Åpne og lukkede applikasjoner

I matematikk , og nærmere bestemt i topologi , er en åpen applikasjon en applikasjon mellom to topologiske mellomrom som sender åpninger fra den ene til åpningene fra den andre. På samme måte sender en lukket søknad lukket fra første plass til lukket fra den andre.

Definisjoner

La være to topologiske mellomrom X og Y  ; vi sier at et kart f fra X til Y er åpent hvis for noe åpent U av X , bildet f ( U ) er åpent i Y  ; Tilsvarende er det sagt at f er stengt dersom for alle lukket U av X , bilde f ( U- er) som er lukket i Y .

I begge tilfeller er det ikke nødvendig at f er kontinuerlig  ; Selv om definisjoner kan virke like, er åpen eller lukket trekk en mye mindre viktig rolle i topologi at kontinuerlige applikasjoner der det er den inverse bildet av en hvilken som helst åpen fra Y , som må være en åpen X .

Et kart f : X → Y sies å være relativt åpent hvis korestriksjonen X → f ( X ) er åpen.

Eksempler

• Det kontinuerlige kartet f  : R → R definert av f ( x ) = x 2 er ( riktig derfor) lukket, men ikke åpent.
• Den identidetsmapping av en Y plass er en homeomorfi , derfor er kontinuerlig, åpen og lukket. Men hvis Y er et underområde av X , er inkluderingen av Y i X bare åpen hvis Y er åpen i X , siden bildet av en hvilken som helst åpen applikasjon er et åpent av ankomstområdet. Angitt slutt innstilt av programmet er derfor viktig. Det samme gjelder ved å erstatte “åpen” med “lukket”.
• Den Bijeksjon f i [0, 2π [i enhetssirkelen som ved enhver vinkel e tilknyttede punktet påføre e Ie er kontinuerlig og derfor dens resiproke Bijeksjon f -1 er åpen og lukket (men diskontinuerlig ved punktet for påføre 1). Dette viser at bildet av en kompakt med en åpen eller lukket applikasjon ikke nødvendigvis er kompakt.
• Hvis Y har den diskrete topologien (dvs. hvis alle delmengder av Y er både åpne og lukkede), er alle kartene f: X → Y åpne og lukkede, men ikke nødvendigvis kontinuerlige. Dermed er heltalsfunksjonen som går fra R til heltallene Z åpen og lukket, men ikke kontinuerlig. Dette eksemplet viser også at bildet av et tilkoblet rom ved en åpen eller lukket applikasjon ikke nødvendigvis er koblet.
• På et hvilket som helst produkt av topologiske mellomrom X = i X i er de kanoniske utspringene p i  : X → X i åpne (og kontinuerlige). Ettersom fremskrivningene av buntene er identifisert lokalt med kanoniske fremskrivninger av produkter, er de også åpne applikasjoner. På den annen side, kanoniske fremspring er vanligvis ikke lukkede kartene: if p 1  : R 2 → R er projeksjonen på den første komponent ( p- 1 ( x , y ) = x ) og hvis A = {( x , 1 / x ) | x ≠ 0}, A er en stengt av R- 2 , men p- 1 ( A ) = R \ {0} er ikke lukket. Imidlertid, hvis X 2 er kompakt, er projeksjonen X 1 × X 2 → X 1 lukket  ; dette resultatet tilsvarer i det vesentlige rør-lemmaet .

Eiendommer

Et kart f  : X → Y er åpent hvis og bare hvis for alle x av X og for alle nabolag U av x , f ( U ) er et nabolag av f ( x ).

For å vise en applikasjon er åpnet, er det bare å sjekke den på en basis av den opprinnelige plass X . Med andre ord, f  : X → Y er åpen hvis og bare hvis bildet av f av hvert åpent på basis av X er åpent.

Åpne og lukkede applikasjoner kan også karakteriseres når det gjelder interiør og vedheft . Et kart f  : X → Y er:

• åpne hvis og bare hvis, for hvilken som helst del A av X , f (int ( A )) ⊂ int ( f ( A ));
• lukket hvis og bare hvis, for hvilken som helst del A av X , f ( A ) ⊂ f ( A ).

Den sammensatte av to åpne søknader er åpen, den består av to lukkede søknader er lukket.

Det produkt av to åpne kjøres er åpen, men, generelt, blir produktet av to lukkede kjøringer ikke lukket.

For en hvilken som helst sammenheng f  : X → Y er den gjensidige bindingen f −1  : Y → X kontinuerlig hvis og bare hvis f er åpen (eller lukket, som tilsvarer en binding).

Hvis f  : X → Y er et kontinuerlig kart som enten er åpent eller lukket, så:

• hvis f er en overskjæring , er f et kvotientkart , dvs. Y har den fineste topologien som f er kontinuerlig for;
• hvis f er en injeksjon , er det en topologisk innebygging , dvs. at X og f (X) er homeomorfe (av f );
• hvis f er en sammenheng, er det en homeomorfisme.

I de to første tilfellene er å være åpen eller lukket bare en tilstrekkelig betingelse; det er også en nødvendig forutsetning i sistnevnte tilfelle.

Karakteriseringsteoremer

Det er ofte nyttig å ha vilkår og betingelser som garanterer at en applikasjon er åpen eller lukket. Følgende resultater er blant de mest brukte.

Enhver kontinuerlig påføring fra et kompakt rom til et eget rom er (rent derfor) lukket.

I funksjonsanalyse , den Banach-Schauder teorem (også kjent som den åpne kartet teorem) sier at enhver surjektiv kontinuerlig lineær operator mellom banachrom er en åpen kart.

I kompleks analyse sier det åpne bildesatsen at enhver ikke-konstant holomorf funksjon definert på en sammenhengende åpen av det komplekse planet er et åpent kart.

I differensialgeometri sier en del av den lokale inversionssetningen at en kontinuerlig differensierbar funksjon mellom euklidiske rom, hvis jakobiske matrise er inverterbar på et gitt punkt, er en åpen applikasjon i nabolaget til dette punktet. Mer generelt, hvis et kart F  : U → R m av en åpen U ⊂ R n i R m er slik at den differensial d F ( x ) er surjektiv på ethvert punkt x ∈ U , og F er en åpen kart.

Til slutt sier domeneinvarianssetningen (på grunn av Brouwer , og ved bruk av hans berømte fastpunktssetning ) at et kontinuerlig og lokalt injiserende kart mellom to topologiske manifolder med samme endelige dimensjon er åpent.

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen "  Åpne og lukkede kart  " ( se listen over forfattere ) .

Merk

1. Betraktet som en applikasjon fra R til R , er den fortsatt stengt, men er ikke lenger åpen.

Henvisning

N. Bourbaki , Elements of mathematics, book III: General topology [ detalj av utgaver ], kap. Jeg, § 5