I operatørsteorien er Gelfand-Mazur-setningen (demonstrert av Israel Gelfand og Stanisław Mazur ) som følger:
Teorem - Enhver Banach-algebra over feltet av komplekser som er et felt er isomorf til komplekset.
La x være et element som ikke er null i en slik algebra, hvis enhet blir betegnet med e .
derfor
som beviser i henhold til Cauchys regel at konvergensradiusen til hele serien
er ferdig.
Imidlertid konvergerer denne serien på en hvilken som helst plate med senter 0 inkludert i definisjonens domene for funksjonen . Dermed eksisterer det et komplekst λ slik at x - λ e er ikke-inverterbar og derfor x = λ e siden algebraen skal være et felt, er det eneste ikke-inverterbare elementet 0.
Merknad .
Eksistensen av et kompleks λ slik at x - λ e er ikke-inverterbar, dvs. av en spektral verdi på x , kan også utledes av det faktum at spekteret til et element i et algebra Banach-kompleks aldri er tomt.
Mazur kunngjorde i 1938 følgende mer generelle setning:
Enhver ℝ - normert assosiativ divisjonsalgebra er isomorf til ℝ, ℂ eller ℍ .Beviset hans - selv om det var veldig kortfattet - var for langt til å bli akseptert av forlaget, men han ga detaljene videre til eleven Wiesław Żelazko (de) , som publiserte dem i 1968.
Det er derfor Gelfand som i 1941 ga det første publiserte beviset på uttalelsen, men i sin forenklede form (for en komplett ℂ-algebra) som tillater bruk av teorien om holomorfe funksjoner (med verdier i et rom av dimensjon uendelig, men blir redusert til det vanlige tilfellet av Hahn-Banach-teoremet ).