ {\ phi} & = {\ frac {1} {r}} \ end {align}}}Kontraksjon
Bruk i robotikk
Christoffels symboler vises i den dynamiske modelleringen, ifølge rasjonell mekanikk , av leddmekaniske systemer.
Tenk på et slikt system, hvis artikulære variabler er .
[q1,q2,⋯,qIKKE]{\ displaystyle [q ^ {1}, q ^ {2}, \ cdots, q ^ {N}]}
Treghetsmatrisen, (symmetrisk, positiv bestemt), til systemet som noteres , dets kinetiske energi er skrevet:
MJegj{\ displaystyle M_ {ij} \,}
T=12MJegjq˙Jegq˙j. {\ displaystyle \ mathrm {T} = {\ frac {1} {2}} M_ {ij} {\ dot {q}} ^ {i} {\ dot {q}} ^ {j}. \}Deretter kan vi knytte et Riemannian-konfigurasjonsrom med metrisk til systemet :
ds2=MJegjdqJegdqj.{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = M_ {ij} \ mathrm {d} q ^ {i} \ mathrm {d} q ^ {j}. \,}
Med følgende notasjoner:
-
V(q){\ displaystyle {\ mathfrak {V}} (q)}, den potensielle energien (som er proporsjonal med tyngdekraftsintensiteten).
-
Vk(q)=∂V∂qk{\ displaystyle V_ {k} (q) = {\ frac {\ partial {\ mathfrak {V}}} {\ partial q ^ {k}}}} .
-
τk {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} _ {k} \, \}, kreftene til aktuatorene, (som vi kan legge til ikke-konservativ friksjon).
Og ved å introdusere Christoffels symboler av den første typen:
ΓJegjk=12(∂Mjk∂qJeg+∂MkJeg∂qj-∂MJegj∂qk). {\ displaystyle \ Gamma _ {ijk} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial M_ {jk}} {\ partial q ^ {i}}} + {\ frac {\ delvis M_ {ki}} {\ delvis q ^ {j}}} - {\ frac {\ delvis M_ {ij}} {\ delvis q ^ {k}}} \ høyre). \}Bevegelsesligningene er Lagrange-ligninger som har form:
Mjk(q)q¨j+ΓJegjk(q)q˙Jegq˙j+Vk(q)=τk. {\ displaystyle M_ {jk} (q) {\ ddot {q}} {\,} ^ {j} \, + \, \ Gamma _ {ijk} (q) {\ dot {q}} {\,} ^ {i} \! {\ dot {q}} {\,} ^ {j} + V_ {k} (q) = {\ boldsymbol {\ tau}} _ {k} \ ,. \}I praksis er den algebraiske beregningen av koeffisientene til disse ligningene mulig med symbolsk beregningsprogramvare.
Merknader og referanser
-
Chen 2014 , kap. 2 , § 2.3 , rem. 2.1 , s. 37.
-
Fré 2018 , kap. 7 , § 7.5 , s. 210.
-
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv affine connection, s. 149, kol. 1 .
-
Hazewinkel 1988 , sv Christoffel symbol, s. 140, kol. 1 .
-
Springer 2012 , kap. 9 , § 9.1 , s. 109, n. 1 .
-
Christoffel 1869 .
-
Christoffel 1869 , s. 70.
-
Siden det kovariante derivatet av en tensor, som er en tensor, er summen av dets delvise derivat, som ikke er en tensor, og av Christoffel-symbolene multiplisert med denne tensoren, kan sistnevnte ikke være tensorer (vel vitende om at summene og produkter av tensorer gir tensorer).
-
(i) Alessandro De Luca, Dipartimento di Ingegneria Informatica, automatica e gestionale Antonio Ruberti - DIAG (Facoltà di Ingegneria dell'informazione Informatica e Statistica Università di Roma "La Sapienza"), " Dynamisk modell av roboter: Lagrange tilnærming. » , Robotics 2 (åpnet 20. september 2013 ) , s. 20-22
-
André Lichnérowicz , Element of tensor calculus , Paris, Armand Colin , coll. "Mathematics Division" ( n o 259), 4. utgave, 1958 ( repr. 8. utgave, 1967), 4. utgave, revidert utg. ( 1 st ed. 1950), 218 s. , {enhet, kap. 6 ("Dynamikken til holonomiske systemer. A-tidsuavhengige lenker"), s. 133-148
-
Vær forsiktig, det er variasjoner i den rekkefølgen for å skrive indeksene i, j, k
-
klassisk lunsj, se for eksempel: (i) Scott Robert Ploen , Geometric Algorithms for the Dynamics and Control of Multibody Systems , Irvine, University of California Press ,1997, 158 s. , {enhet ( online presentasjon , les online ) , kap. 3 (“Dynamics of Open Chain Multibody Systems - Join Space”) , s. 548-552
-
Det er også algoritmer, basert på vektoren formulering av mekanikk, som tillater disse koeffisienter som skal beregnes numerisk.
Se også
Bibliografi
: dokument brukt som kilde til denne artikkelen.
-
[Chen 2014] (in) Bang-Yen Chen , total gjennomsnittlig krumning og delmanifold av endelig type ["total gjennomsnittlig krumning og endelig undervarianter"], Singapore, World Scientific , al. "Series in ren matematikk" ( N o 27),Des. 2014, 2 nd ed. ( 1 st ed. Apr 1984), 1 vol. , XVIII -467 s. , 15,2 × 22,9 cm ( ISBN 978-981-4616-68-3 og 978-981-4616-69-0 , EAN 9789814616683 , OCLC 904980109 , DOI 10.1142 / 9237 , SUDOC 184331854 , online presentasjon , les online ).
-
[Fré 2018] (en) Pietro Giuseppe Fré , A conceptual history of space and symmetry: from Platon to the superworld [" A conceptual history of space and symmetry: from Plato to the super-universe"], Cham, Springer , unntatt koll . ,Sep 2018, 1 st ed. , 1 vol. , XVI -319 s. , syk. og fig. , 15,6 × 23,4 cm ( ISBN 978-3-319-98022-5 og 978-3-030-07440-1 , EAN 9783319980225 , OCLC 1064943543 , DOI 10.1007 / 978-3-319-98023-2 , SUDOC 230542409 , online presentasjon , les online ). .
- Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Introduksjon til tensor calculus, Applications to physics , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 ) .
-
[Springer 2012] (no) Charles Eugene Springer , Tensor og vektoranalyse: med applikasjoner til differensialgeometri [“Vector and tensor analysis: with applications to different geometry ”], Mineola, Dover ,Nov 2012, 1 st ed. , 1 vol. , X -242 s. , syk. og fig. , 15,2 × 22,9 cm ( ISBN 978-0-486-49801-0 , EAN 9780486498010 , OCLC 898680629 , online presentasjon , les online ).
Opprinnelig publikasjon
Ordbøker og leksika
-
[Hazewinkel 1988] (in) Michiel Hazewinkel ( red. ), Encyclopedia of Mathematics : en oppdatert og kommentert oversettelse av sovjetisk matematisk leksikon ["Encyclopedia of Mathematics: translation, updated and annotated, the Soviet math encyclopedia»], T. II : C , Dordrecht, Reidel - Kluwer Academic , hors coll. ,Jul. 1988, 1 st ed. , 1 vol. , IX -508 s. , syk. og fig. , 30 cm ( ISBN 978-1-55608-001-2 og 978-94-009-6002-2 , EAN 9781556080012 , OCLC 491733064 , merknad BnF n o FRBNF37357904 , DOI 10.1007 / 978-94-009-6000-8 , SUDOC 075475073 , online presentasjon , les online ) , sv Christoffel symbol [“Christoffel symbol”], s. 140, kol. 1-2.
-
[Taillet, Villain and Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain and Pascal Febvre , Dictionary of physics , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , utenfor koll. / fysisk,Jan 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Mai 2008), 1 vol. , X -956 s. , syk. og fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , merknad BnF n o FRBNF45646901 , SUDOC 224228161 , online presentasjon , les online ) , sv affine connection, s. 149, kol. 1. .
Relaterte artikler