Stokastisk differensialligning

En stokastisk differensialligning (DHS) er en generalisering av begrepet differensialligning med tanke på et hvitt støyuttrykk . EDS-er gjør det mulig å modellere tilfeldige baner, for eksempel aksjemarkedspriser eller bevegelser av partikler utsatt for diffusjonsfenomener. De gjør det også mulig å behandle teoretiske eller numeriske problemer som følge av teorien om partielle differensialligninger .

Bruksområdene til EDS er enorme: fysikk , biologi , befolkningsdynamikk , økologi , finansmatematikk , signalbehandling , kontrollteori , etc.

Noen uformelle tilnærminger og definisjoner

EDS som partikkelbaner

Den bruniske bevegelsen , oppkalt til ære for botanikeren Robert Brown , beskriver bevegelsen til en partikkel utsatt for et uendelig sjokk på veldig kort tid, og hans veier er uberegnelige. De har følgende egenskaper:

• Hvis vi kjenner partikkelens posisjon i et gitt øyeblikk , avhenger loven om dens romlige posisjon på et senere tidspunkt bare av posisjonen på det øyeblikket . Med andre ord har fortiden, det vil si partikkelen til tider før , ingen innflytelse på dens fremtidige bevegelser. Denne eiendommen kalles Markov-eiendommen  ;t{\ displaystyle t}t+s{\ displaystyle t + s}t{\ displaystyle t}t{\ displaystyle t}
• Partiklene beveger seg kontinuerlig i rommet;
• Loven om partikkelens posisjon mellom to øyeblikk og avhenger bare av . Økningene er da stasjonære  ;t{\ displaystyle t}t+s{\ displaystyle t + s}s{\ displaystyle s}
• Faktisk, hvis betegner posisjonen av partikkelen på en gang , deretter lov av og til med er uavhengige av hverandre. Vi vil da si at økningene er uavhengige. Faktisk innebærer denne eiendommen Markov-eiendommen;B(t){\ displaystyle B (t)}t{\ displaystyle t}B(t)-B(r){\ displaystyle B (t) -B (r)}B(r)-B(s){\ displaystyle B (r) -B (s)}s<r<t{\ displaystyle s <r <t}
• Fra disse to siste fakta, og i ånden til den sentrale grensesetningen , er det da mulig å vise at følger en normal lov om middel og varians .B(t){\ displaystyle B (t)}0{\ displaystyle 0}t{\ displaystyle t}

Med andre ord er partikkeldynamikken den samme uavhengig av dens posisjon i rommet, og hvis vi roterer koordinatene til rommet ved hjelp av en rotasjon, forblir en brownian bevegelse en brownian bevegelse: partikkelen utvikler seg i et homogent og isotropisk miljø .

Begrepet EDS gjør det mulig å beskrive bevegelsen til en partikkel i et medium hvis fysiske egenskaper kan variere, ved å skape to effekter:

• Hvis vi kjenner posisjonen til en partikkel, er prosessloven om gangen en gaussisk hvis kovarians ikke nødvendigvis er identiteten, og som kan avhenge av posisjonen . Kovariansen må være i størrelsesorden  ;X(t){\ displaystyle X (t)}t+δt{\ displaystyle t + \ delta t}X(t){\ displaystyle X (t)}δt{\ displaystyle \ delta t}
• På veldig kort tid blir partiklene presset i en gitt retning. Vi vil da snakke om drift . Dette innebærer faktisk at den gjennomsnittlige posisjonen til partikkelen for øyeblikket å vite posisjonen er gitt av for en vektor , som også kan avhenge av .t+δt{\ displaystyle t + \ delta t}X(t){\ displaystyle X (t)}E[X(t+δt)|X(t)]=μδt{\ displaystyle \ mathbb {E} [X (t + \ delta t) | X (t)] = \ mu \ delta t}μ{\ displaystyle \ mu}X(t){\ displaystyle X (t)}

Ved å kombinere disse to effektene kan vi skrive

X(t+δt)≈σ(X(t))ξ+μ(X(t))δt{\ displaystyle X (t + \ delta t) \ approx \ sigma (X (t)) \ xi + \ mu (X (t)) \ delta t},

hvor er en sentrert normal gaussisk av kovarians identiteten. Det er lett å verifisere det ξ{\ displaystyle \ xi}

E[X(t+δt)|X(t)]=μδt{\ displaystyle \ mathbb {E} [X (t + \ delta t) | X (t)] = \ mu \ delta t}

og

E[(X(t+δt)-E[X(t+δt)|X(t)])2]=σ(X(t))σ(X(t))Tδt{\ displaystyle \ mathbb {E} [(X (t + \ delta t) - \ mathbb {E} [X (t + \ delta t) | X (t)]) ^ {2}] = \ sigma (X (t)) \ sigma (X (t)) ^ {\ mathrm {T}} \ delta t}.

Starter fra , og hvis vi summerer økningene mellom og , så får vi 0{\ displaystyle 0}kδt{\ displaystyle k \ delta t}(k+1)δt{\ displaystyle (k + 1) \ delta t}

X(t)≈∑k=0⌊T/δt⌋σ(X(t))ξk+μ(X(t))δt{\ displaystyle X (t) \ approx \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor T / \ delta t \ rfloor} \ sigma (X (t)) \ xi _ {k} + \ mu (X (t )) \ delta t},

der la oss anta at de gaussiske variablene er uavhengige, noe som er ganske rimelig hvis vi ønsker å beholde Markov-eiendommen, dvs. uavhengigheten av loven om partikkelens fremtidige posisjoner etterpå med hensyn til øyeblikket før . Vi kan ta for de påfølgende økningene av en brownian bevegelse. ξk{\ displaystyle \ xi _ {k}}t{\ displaystyle t}t{\ displaystyle t}ξk{\ displaystyle \ xi _ {k}}

Ved hjelp av teorien om stokastiske integraler kan vi ha en tendens til (vær forsiktig, dette er en konvergens i sannsynligheten  !), Og vurder følgende ligning δt{\ displaystyle \ delta t}0{\ displaystyle 0}

X(t)=X(0)+∫0tσ(X(s))dB(s)+∫0tμ(X(s))ds{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X (s)) \, dB (s) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu (X (s)) \, ds},

hvor er en brownian bevegelse, er en funksjon med en matriseverdi (som ikke nødvendigvis er en kvadratmatrise ), og en funksjon med en vektorverdi. En slik ligning, som derfor innebærer en stokastisk integral, kalles en stokastisk differensialligning (DHS). B{\ displaystyle B}σ{\ displaystyle \ sigma}μ{\ displaystyle \ mu}

Teorien om EDS består derfor i å studere egenskapene til dette objektet, og forholdene på koeffisientene som gjør det mulig å sikre eksistensen av slike objekter.

I motsetning til Brownian-bevegelse øker ikke EDS-løsninger, bortsett fra i det enkle tilfellet hvor og er konstante, uavhengige og stasjonære. På den annen side har de Markov-eiendommen. σ{\ displaystyle \ sigma}μ{\ displaystyle \ mu}

Støyende differensialligninger

Tenk på en vanlig differensialligning som vi vil legge til støy på. En hvit støy vil bli brukt som en støymodell , hvis intensitet vil variere i henhold til plassering av rommet, og ligningen vår blir da dX(t)dt=μ(X(t)){\ displaystyle {\ frac {dX (t)} {dt}} = \ mu (X (t))} ξ(t){\ displaystyle \ xi (t)}

dX(t)dt=μ(X(t))+σ(X(t))ξ(t){\ displaystyle {\ frac {dX (t)} {dt}} = \ mu (X (t)) + \ sigma (X (t)) \ xi (t)}

for en funksjon . I seg selv er hvit støy et dårlig definert objekt (dette tilsvarer tilfeldig støy der alle frekvenser er til stede med lik sannsynlighet), og en slik ligning gir ingen mening. På den annen side, når hvit støy formelt blir definert som avledet av brunian bevegelse, forvandler vi vår ligning til σ{\ displaystyle \ sigma}B(t){\ displaystyle B (t)}

dX(t)=μ(X(t))dt+σ(X(t))dB(t),{\ displaystyle dX (t) = \ mu (X (t)) \, dt + \ sigma (X (t)) \, dB (t),}

som vi kan vise seg å være fornuftige ved å bruke stokastisk kalkulus når den skrives i integrert form:

X(t)=X(0)+∫0tμ(X(s))ds+∫0tσ(X(s))dB(s).{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu (X (s)) \, ds + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X ( s)) \, dB (s).}

DHS som grenser for vanlige differensialligninger

En annen naturlig måte å se på EDS er å bruke stykkevise lineære interpolasjoner av banene til Brownian-bevegelse. La en slik bane bli tatt, og la oss vurdere mellom øyeblikket og øyeblikket , B(t,ω){\ displaystyle B (t, \ omega)}0{\ displaystyle 0}T{\ displaystyle T}

Bikke(t,ω)=t-Tk/ikke(Tk+1)/ikke-Tk/ikke(B(T(k+1)/ikke,t)-B(Tk/ikke)){\ displaystyle B ^ {n} (t, \ omega) = {\ frac {t-Tk / n} {(Tk + 1) / n-Tk / n}} (B (T (k + 1) / n , t) -B (Tk / n))} hvis t∈[Tk/ikke,T(k+1)/ikke]{\ displaystyle t \ i [Tk / n, T (k + 1) / n]}

så vel som vanlige differensiallikninger (under gode regelmessighetsforhold på og ) σ{\ displaystyle \ sigma}μ{\ displaystyle \ mu}

Xikke(t,ω)=X(0)+∫0tσ(Xikke(s,ω))dBikke(s,ω)+∫0tμ(Xikke(s,ω))ds.{\ displaystyle X ^ {n} (t, \ omega) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X ^ {n} (s, \ omega)) \, dB ^ { n} (s, \ omega) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu (X ^ {n} (s, \ omega)) \, ds.}

Kan vi vise at konvergerer til noe når vi har en tendens til uendelig? Faktisk fungerer denne tilnærmingen, men demonstrasjonen er ikke åpenbar og innebærer fallgruver. Faktisk konvergerer til løsningen av en EDS i betydningen StratonovichXikke(t,ω){\ displaystyle X ^ {n} (t, \ omega)}ikke{\ displaystyle n}Xikke(t,ω){\ displaystyle X ^ {n} (t, \ omega)}

X(t)=X(0)+∫0tμ(X(s))ds+∫0tσ(X(s))∘dB(s).{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu (X (s)) \, ds + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X ( s)) \ circ \, dB (s).}

som derfor innebærer en annen forestilling om stokastisk integral, her betegnet med un , den av Stratonovich . Dette resultatet skyldes Eugene Wong og Moshe Zakai . Hvis vi vil bruke en Itô-integral , da ∘{\ displaystyle \ circ}

X(t)=X(0)+∫0tμ(X(s))ds+∫0tσ(X(s))dB(s)+12∫0tσ(X(s))∇σ(X(s))ds.{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu (X (s)) \, ds + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X ( s)) \, dB (s) + {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} \ sigma (X (s)) \ nabla \ sigma (X (s)) ds. }

Blant vanskelighetene bør det bemerkes at det er nødvendig, bortsett fra i dimensjon 1, å bruke en deterministisk partisjonsfamilie hvis man ønsker å bruke noe annet enn en vanlig partisjon, samt en stykkevis lineær interpolasjon, slik at konvergensen mot forventet DHS finner sted.

Noen bemerkelsesverdige DHS

Som med vanlige differensiallikninger, vet vi ikke hvordan vi skal løse en DHS generelt.

Geometrisk Brownian bevegelse

The Brownian motion Geometric er en prosess av skjemaet

X(t)=X(0)eksp⁡(σB(t)+(μ-σ22)t){\ displaystyle X (t) = X (0) \ exp (\ sigma B (t) + (\ mu - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t)}

Dens egenart er å være en stokastisk prosess med positive verdier. Derfor brukes den i finansmatematikk for å modellere utviklingen i aksjemarkedspriser, renter, finansielle produkter. Dynamikken i denne prosessen er selve grunnlaget for Black-Scholes-modellen . Takket være Itôs formel er geometrisk brownian bevegelse en løsning på

X(t)=X(0)+∫0tσX(s)dB(s)+∫0tμX(s)ds{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma X (s) \, dB (s) + \ int _ {0} ^ {t} \ mu X ( s) \, ds}.

Denne geometriske Brownian-bevegelsen kan også tilnærmes ved hjelp av forskjellige numeriske eller analytiske metoder, slik som den endelige forskjellsmetoden eller den binomiale tilnærmingen.

Langevin-ligningen og Ornstein-Uhlenbeck-prosessen

Langevin 's ligning gir bevegelse til en partikkel i et medium med friksjon, og utsettes for en varierende kraft ( '  termisk bad  '), som vi vil ta så hvit støy. I henhold til det grunnleggende prinsippet om dynamikk er partikkelens hastighet en løsning av ξ(t){\ displaystyle \ xi (t)}

dV(t)dt=-λV(t)+ξ(t){\ displaystyle {\ frac {dV (t)} {dt}} = - \ lambda V (t) + \ xi (t)}.

Som tidligere gir ikke denne ligningen mening, med mindre du legger den i form

V(t)=V(0)+B(t)-∫0tλV(s)ds{\ displaystyle V (t) = V (0) + B (t) - \ int _ {0} ^ {t} \ lambda V (s) \, ds},

hvor er en brownian bevegelse. Parameteren spesifiserer intensiteten til friksjonen. Denne ligningen kan løses direkte: B(t){\ displaystyle B (t)}λ{\ displaystyle \ lambda}

V(t)=eksp⁡(-λt)V(0)+∫0teksp⁡(-λ(t-s))dB(s){\ displaystyle V (t) = \ exp (- \ lambda t) V (0) + \ int _ {0} ^ {t} \ exp (- \ lambda (ts)) \, dB (s)}

Det er en Ornstein-Uhlenbeck-prosess , og dens egenart er at det er en Gaussisk prosess . Dens middel og dens avvik er

E[V(t)]=eksp⁡(-λt)V(0){\ displaystyle \ mathbb {E} [V (t)] = \ exp (- \ lambda t) V (0)}og . E[(V(t)-V(0))2]=1-eksp⁡(-2λt)2λ{\ displaystyle \ mathbb {E} [(V (t) -V (0)) ^ {2}] = {\ frac {1- \ exp (-2 \ lambda t)} {2 \ lambda}}}

Merk at her har vi vurdert hastigheten på partikkelen. Dens posisjon er gitt av , og er i seg selv en vanlig bane, men som forblir en Gaussisk prosess . X(t)=X(0)+∫0tX(s)ds{\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} X (s) \, ds}

Ved å få visse parametere til å være uendelig, kan vi nærme oss en EDS X(t){\ displaystyle X (t)}

Tilfeldig partikkel i et kraftfelt

Vi kan avgrense Langevin-ligningen ved å legge til et kraftfelt som avhenger av posisjonen. Da er posisjonen og hastigheten til partikkelen løsninger av en ligning som vi skal skrive i form

dX(t)=V(t)dtdV(t)=λK(t,X(t))dt-λV(t)dt+λDdB(t){\ displaystyle {\ begin {matrise} dX (t) = V (t) \, dt \\ dV (t) = \ lambda K (t, X (t)) \, dt- \ lambda V (t) \ , dt + \ lambda {\ sqrt {D}} dB (t) \ end {matrix}}} hvor er det betraktede kraftfeltet, og . Det er da mulig å vise at posisjonen , når den har en tendens til uendelig, oppfører seg som løsningen av DHS λK{\ displaystyle \ lambda K}λ,D>0{\ displaystyle \ lambda, D> 0}X(t){\ displaystyle X (t)}λ{\ displaystyle \ lambda}

dX(t)=K(t,X(t))dt+DdB(t).{\ displaystyle dX (t) = K (t, X (t)) dt + {\ sqrt {D}} dB (t).}

Ved anvendelse, hvis er et potensial, dvs. at gradienten er en kraft, da U{\ displaystyle U}

X(t)=X(0)+DB(t)+∫0tU(X(s))ds{\ displaystyle X (t) = X (0) + {\ sqrt {D}} B (t) + \ int _ {0} ^ {t} U (X (s)) \, ds}

er en vanlig brukt EDS i fysikk. Uten tilstedeværelsen av Brownian-bevegelse i den forrige modellen vil partikkelen bli immobilisert i bunnen av brønnene i , det vil si hvor gradienten er null. I nærvær av en støy, uansett hvor liten den er, har den muligheten for å rømme og passere fra en brønn til en annen, og slik dynamikk blir ofte studert (vi har noen ganger stokastiske resonansfenomener ). U{\ displaystyle U}∇U{\ displaystyle \ nabla U}

Brownian bro

Sannsynligheten for at en brownian bevegelse når et gitt punkt på en fast tid er null. Imidlertid må vi noen ganger vurdere banen til en brownian bevegelse (her i en dimensjon) betinget av en slik hendelse. Vi kan konstruere et slikt objekt som løsningen på T{\ displaystyle T}X(t){\ displaystyle X (t)}

X(t)=på+B(t)+∫0tb-X(s)T-sds, t∈[0,T].{\ displaystyle X (t) = a + B (t) + \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {bX (s)} {Ts}} \, ds, \ t \ in [0, T ].}

Baner starter fra og når punktet til tiden . Prosessen er en Gaussisk prosess. X(t){\ displaystyle X (t)}på{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}T{\ displaystyle T}X{\ displaystyle X}

Digital oppløsningsmetode

De stokastiske differensiallikningene kan løses numerisk og spesielt ved en bestemt metode av Runge-Kutta .

Kobling med delvise differensialligninger

Fokker-Planck ligning

Generaliseringer

Det er flere generaliseringer av konseptet med DHS som vi nettopp har presentert:

• EDS med hopp;
• EDS drevet av andre typer prosesser, som for eksempel brøkdelte bruniske bevegelser ;
• EDS i uendelig dimensjon (kan sammenlignes med de stokastiske partielle differensiallikningene )
• ...

Bruksområder

• modellering av diffusjonsfenomener i fysikk ( væskemekanikk , geofysikk , etc.): dette er utgangspunktet for motivasjonen for studiet av brun bevegelse;
• populasjonsdynamikk , økologi , ...: modellering av plasseringen av populasjonen til en gitt art, eller til og med av størrelsen ...
• Monte-Carlo-metoder  : oppløsning av visse partielle differensiallikninger ved tilfeldige metoder;
• finansmatematikk  : modellering av aksjemarkedspriser;
• teori for stokastisk kontroll  : dette innebærer å finne strategier for å minimere eller maksimere visse mengder som er underlagt tilfeldige svingninger, men spesifisert av parametere som kan varieres (verdien av en portefølje av aksjer, strømningsregulering en dam, ...)
• tilfeldige dynamiske systemer  ;
• stokastisk resonans , modellering i nevrovitenskap , klimatologi (klimamodeller over svært lange perioder bruker EDS).
• Multiscale polymer strømningsmodeller

Merknader og referanser

Se også

Interne lenker

• Stokastisk kalkulus

Bibliografi

• CG Gardiner, Handbook of Stochastic Methods ( 3 e r.), Springer, 2004 ( ISBN  3-540-20882-8 )
• I. Karatzas og S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus , Graduate Texts in Mathematics ( 2 e r.), Springer, 2004. ( ISBN  0-387-97655-8 ) .
• E. Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion . Princeton University Press, 1967. PDF-versjon på forfatterens side.
• B. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction With Applications ( 6. th .), Springer, 2005. ( ISBN  3-540-04758-1 )
• Revuz D. og M. Yor , Continuous Martingales and Brownian Motion , ( 3 e r.), Springer, 2004. ( ISBN  3-540-64325-7 )
• LCG Rogers og D. Williams, Broadcasts, Markov prosesser og martingaler ( 2 e r.), Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 2000 ( ISBN  0-521-77593-0 )

Simulering

• P. Kloeden og E. Platen, Numerical Solution of Stochastic Differential Equations , Springer, 2000. ( ISBN  3-540-54062-8 )
• P. Kloeden, E. Platen og H. Schurz, Numerical Solution of SDE Through Computer Experiments , Universitext, Springer, 2003. ( ISBN  3-540-57074-8 )
• B. Lapeyre, E. Pardoux og R. Sentis, Monte-Carlo metoder for transport og diffusjonsligninger , Springer, 1998. ( ISBN  3-540-63393-6 )

Ekstern lenke

• "  Liste over vanlige EDS  " ( Arkiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Hva skal jeg gjøre? )