Euklidisk vektor

I matematikk , og mer presist i euklidisk geometri , er en euklidisk vektor et geometrisk objekt som har en retning, en betydning og en norm . Den brukes for eksempel i fysikk og teknikk for å modellere en kraft .

Vi snakker også noen ganger om en geometrisk vektor i det euklidiske planet (to dimensjoner) og om en romlig vektor i et tredimensjonalt rom.

Historie

Definisjoner og eksempler

Vector, euklidisk vektor

I fysikk og ingeniørarbeid jobber vi ofte i det euklidiske rommet . Når vi snakker om en vektor , refererer vi til en euklidisk vektor , det vil si til en fysisk størrelse (for eksempel en kraft) preget av:

en retning (en rett linje Δ som ikke er orientert);
en retning (retning av linjen Δ, tegn på dens algebraiske mål );
en norm (lengden på vektoren, for eksempel intensiteten til en kraft).

Vi snakker også om orientering eller orientert linje for å referere til paret (retning, retning).

I matematikk er en vektor mer generelt definert som et element i et vektorrom . I følge denne definisjonen er vektorer abstrakte enheter som kan eller ikke kan ha en størrelse og en orientering. Euklidiske vektorer er derfor et spesielt tilfelle av vektorer, og det er viktig i matematikk å spesifisere om vi refererer til den ene eller den andre.

Koblet vektor, gratis vektor

I det euklidiske rommet er en bundet vektor en euklidisk vektor som har et gitt startpunkt og sluttpunkt. Det er knyttet til dette startpunktet, og man kan trekke sluttpunktet fra den koblede vektoren og fra startpunktet.

Fortsatt i euklidsk rom, en fri vektor angir en familie av koblede vektorer som har den samme norm, den samme retning og i samme retning. En gratis vektor er derfor ikke knyttet til et gitt startpunkt.

For eksempel, i figuren motsatt, den er knyttet vektorer og er distinkte, fordi de har forskjellige startpunkter. På den annen side er gratisvektorene og like. $\ overrightarrow {ST}$ $\ overrightarrow {S'T '}$ $\ overrightarrow {ST}$ $\ overrightarrow {S'T '}$

Notasjon og grafisk fremstilling

En euklidisk vektor er generelt representert grafisk ved hjelp av et linjestykke og en pil som indikerer retningen. Normen til den euklidiske vektoren tilsvarer deretter lengden på linjesegmentet representert grafisk, og dens orientering er den orienterte vinkelen som den danner med det kartesiske koordinatsystemet (0, ) ${\ displaystyle {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}}}$ .

Som en variabel kan den noteres på forskjellige måter. For å skille den fra andre typer vektorer, plasserer vi ofte en horisontal venstre-høyre pil over variabelen som representerer den. Alternativt kan vi utelate pilen og bruke store eller små bokstaver, i kursiv eller med fet skrift, som en hvilken som helst vektor. Så en vektor kan skrives i form osv. ${\ text {a}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ text {a}}}, {\ textit {a}}, \ mathbf {a}, {\ overrightarrow {\ mathbf {a}}}, {\ overrightarrow {\ mathbf {A} }}}$

For eksempel, i figuren motsatt, er den euklidiske vektoren a representert med en svart pil i et tredimensjonalt kartesisk koordinatsystem ( ) $X Y Z$ . Enhetsvektorene ( ) er ${\ displaystyle {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}}}$ også blitt representert så vel som komponentene ( ) ${\ displaystyle a_ {x}, a_ {y}, a_ {z}}$ i vektoren a .

Operasjoner

Flere transaksjoner kan defineres på de euklidiske vektorene: addisjonen , subtraksjonen , multiplikasjonen , det indre produktet , vektorproduktet , etc. De algebraiske strukturene knyttet til disse operasjonene er ikke utviklet i denne innledende artikkelen, men er utviklet i mer avanserte artikler som " Euklidisk rom " og " Vektorrom ".

Tilsetning av vektorer

Gratisvektorene kan legges til grafisk ved å justere dem fra ende til annen (jf. Artikkel Chasles-forhold ). De kan også legges til analytisk ved å legge til hver av komponentene som er definert med hensyn til en gitt referanseramme.

Gitt fire punktene A , B , C , D av den euklidske planet, tilsetningen av de to vektorer , og er konstruert ved å definere et punkt E , slik at (ved plotting av parallellogrammet BCDE ). Vektorsummen blir deretter identifisert med vektoren . $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {CD}$ $\ overrightarrow {BE} = \ overrightarrow {CD}$
$\ overrightarrow {AB} + \ overrightarrow {CD}$ $\ overrightarrow {AE}$

Tilsetningen av vektorer tilfredsstiller alle egenskapene til digital tillegg. Dens nøytrale element er nullvektoren. Det motsatte av en vektor er en vektor med samme norm og samme retning, men i motsatt retning.

Tilsetningen av to kollinære vektorer (dvs. med samme retning) er identifisert med den for deres algebraiske mål.

I rommet kan en vektor defineres av koordinatene på de tre aksene $x$ , $y$ og $z$ til et kartesisk koordinatsystem , akser rettet henholdsvis av vektorene , og . Summen av to euklidiske vektorer er da: $\ vec i$ ${\ vec j}$ ${\ vec k}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {CD}} = (x_ {B} -x_ {A} + x_ {D} -x_ {C}) {\ overrightarrow {i}} + (y_ {B} -y_ {A} + y_ {D} -y_ {C}) {\ overrightarrow {j}} + (z_ {B} -z_ {A} + z_ {D} -z_ {C}) {\ overrightarrow {k}}}

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen “ Euklidisk vektor ” ( se forfatterlisten ) .

Jean Salençon , Mekanikk for kontinuerlige medier , t. 1: Generelle konsepter, École Polytechnique utgaver,2005, 370 s. ( les online ) , s. 296.
Ammar Yahia, “ Kapittel 1: Geometriske vektorer , ” på http://www.civil.usherbrooke.ca , Université de Sherbrooke .
Interactive Power Electronics Seminar (iPES), “ Space vector-based current control for a six-switch PWM three-phase voltage inverter ” , på http://www.ipes.ethz.ch , Swiss Federal Institute of Technology Zurich .
Dette kalles en ekvivalensklasse .
(in) Kiyoshi Ito , Encyclopedic Dictionary of Mathematics , MIT Press ,1993, 2 nd ed. , 2148 s. ( ISBN 978-0-262-59020-4 , leses online ) , s. 1678.
Harris Benson ( overs. Marc Séguin, Benoît Villeneuve, Bernard Marcheterre og Richard Gagnon), Physique 1 Mécanique , Éditions du Renouveau Pédagogique,2009, 4 th ed. , 465 s. , s. 22.

Se også

Relaterte artikler

Bibliografi

Marielle Champagne , Option science Physics Mechanics , Editions du Renouveau Pédagogique,2009, 330 s.