Minkowskis teorem

I matematikk , Minkowski teorem omhandler de nettverk av euklidsk plass ℝ d . Gitt et slikt nettverk Λ, garanterer det eksistensen, i en hvilken som helst symmetrisk konveks med tilstrekkelig volum , av en ikke-null vektor av Λ. Hermann Minkowski oppdaget denne teoremet i 1891 og publiserte den i 1896, i sin seminal bok The Geometry of Numbers . Dette resultatet brukes spesielt i algebraisk tallteori .

Uttalelser

Første formulering  -  enten av et strengt positivt heltall, og C en konveks av ℝ d , symmetrisk i forhold til origo O .

Dette resultatet angående nettverket ℤ d tilsvarer (ved enkel endring av variabler ) dets motstykke for ethvert nettverk Λ:

Omformulering når det gjelder gitter  -  La d være et strengt positivt heltall, Λ et gitter av ℝ d av covolume V og C en konveks O- symmetrisk.

Likhet mellom de to utsagnene

Et gitter av ℝ d er en del av formen hvor er et grunnlag for ℝ d . Nettverket består derfor av punkter hvis koordinater i basen B er hele. Vi får et vanlig romnett, som figuren til høyre. Poengene i nettverket er representert av de små ballene.

Et grunnleggende domene av Λ, avhengig av basen B , består av punktene til whose d hvis koordinater i basen B er i intervallet [0, 1 [. Det er illustrert i figuren til høyre i rødt. Et grunnleggende domene er alltid en parallellpiped.

Covolume av Λ er volumet til et grunnleggende domene. Det er derfor lik den absolutte verdien til determinanten av B på det kanoniske grunnlaget (denne definisjonen avhenger ikke av valget av B , fordi en endring av basis for nettverket nødvendigvis er determinant ± 1 ).

Det grunnleggende domenet til nettverket ℤ d assosiert med det kanoniske grunnlaget er [0, 1 [ d derfor er kovolumet til ℤ d 1. Den første utsagnet er altså et spesielt tilfelle av det andre. Men omvendt, ved å endre variabler, blir den andre trukket ut fra den første, som vi derfor vil fokusere på fra nå av.

Merknader

Demonstrasjon

Det er flere bevis på teoremet. Den som presenteres her dissosierer hypotesen om volumet av C - som vil tillate anvendelse av Blichfeldts teorem - fra det om de to andre egenskapene (konveksitet og symmetri), brukt i følgende lemma.

Lemma . - La C 1/2 =1/2C det bilde av C ved den homothety av forholdet 1/2. Hvis C 1/2 møter en oversatt β + C 1/2 , så inneholder C β.

Anta at x = β - y der x og –y er to punkter på C 1/2 (dette er vist i figuren til høyre). Så tilhører 2 x og –2 y C så (siden C er O- symmetrisk) 2 x og 2 y også og (ved konveksitet av C ) midtpunktet x + y = β også (og –β også), som fullfører beviset på lemmaet.

I følge Blichfeldts setning inneholder C 1/2 et volum som er strengt større enn 1, eller kompakt og av volum 1, og inneholder to forskjellige punkter hvis forskjell β har heltallskoordinater. Med andre ord: det eksisterer en ikke-null vektor β av such d slik at C 1/2 møter den oversatte β + C 1/2 . I følge lemmaet inneholder C deretter β, som fullfører beviset på teoremet.

Geometrisk tolkning

Det er en måte å tolke dette beviset i termer av en topologisk gruppe . Rommet ℝ d kan sees på som en topologisk gruppe hvis ℤ d er en undergruppe diskret . Quotienter ℝ d av ℤ d tilsvarer å identifisere hvert element av ℝ d med et element på [0, 1 [ d . I dimensjon 2 tilsvarer dette liming av punktene til [0, 1] 2 (nettverket til nettverket) hvis første koordinat er lik 1 med de hvis første koordinat er lik 0, og handler på samme måte med den andre koordinere. Vi får en torus av dimensjonen d , illustrert for d = 2 av figuren til venstre. Hvert punkt på ℝ d har et nabolag slik at det kanoniske kartet over ℝ d i torusen er begrenset til en diffeomorfisme mellom dette nabolaget og dets bilde. Disse diffeomorfismene gjør det mulig å definere en måling på torusen, slik at enhver målbar del av det fundamentale domenet kan måles på torusen og av samme mål. Måling av torus er derfor 1.

Dette tiltaket er verktøyet for direkte demonstrasjon. Det antas at den konvekse C , vist i grønt i eksemplet til høyre, har et mål som er strengt større enn 2 d . Dens homotetiske C 1/2 , illustrert i gult, er mål strengt større enn 1. Begrensningen til C 1/2 av det kanoniske kartet over ℝ d i torusen kan ikke være injiserende fordi målingen av bildet ville være større enn det av hele torusen. Det er derfor to elementer av C 1/2 , X og Y ( x- og y-punktene i lemmaet), som har samme bilde av dette kartet.

Under limingen som er forklart ovenfor, legges stykker av C 1/2 over hverandre, punktene som er overlagret har det samme bildet. Omvendt tilsvarer injeksjonssonen det som fremdeles vises i gult i figuren til høyre. Punktet X - Y = x + y av C har heltallkoordinater, ikke alle null fordi X og Y er to forskjellige representanter for samme klasse.

applikasjoner

Denne teoremet brukes til å demonstrere to viktige resultater i algebraisk tallteori  : Dirichlets enhetssetning og endeligheten til gruppen av idealklasser for et tallkropp (f.eks. Et kvadratisk felt ). I det andre gitteret i betraktning er tilsetnings gruppe av ringen av algebraiske heltall på feltet.

En annen applikasjon er et bevis på Lagranges fire firkantesetning .

Delvis gjensidig

Vi kan med ytterligere hypoteser vise en delvis gjensidighet av Minkowskis teorem:

Delvis invers  -  La d være et strengt positivt heltall og P en stjernemerket del av ℝ d , symmetrisk med tanke på opprinnelsen O , og volumet V <2 ζ (d) . Så eksisterer det et nettverk av covolume 1 der ingen andre punkter enn opprinnelsen tilhører P.

Generaliseringer

La igjen, i ℝ d , være et gitter Λ av covolume V og en konveks C lik den lukkede enhetskulen for en viss norm ( se ovenfor ). Note λ 1 ≤ ... ≤ λ av den etterfølgende minima av Λ med hensyn til C . Spesielt λ 1 er den minste norm av en ikkenull vektor Λ, slik at Minkowski teoremet tilsvarende (for homogenitet ) til: λ en av fly ( C ) ≤ 2 d V .

Merknader og referanser

  1. (fra) H. Minkowski, “Über Geometrie der Zahlen” , i Verhandlungen der 64. Naturforscher- und Arzteversammlung zu Halle ,1891, s.  1. 3 ; gjengitt i (de) David Hilbert (red.), Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski , vol.  1,1911( les online ) , s.  264-265.
  2. (De) Hermann Minkowski , Geometrie der Zahlen , Teubner, Leipzig, 1896, § 30.
  3. (in) John WS Cassels , An Introduction to the Geometry of Numbers , Berlin, Göttingen, Heidelberg, Springer , al.  “  Grund. matte. Wiss.  "( N o  99),1971( 1 st  ed. 1959), 344  s. ( les online ) , s.  109.
  4. (no) Jeffrey C. Lagarias , kap.  19 “Point Lattices” , i RL Graham , M. Grötschel og L. Lovász , Handbook of Combinatorics , vol.  Jeg, Elsevier,1995( les online ) , s.  919-966.
  5. Cassels 1971 , kap. IV (“Avstandsfunksjoner”), § IV.1-IV.3.1, s.  103-111 .
  6. (De) Ott-Heinrich Keller  (de) , “Geometrie der Zahlen” , i Encyklopädie der mathematatischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen , vol.  I.2, Heft 11, Teil 3, 27, Leipzig, Teubner,1954, 84  s. ( les online ).
  7. (in) Jesús A. Loera, Raymond Hemmecke og Matthias Köppe, algebraiske og geometriske ideer i teorien om diskret optimalisering , SIAM ,2013( les online ) , s.  41-42.
  8. For en redegjørelse for det originale beviset til Minkowski, se (i) Pascale Gruber og Cornelis Gerrit Lekkerkerker, Geometry of Numbers , Nord-Holland,1987, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. , 1969, 510 s.)), 731  s. ( les online ) , s.  40-41.
  9. Cassels 1971 , s.  71.
  10. For eksempler, se § “Klassegruppe” i artikkelen om idealene til ringen av heltall i et kvadratisk felt .
  11. GH Hardy og EM Wright ( oversatt  fra engelsk av François Sauvageot, pref.  Catherine Goldstein ), Introduksjon til tallteorien [“  En introduksjon til teorien om tall  ”] [ detalj av utgaven ], kapittel 24 (“Tallens geometri”), avsnitt 24.10.
  12. Lagarias 1995 , s.  929.
  13. (De) J. van der Corput, “  Verallgemeinerung einer Mordellschen Beweismethode in der Geometrie der Zahlen  ” , Acta Arithmetica , vol.  1, n o  1,1935, s.  62-66 ( les online )( Lagarias 1995 , s.  930 og 965) eller (de) J. van der Corput, “  Verallgemeinerung einer Mordellschen Beweismethode in der Geometrie der Zahlen, Zweite Mitteilung  ” , Acta Arithmetica , vol.  2, n o  1,1936, s.  145-146 ( les online )( Cassels 1971 , s.  71 og 336).

Se også

Relaterte artikler

Eksterne linker

Bibliografi

Pierre Samuel , algebraisk tallteori [ detalj av utgaven ]