Harmonisk analyse av en endelig abelsk gruppe

I matematikk er den harmoniske analysen på en endelig abelsk gruppe et spesielt tilfelle av harmonisk analyse som tilsvarer tilfellet der gruppen er abelsk og endelig .

Harmonisk analyse gjør det mulig å definere forestillingen om Fourier transform eller konvolusjonsproduktet . Det er rammen for mange teoremer som Plancherel , likheten mellom Parseval eller dualiteten Pontryagin .

Tilfellet der gruppen er abel og endelig er den enkleste av teorien, Fourier-transformasjonen er begrenset til en endelig sum, og den doble gruppen er isomorf til den opprinnelige gruppen.

Harmonisk analyse av en endelig abelsk gruppe har mange anvendelser, spesielt innen modulær aritmetikk og informasjonsteori .

Kontekst

Gjennom hele denne artikkelen betegner G en abelsk gruppe av orden g , betegnet i tillegg, og ℂ feltet med komplekse tall  ; Hvis z betegner et komplekst tall, betegner z konjugatet .

Område for applikasjoner av G i ℂ

Settet ℂ G av kartene til G i ℂ er utstyrt med flere strukturer:

• det er et komplekst vektorrom med dimensjon g , med en kanonisk basis (δ s ) s ∈ G , der δ s betegner Kronecker-symbolet  : δ s ( t ) er verdt 1 for t = s og er verdt 0 for de andre t ∈ G . Koordinatene i denne basen til et kart f er de komplekse tallene f ( s ), også bemerket f s  ;
• dette vektorområdet er kanonisk utstyrt med et Hermitian-produkt definert av:⟨⋅|⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot | \ cdot \ rangle}∀f,h∈VSG,⟨f|h⟩=1g∑s∈Gf(s)¯h(s).{\ displaystyle \ forall f, h \ in \ mathbb {C} ^ {G}, \ quad \ langle f | h \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} { \ overline {f (s)}} h (s).}Dette Hermitian-produktet gir ℂ G en Hermitian- romstruktur , bemerket ℓ 2 ( G );
• dette vektorområdet er også utstyrt med konvolusjonsproduktet ∗, definert av: ∀(pås)s∈G,(bt)t∈G∈VSG(∑s∈Gpåsδs)∗(∑t∈Gbtδt)=∑s,t∈Gpåsbtδs+t{\ displaystyle \ forall (a_ {s}) _ {s \ in G}, (b_ {t}) _ {t \ in G} \ in \ mathbb {C} ^ {G} \ quad \ left (\ sum _ {s \ i G} a_ {s} \ delta _ {s} \ høyre) * \ venstre (\ sum _ {t \ i G} b_ {t} \ delta _ {t} \ høyre) = \ sum _ {s, t \ in G} a_ {s} b_ {t} \ delta _ {s + t}}.Denne interne multiplikasjonen utvider loven til gruppen G  : δ s ∗ δ t = δ s + t . Det gir ℂ G en ℂ-algebrastruktur , kalt den endelige gruppen algebra G og bemerkes ℂ [ G ]. Vi beviser (men det vil ikke bli brukt i denne artikkelen) at for en endelig gruppe G (abelian eller ikke) ℂ [ G ] er en semi-enkel ring .

Dobbel gruppe

Den doble gruppe av G , betegnet G , består av tegnene G , det vil si av de morphisms av G i den multiplikative gruppen ℂ *.

Den danner en multiplikativ gruppe isomorf (ikke kanonisk) til additivgruppen G .

Den er inkludert i ℂ G og danner en ortonormal basis av ℓ 2 ( G ), som rettferdiggjør a posteriori velge Hermitisk produktet på ℂ G .

Enhver endelig abelsk gruppe er kanonisk isomorf til sin bidual (den doble av sin dobbelte). Denne eiendommen er generalisert under navnet Pontryagin dualitet .

Teori om harmonisk analyse

Bessel-Parseval likhet

Likhetssaken til Bessels ulikhet i et hermitisk rom viser at ethvert element

på=∑s∈Gpåsδs∈ℓ2(G){\ displaystyle a = \ sum _ {s \ in G} a_ {s} \ delta _ {s} \ in \ ell ^ {2} (G)}

brytes opp på ortonormal basis Ĝ i følgende form:

å merke segpåχ=⟨χ∣på⟩=1g∑s∈Gχ(s)¯ pås,vi harpå=∑χ∈G^påχχderfor‖på‖2=∑χ∈G^|påχ|2{\ displaystyle {\ text {noting}} \ quad a _ {\ chi} = \ langle \ chi \ mid a \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} {\ overlinje {\ chi (s)}} ~ a_ {s}, \ quad {\ text {on a}} \ quad a = \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {G}}} a _ {\ chi } \ chi \ quad {\ text {derfor}} \ quad \ | a \ | ^ {2} = \ sum _ {\ chi \ i {\ widehat {G}}} | a _ {\ chi} | ^ { 2}}.

Fourier transform

Den Fourier-transformerte av dette element av ℓ 2 ( G ) er kartetpå{\ displaystyle a}

på^:G^→VS{\ displaystyle {\ widehat {a}}: {\ widehat {G}} \ to \ mathbb {C}}

definert av:

på^(χ)=gpåχ=∑s∈Gχ(s)¯pås{\ displaystyle {\ widehat {a}} (\ chi) = ga _ {\ chi} = \ sum _ {s \ in G} {\ overline {\ chi (s)}} a_ {s}}.

Dette definerer et lineært kart, Fourier-transformasjonen ⌃: ℓ 2 ( G ) → ℂ Ĝ , hvis hovedegenskaper er detaljert nedenfor, men som vi allerede kan merke at den er bindende, siden de to rommene har dimensjon g og at Bessel -Parseval likhet, omskrevet i følgende form kalt Plancherel inversjon , sikrer injeksjonsevne:

∀på∈ℓ2(G)på=1g∑χ∈G^på^(χ)χ{\ displaystyle \ forall a \ in \ ell ^ {2} (G) \ quad a = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {G}}} {\ widehat {a}} (\ chi) \ chi}.

Konvolusjonsprodukt

Ovennevnte valg om å multiplisere med i definisjonen av Fourier-transformasjonen sikrer dets kompatibilitet med konvolusjonsproduktet ∗, definert i avsnittet " Kartområdet til G i in" ( se ovenfor ): påχ{\ displaystyle a _ {\ chi}}g{\ displaystyle g}

La a og b være to elementer i algebraen til gruppe G , Fourier-transformasjonen av a ∗ b er produktet av de av a og b  :

∀på,b∈VS[G]på∗b^=på^b^{\ displaystyle \ forall a, b \ in \ mathbb {C} [G] \ quad {\ widehat {a * b}} = {\ hat {a}} \, {\ hat {b}}}. Demonstrasjon

∀χ∈G^på∗b^(χ)=∑u∈Gχ(u)¯(på∗b)(u)=∑u∈Gχ(u)¯(∑s,t∈G,s+t=upåsbt)=∑s,t∈Gχ(s+t)¯påsbt=(∑s∈Gχ(s)¯pås)(∑t∈Gχ(t)¯bt)=på^(χ)b^(χ).{\ displaystyle {\ begin {align} \ forall \ chi \ i {\ widehat {G}} \ qquad {\ widehat {a * b}} (\ chi) & = \ sum _ {u \ in G} {\ overlinje {\ chi (u)}} (a * b) (u) \\ & = \ sum _ {u \ in G} {\ overline {\ chi (u)}} \ left (\ sum _ {s, t \ i G, s + t = u} a_ {s} b_ {t} \ right) \\ & = \ sum _ {s, t \ in G} {\ overline {\ chi (s + t)}} a_ {s} b_ {t} \\ & = \ left (\ sum _ {s \ in G} {\ overline {\ chi (s)}} a_ {s} \ right) \ left (\ sum _ {t \ in G} {\ overline {\ chi (t)}} b_ {t} \ right) \\ & = {\ hat {a}} (\ chi) {\ hat {b}} (\ chi). \ slutt {justert}}}

Parseval-likhet

Å lage den lineære sammenheng ⌃: ℓ 2 ( G ) → ℂ Ĝ en isomorfisme av hermitiske mellomrom tilsvarer å velge på ℂ Ĝ det unike Hermitian-produktet som grunnlaget ( g δ χ ) χ∈ Ĝ (Fouriertransformasjon av den ortonormale basis Ĝ ) er ortonormal. Vi spør derfor:

∀f,h∈VSG^⟨f∣h⟩=1g2∑χ∈G^f(χ)¯h(χ){\ displaystyle \ forall f, h \ in \ mathbb {C} ^ {\ widehat {G}} \ quad \ langle f \ mid h \ rangle = {\ frac {1} {g ^ {2}}} \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {G}}} {\ overline {f (\ chi)}} h (\ chi)}.

Merk at dette Hermitian-produktet tilsvarer Haar-målet på Ĝ av masse 1 ⁄ g , mens det som ble introdusert for å definere ℓ 2 ( G ) tilsvarte Haar-målet på G av masse 1. Vi vil imidlertid merke oss ikke 2 ( Ĝ ) rommet ℂ Ĝ følger med ovennevnte Hermitian-produkt. Vi får dermed:

Med definisjonen ovenfor av ℓ 2 ( Ĝ ) transformerer Fourier

^:ℓ2(G)→ℓ2(G^){\ displaystyle {\ widehat {}}: \ ell ^ {2} (G) \ to \ ell ^ {2} ({\ widehat {G}})}

er en isomorfisme av hermitiske rom. Spesielt kontrollerer den følgende likhet, kjent som Parseval  :

∀på,b∈ℓ2(G)⟨på^|b^⟩ℓ2(G^)=⟨på|b⟩ℓ2(G){\ displaystyle \ forall a, b \ in \ ell ^ {2} (G) \ quad \ langle {\ hat {a}} | {\ hat {b}} \ rangle _ {\ ell ^ {2} ({ \ hat {G}})} = \ langle a | b \ rangle _ {\ ell ^ {2} (G)}}.

Orthogonal av en undergruppe

Er H en undergruppe av G , skal vi kalle ortogonale gruppen av H , og betegner H ⊥ , undergruppen av G som består av tegn hvis kjerne inneholder H .

I følge isomorfismesetninger  :

• H ⊥ er isomorf med den doble av den kvotient gruppe G / H .Faktisk, H ⊥ er det sett med tegn av G som er priset ved G / H , så er dette bildet av den kanoniske innstøping av den doble av G / H i den for G . Dette gir det første bevis på at H ⊥ er en undergruppe av G , og også viser at dens orden er lik kvotienten av størrelsesorden G ved den av H .
• Kvotientgruppen Ĝ / H ⊥ er isomorf til Ĥ .Faktisk er H ⊥ kjernen til den kanoniske restriksjonsmorfismen, fra Ĥ til Ĥ , som gir en injeksjonsmorfisme fra Ĝ / H ⊥ til Ĥ , og denne morfismen er også surjektiv av et argument om kardinalitet.

De to utsagnene ovenfor kan også trekkes ut av sekvensens riktighet på grunn av injeksjonsevnen til den delbare gruppen ℂ * . 0→G/H^→G^→H^→0{\ displaystyle 0 \ til {\ widehat {G / H}} \ til {\ widehat {G}} \ til {\ widehat {H}} \ til 0}

Poisson summeringsformel

Er H en undergruppe av orden h av G . Ethvert element i ℓ 2 ( G ) tilfredsstiller følgende Poisson-summeringsformel : på{\ displaystyle a}

g∑t∈Hpåt=h∑χ∈H⊥på^(χ){\ displaystyle g \ sum _ {t \ in H} a_ {t} = h \ sum _ {\ chi \ in H ^ {\ perp}} {\ hat {a}} (\ chi)}. Demonstrasjon g∑t∈Hpåt=g2⟨∑t∈Hδt∣på⟩ℓ2(G)=∑t∈Hg2⟨δt^∣på^⟩ℓ2(G^)=∑t∈H,χ∈G^δt^(χ)¯på^(χ)=∑χ∈G^vs.χpå^(χ){\ displaystyle g \ sum _ {t \ in H} a_ {t} = g ^ {2} \ langle \ sum _ {t \ in H} \ delta _ {t} \ mid a \ rangle _ {\ ell ^ {2} (G)} = \ sum _ {t \ in H} g ^ {2} \ langle {\ widehat {\ delta _ {t}}} \ mid {\ hat {a}} \ rangle _ {\ ell ^ {2} ({\ hat {G}})} = \ sum _ {t \ i H, \ chi \ i {\ widehat {G}}} {\ overline {{\ widehat {\ delta _ {t }}} (\ chi)}} {\ hat {a}} (\ chi) = \ sum _ {\ chi \ i {\ widehat {G}}} c _ {\ chi} {\ hat {a}} (\ chi)}

med

vs.χ=∑t∈Hχ(t)=h⟨1∣χ|H⟩ℓ2(H)={hhvisχ|H=10Hvis ikke.{\ displaystyle c _ {\ chi} = \ sum _ {t \ in H} \ chi (t) = h \ langle 1 \ mid \ chi _ {| H} \ rangle _ {\ ell ^ {2} (H )} = {\ begin {cases} h \ quad {\ text {si}} \ quad \ chi _ {| H} = 1 \\ 0 \ quad {\ text {ellers.}} \ end {cases}}}

Imidlertid er begrensningen av χ til H lik tegnet 1 over H hvis og bare hvis χ tilhører det ortogonale av H , som avslutter beviset.

applikasjoner

Modulær aritmetikk

De første historiske bruken av tegn var for regning. Den Legendre symbol er et eksempel på et tegn på den multiplikative gruppen av det endelige felt F p = ℤ / p ℤ hvor ℤ betegner ringen av relative hele tall og p et odde primtall .

Den brukes til å beregne gaussiske summer eller gaussiske perioder . Denne karakteren er grunnlaget for et bevis på loven om kvadratisk gjensidighet .

Legendre symbol

I dette avsnittet betegner p et oddetall. G er her gruppen ℤ / p ℤ. Legendre-symbolet betegner funksjonen som til et heltall a assosierer 0 hvis a er et multiplum av p , assosierer 1 hvis klassen a i F p er et ikke-null kvadrat, og assosierer -1 ellers.

Bildet av Legendre-symbolfunksjonen på multiplikasjonsgruppen F p tilsvarer tegnet med verdier i settet {-1, 1}.

Faktisk er Legendre-symbolet definert på ℤ. Denne funksjonen er konstant på heltallsklassene modulo p  ; den er derfor definert på multiplikasjonsgruppen til F p . På denne gruppen tar symbolet til Legendre sine verdier i settet {-1, 1} og er en morfisme av grupper, fordi symbolet på Legendre er en karakter av Dirichlet .

Demonstrasjoner er gitt i den tilhørende artikkelen.

Gaussisk sum

I resten av artikkelen er p et oddetall.

La ψ være et tegn i tilsetningsgruppen ( F p , +) og χ et tegn på den multiplikative gruppen ( F p * ,. ), Da er Gauss-summen assosiert med χ og ψ det komplekse tallet, her bemerket G (χ , ψ) og definert av:

G(χ,ψ)=∑x∈Fs∗χ(x)ψ(x){\ displaystyle G (\ chi, \ psi) = \ sum _ {x \ in F_ {p} ^ {*}} \ chi (x) \ psi (x)}.

Når det gjelder Fourier-transformasjonen , kan vi vurdere kartet som χ forbinder G (χ, ψ ) som Fourier-transformasjonen av forlengelsen av χ til F p med likheten χ (0) = 0 i additivgruppen felt og kartet som til ψ forbinder G ( χ , ψ) som Fourier-transformasjonen av begrensningen fra ψ til F p * i feltets multiplikative gruppe.

Gaussiske summer blir mye brukt i aritmetikk, for eksempel for beregning av gaussiske perioder . De gjør det spesielt mulig å bestemme summen av verdiene til gruppen av kvadratiske rester av p- th- røttene til enheten, og mer generelt å bestemme røttene til det cyklotomiske polynom av indeks p .

Kvadratisk gjensidighetslov

Gaussiske summer har en viktig historisk anvendelse: den kvadratiske gjensidighetsloven, som uttrykkes som følger:

Hvis p og q er to forskjellige odde primtall, så

(sq)(qs)=(-1)(s-1)(q-1)4{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}}.

Denne teoremet er demonstrert i artikkelen Gaussian Sum .

Dirichlet karakter

For å demonstrere teoremet for aritmetisk progresjon , og hevde at enhver inverterbar klasse av ringen ℤ / n ℤ inneholder en uendelig primtall, generaliserer Dirichlet Gauss-arbeidet og studerer systematisk gruppen av tegn i gruppen invertibler av en slik ring.

Bruken av Fourier-transformasjonen er et viktig bevis. Dirichlet-tegn har en viktig rolle i analytisk tallteori, spesielt for å analysere røttene til ζ Riemann-funksjonen .

Spesielt tilfelle: endelig vektorplass

Et spesielt tilfelle er det med vektorrom på et endelig felt . Egenskapene til endelige felt tillater at resultatene av teorien blir etablert i en litt annen form. Da bruker man for eksempel i informasjon teori gjennom studiet av boolske funksjoner , som svarer til det tilfelle hvor legemet inneholder to elementer. Teorien brukes til å løse spørsmål om kryptologi , spesielt for S-bokser , så vel som for streamkoder . Den harmoniske analysen på et endelig vektorrom griper også inn i sammenhengen med teorien om kodene og spesielt for de lineære kodene , for eksempel for å fastslå identiteten til MacWilliams .

Dualitet av Pontryagin

For en hvilken som helst lokalt kompakt abelsk gruppe G er den kanoniske injeksjonsmorfismen til G i sitt bidual bijektiv. Hvis G er en endelig abelsk gruppe, er det til og med (ikke-kanoniske) isomorfier av G i sin dobbelte . I det spesielle tilfellet hvor G er additivgruppen i et begrenset vektorrom, det vil si en elementær abelisk gruppe (en) , kan noen av disse isomorfismene konstrueres som følger.  

Fundamental isomorfisme

På et hvilket som helst endelig dimensjonalt vektorrom V , en bilinær form〈| 〉 Er ikke degenerert hvis og bare hvis Model: Bilinear form of V in its dual space V *.

I denne artikkelen betegner V et vektorrom med endelig dimensjon n over et endelig felt F q av kardinal q . Symbolet betegner den doble gruppen av V , χ 0 en ikke-triviell karakter av tilsetnings gruppe F Q og <| > Bilinear ikke-degenerert skjema på V . V^{\ displaystyle {\ hat {V}}}

Ved å bare vurdere additivgruppen til vektorområdet V * har vi:

Den morphism av gruppene er en isomorfi . V∗→V^,f↦χ0∘f{\ displaystyle V ^ {*} \ til {\ hat {V}}, f \ mapsto \ chi _ {0} \ circ f}

Denne morfismen er faktisk injiserende fordi den har en triviell kjerne , siden hvis f er en ikke-null lineær form og derfor er adjektiv , så er tegnet χ 0 ∘ f , som χ 0 , ikke-trivielt. De to gruppene har samme rekkefølge q n , denne injeksjonsmorfismen er bijektiv .

Ved sammensetning utleder vi:

Morfismen til grupper definert av U:V→V^{\ displaystyle U: V \ to {\ hat {V}}}

∀x,y∈VUx(y)=χ0(⟨x∣y⟩){\ displaystyle \ forall x, y \ i V \ quad U_ {x} (y) = \ chi _ {0} (\ langle x \ mid y \ rangle)}

er en isomorfisme.

Orthogonality i forhold til Pontryagin dualitet

La S en undergruppe av V . Som i det generelle tilfelle av en endelig abelsk gruppe , den ortogonale S er den undergruppe S ⊥ av som består av tegn hvis kjerne inneholder S . Vi definerer også det ortogonale av S relativt til den Pontryagin tosidigheten i forbindelse med (χ 0 , <|>) som den undergruppen S °: = U -1 ( S ⊥ ) av V  : V^{\ displaystyle {\ hat {V}}}

S∘={x∈V∣∀y∈Sχ0(⟨x∣y⟩)=1}{\ displaystyle S ^ {\ circ} = \ {x \ i V \ mid \ forall y \ i S \ quad \ chi _ {0} (\ langle x \ mid y \ rangle) = 1 \}}.

Vi merker at:

• det ortogonale til venstre for S i forhold til den bilineære formen er et vektors underrom av V inkludert i undergruppen S °. Den er lik den så snart χ 0 er injeksjonsdyktig - det vil si så snart q er primtall - men også så snart S er et vektorunderområde;
• hvis den bilineære formen 〈| 〉 Er symmetrisk eller antisymmetrisk, S ° ° er undergruppen generert av S  ; faktisk er denne undergruppen H inkludert i H °°, men rekkefølgen | H ° | = | H ⊥ | av H ° er lik | V | / | H | og tilsvarende | H °° | er lik | V | / | H ° | derfor til | H |, slik at H = H ° ° = S °°.

Fourier transform

Den algebra av en endelig gruppe betegnes ℂ [ G ]. Den Fourier-transformasjonen , av ℂ [ G ] i ℂ [ G ] er den lineære Bijeksjon definert ved: . Den Plancherel formel er , og hvis (,) G betegner Hermitisk kanoniske produktet av det komplekse vektorrommet ℂ [ G ], den Parseval identitet kan skrives . på^(χ): =∑y∈Gχ(y)¯på(y){\ displaystyle {\ widehat {a}} (\ chi): = \ sum _ {y \ in G} {\ overline {\ chi (y)}} a (y)}på=1g∑χ∈G^på^(χ)χ{\ displaystyle a = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {\ chi \ i {\ widehat {G}}} {\ widehat {a}} (\ chi) \ chi}(på^|b^)G^=|G| (på|b)G{\ displaystyle ({\ hat {a}} | {\ hat {b}}) _ {\ widehat {G}} = | G | ~ (a | b) _ {G}}

I tilfelle G = V , gjør isomorfismen U ovenfor , av V i sin dobbelte gruppe, det mulig å transportere denne Fourier-transformasjonen til et kart over ℂ [ V ] i ℂ [ V ], også kalt Fourier-transformasjonen og igjen bemerket ^  :

∀på∈VS[V]∀x∈Vpå^(x): =på^(U(x))=∑y∈Vpå(y)χ0(-⟨x∣y⟩){\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {C} [V] \ quad \ forall x \ in V \ quad {\ hat {a}} (x): = {\ hat {a}} (U (x) ) = \ sum _ {y \ i V} a (y) \ chi _ {0} (- \ langle x \ mid y \ rangle)}.

Parsevals likhet skrives om:

∀på,b∈VS[V](på^∣b^)=qikke(på∣b){\ displaystyle \ forall a, b \ in \ mathbb {C} [V] \ quad ({\ hat {a}} \ mid {\ hat {b}}) = q ^ {n} (a \ mid b) }

og Plancherels formel:

∀på∈VS[V]∀y∈Vpå(y)=1qikke∑x∈Vpå^(x)χ0(⟨x∣y⟩){\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {C} [V] \ quad \ forall y \ in V \ quad a (y) = {\ frac {1} {q ^ {n}}} \ sum _ {x \ in V} {\ widehat {a}} (x) \ chi _ {0} (\ langle x \ mid y \ rangle)}.

Poisson summeringsformel

Hvis W er en undergruppe av V og et element av ℂ [ V ], har Poissons summeringsformel følgende form: på{\ displaystyle a}

∑w∈Wpå(w)=1|W∘|∑w∘∈W∘på^(w∘){\ displaystyle \ sum _ {w \ in W} a (w) = {\ frac {1} {| W ^ {\ circ} |}} \ sum _ {w ^ {\ circ} \ in W ^ {\ sirk}} {\ hat {a}} (w ^ {\ circ})}.

applikasjoner

Boolsk funksjon

Det er et spesielt tilfelle at der hvor vektorområdet er binært, det vil si på feltet med to elementer F 2 . I denne sammenhengen er det bare en ikke-triviell karakter, den som forbinder –1 med enhet. Fourier-transformasjonen tar deretter en enkel form og bærer navnet Walsh-transform .

Den har mange anvendelser innen kodeteori . Den brukes for eksempel i kryptografi for å sikre sikkerheten til en melding med en S-boks når det gjelder algoritmer for krypteringssymmetrisk .

MacWilliams identitet

Harmonisk analyse på endelige vektorrom brukes også til korreksjonskoder , spesielt i sammenheng med lineære koder .

Identiteten til MacWilliams er et eksempel; den forbinder tellerpolynomet av vekter, det vil si fordelingen av Hamming-vekter , av en lineær kode og den av dens dobbelte. Den brukes til å studere koder som Hamming .

Se også

• Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra artikkelen med tittelen “  Harmonic analysis on a endite vector space  ” (se listen over forfattere ) .

Relaterte artikler

• Diskret Fourier-transform
• Ikke-kommutativ harmonisk analyse

Ekstern lenke

• C. Bachoc, Discrete Mathematics of the Fourier Transform , University of Bordeaux I
• A. Bechata, “  Harmonisk analyse av kommutative endelige grupper  ” , s.  10-11
• Anthony Carbery, "  Harmonic Analysis on Vector Spaces over Endite Fields  " , s.  4-5.

Virker

• Michel Demazure , Course of algebra: primality, divisibility, codes [ detalj of editions ]
• André Warusfel , Endelige algebraiske strukturer , Hachette, 1971
• Gabriel Peyré, Den diskrete algebraen til Fourier-transformasjonen , Ellipses , 2004

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">