Parseval-likhet

Den likestilling Parseval noen ganger kalt Parseval teorem eller forholdet Parseval er en grunnleggende formelen av teorien om Fourierrekker . Vi skylder den franske matematikeren Marc-Antoine Parseval des Chênes ( 1755 - 1836 ).

Det blir også referert til som Rayleigh Identity fra navnet til fysikeren John William Strutt Rayleigh , Nobelprisen i fysikk i 1904 .

Denne formelen kan tolkes som en generalisering av Pythagoras teorem for serier i Hilbert-rom .

I mange fysiske bruksområder (for eksempel elektrisk strøm) kan denne formelen tolkes som følger: den totale energien oppnås ved å legge til bidragene fra de forskjellige overtonene .

Den totale energien til et signal avhenger ikke av representasjonen som er valgt: frekvens eller tid.

E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | x (t) | ^ 2 ~ \ mathrm dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | X (f) | ^ 2 ~ \ mathrm df.

Bessel ulikhet

Følgende teorem er demonstrert i den detaljerte artikkelen.

La være en ortonormal familie av et prehilbertiansk rom . ${\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $H$

For hvilken som helst vektor hevder Bessel-ulikheten summeringen av følgende familie og øvre grense: ${\ displaystyle x \ i H}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ left | \ langle e_ {i} | x \ rangle \ right | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}}$ ,som betyr at settet med ikke-null termer er høyest tellerbare og utgjør en absolutt konvergent serie , av sum økt med . ${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2}}$
Hvis og bare hvis det er vedheftet til vektorområdet som genereres av familien , er den øvre grensen en likhet, kalt "Parseval-likhet". Dermed er familien et Hilbert-grunnlag for hvis og bare hvis likeverdighet gjelder for en hvilken som helst vektor . $x$ ${\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $H$ ${\ displaystyle x \ i H}$

Formel for Fourier-serien

La være en funksjon T -periodisk og av kvadratisk integrerbar over en periode (den er altså spesielt gyldig for T -periodisk og kontinuerlig av stykker ). Vi definerer Fourier-koeffisientene : $f$ $f$

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} n {\ frac {2 \ pi} {T}} t} ~ \ mathrm {d} t}

Parsevals likhet bekrefter konvergensen av følgende serier og angir identiteten:

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ | f \ | ^ {2}}

Hvis funksjonen har reelle verdier, kan følgende konvensjoner vedtas: $f$

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t = c_ {0}}$ ;
${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ cos {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ ;
${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ sin {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ .

Parsevals likhet blir:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ høyre)}

Advarsel : Noen forfattere foretrekker en konvensjon der uttrykket for $et 0$ også er i 2 / T :

{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t}

Parsevals formel blir da:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {4}} a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right)}

applikasjoner

Disse resultatene gjelder spesielt tilfellet med et prehilbertisk rom med begrenset dimensjon , for eksempel i harmonisk analyse av en endelig abelsk gruppe .
Hvis to integrerbare firkantfunksjoner f og g har samme frekvensspektrum (samme Fourier-koeffisienter), så er Fourier-koeffisientene til f - g alle null (ved linearitet) og ║ f - g ║ 2 = 0. Faktisk er f og g er like nesten overalt . Hvis dessuten f og g er stykkevis kontinuerlige, er f og g like bortsett fra på nivået med diskontinuitetspunktene for f og g .
Når integralet er lettere å beregne enn serien, er Parseval-likheten en måte å beregne et bestemt antall numeriske serier på (man kan også bruke likheten på et punkt mellom funksjonen og dens Fourier-serie , gitt for eksempel av Dirichlets teorem ) .
Parseval-likheten tillater å oppnå Wirtinger-ulikheten mellom normene til en periodisk funksjon og dens derivat, deretter den klassiske isoperimetriske ulikheten .

Gjensidig: Riesz-Fischer-setning

Vi betegner med ℓ 2 vektorrommet for sekvenser slik at serien konvergerer. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$ $\ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ | c_n \ | ^ 2 \$

Den Riesz-Fischer-teoremet som gjør det mulig å fastslå at en slik sekvens er sekvensen av Fourier-koeffisientene for en integrerbar kvadratisk funksjon, T periodisk. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$

Dermed er det isomorfisme mellom mellomrommene $L 2$ T av de periodiske integrerbare firkantfunksjonene og T og ℓ 2 . Parsevals formel viser at det til og med er en isometri .

Merknader og referanser

" Kapittel 7: Fourier-transformasjon " , på ressources.unisciel.fr (åpnet 11. august 2019 )