Konstruksjon av reelle tall

I matematikk er det forskjellige konstruksjoner av reelle tall , hvorav de to mest kjente er:

de Dedekind kutt som definerer, via mengdelære , som en ekte all rasjonell er strengt dårligere enn det;
de cauchyfølge , som definerer, via analyse , faktiske som et resultat av rasjonell konvergerer mot det.

Historisk

Det var fra 1860-tallet at behovet for å presentere en konstruksjon av reelle tall ble mer og mer presserende, med sikte på å etablere analysen på strenge fundament. Inntil denne datoen ble eksistensen av realer og deres eiendommer innrømmet, for eksempel av Cauchy i løpet av 1821. I 1817 slo Bolzano fast at en ikke-tom del økt med reals, innrømmer en øvre grense, i en memoar som fortsatt dessverre ikke er veldig utbredt og som hadde liten innflytelse frem til arbeidet med Weierstrass rundt 1865. De første konstruksjonene, basert på suitene i Cauchy, skyldes Méray i 1869, og Cantor hvis ideer ble presentert i 1872 av Heine . Dedekind publiserer sin konstruksjon av realer ved hjelp av kutt i 1872. I 1878 publiserer Dini en avhandling som gir de viktigste demonstrasjonene om reelle tall.

Intuitiv konstruksjon fra desimaler

Et reelt tall er en størrelse som har desimalrepresentasjon , hvor er et heltall, hver er et tall mellom 0 og 9, og sekvensen slutter ikke med uendelig 9. Definisjonen av er da tallet som tilfredsstiller denne doble ulikheten for alle k : ${\ displaystyle x = n + 0 {,} d_ {1} d_ {2} d_ {3} \ dotso}$ $ikke$ $d_ {i}$ $x$

{\ displaystyle n + {\ dfrac {d_ {1}} {10}} + {\ dfrac {d_ {2}} {100}} + \ dotsb + {\ dfrac {d_ {k}} {10 ^ {k }}} \ leq x <n + {\ dfrac {d_ {1}} {10}} + {\ dfrac {d_ {2}} {100}} + \ dotsb + {\ dfrac {d_ {k}} { 10 ^ {k}}} + {\ dfrac {1} {10 ^ {k}}}}

Denne konstruksjonen, i tillegg til mangelen på strenghet i denne formen, har forskjellige ulemper, hvorav den viktigste er vanskeligheten med å gi enkle algoritmer for multiplikasjonen, og til og med for tillegg i tilfeller som . Terence Tao påpeker at det kan gjøres mer naturlig ved å tolke det (som for konstruksjon av $p-$ store tall ) som den prosjektive grensen for sett med desimaler med n sifre etter desimaltegnet, forsynt med passende avrundede beregningsregler. ${\ displaystyle 0 {,} 333 \ dotso +0 {,} 666 \ dotso}$

Bygging av Dedekind kutter

Definisjon som en helhet

Dette er konstruksjonen forestilt av Richard Dedekind som legger merke til at hver rasjonell deler seg i to sett: settet med rasjonelle som og settet med rasjonelle som . Det kaller da en cutoff . Han legger da merke til at det også kan deles i to sett: settet med rasjonelle som og settet med rasjonelle som . Ideen kom derfor til ham å definere settet med realer som settet med kutt av . Det gjenstår nå å definere et kutt uten å bruke den intuitive forestillingen om et reelt tall. Dedekind tilbyr følgende definisjon: $r$ $\ mathbb {Q}$ $A_ {r}$ $på$ $a <r$ $B_ {r}$ $b$ $b \ geq r$ ${\ displaystyle (A_ {r}, B_ {r})}$ $\ mathbb {Q}$ ${\ sqrt {2}}$ $\ mathbb {Q}$ $PÅ$ $på$ $a <{\ sqrt 2}$ $B$ $b$ $b> {\ sqrt 2}$ $\ mathbb {Q}$

En Dedekind snitt i legemet av lyden er et par av to nonempty undergrupper A og B slik at

\ mathbb {Q}

$A \ cap B = \ emptyset$ ;
${\ displaystyle A \ cup B = \ mathbb {Q}}$ ;
$\ forall a \ i A, \ forall b \ i B, a <b$ .

Vi ser dermed at ethvert rasjonelt tall r definerer to kutt:

( A , B ) slik at A er settet med rasjonelle tall som er strengt mindre enn r og B settet med rasjonaliteter større enn eller lik r ;
( A ' , B' ) slik at A ' er settet med rasjonelle tall mindre enn eller lik r og B' settet med rasjonelle strengt større enn r .

For å løse denne tvetydigheten bruker vi deretter følgende definisjon av et kutt:

Et kutt av

\ mathbb {Q}

er en del A av slik at

\ mathbb {Q}

A er ikke-tom og forskjellig fra ; $\ mathbb {Q}$
for alle av A , for alle , hvis så hører til A ; $på$ ${\ displaystyle a '\ in \ mathbb {Q}}$ $a '<a$ $på'$
A har ikke et større element.

Vi definerer deretter som settet med disse kuttene (for en generalisering, se avsnittet "Bruke surrealistiske tall" nedenfor ). Vi kan se at denne andre definisjonen gjør det mulig å sikre en utvetydig sammenheng mellom hver rasjonell r og snittet er definert som det sett med alle de begrunnelser en slik som . Vi legger da merke til at det er delt inn i to sett, det ene omfatter kuttene hvis komplementære innrømmer et mindre element, kuttet av formen , og det andre omfatter kuttene hvis komplementære ikke har et mindre element. $\ mathbb {R}$ $A_ {r}$ $a <r$ $\ mathbb {R}$ $A_ {r}$

For eksempel er det irrasjonelle representert av kuttet . $\ sqrt2$ ${\ displaystyle \ {a \ in \ mathbb {Q} \ mid a <0 {\ mbox {or}} a ^ {2} <2 \}}$

Man stuper naturlig inn av injeksjonsapplikasjonen som forbinder kuttet med enhver rasjonell r . $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $A_ {r}$

Orden og drift

Bestillingsrelasjon : Sett med kutt, inkludert inkluderingsrelasjonen, er da et totalt ordnet sett .

Tillegg : Vi definerer et tillegg med: $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle c \ i A + B \ Leftrightarrow \ eksisterer a \ i A \ quad \ eksisterer b \ i B \ quad c = a + b}

Dette tillegget gir en kommutativ gruppestruktur . Den eneste vanskeligheten ligger i å definere det motsatte av A : (hvis ) eller (hvis ). $\ mathbb {R}$ $A _ {{- r}}$ $A = A_ {r}$ $- \ overline A$ $A \ neq A_ {r}$

Multiplikasjon : Multiplikasjon defineres først på positive realer av:

{\ displaystyle c \ i A \ ganger B \ Leftrightarrow \ eksisterer a \ i A \ cap \ mathbb {Q} ^ {+} \ quad \ exist b \ i B \ cap \ mathbb {Q} ^ {+} \ quad c \ leq ab}

Tegnregelen gjør det da mulig å definere multiplikasjonen på alt . $\ mathbb {R}$

Eiendommer

Settet med kutt, som følger med denne bestillingen og disse to lovene, er da et totalt ordnet felt som verifiserer dessuten eiendommen til den øvre grensen (ethvert ikke-friskt sett pluss har en øvre grense ). $\ mathbb {R}$

Bygging via Cauchy-suitene

Denne konstruksjonen er vanskeligere å nærme seg, men konstruksjonen av driften er mer naturlig. Denne metoden er formelt analog med konstruksjonsmetoden som gjør det mulig fra et metrisk rom E å oppnå et komplett metrisk rom E ' slik at E er tett i E' .

Hvordan og hvorfor snakke om Cauchy-oppfølgere

Det kan ikke være spørsmål om, under straffen for et sirkulært argument , å definere a priori på et totalt ordnet felt K , en avstand med verdier i ℝ, siden vi ennå ikke har definert sistnevnte. De to forestillingene om Cauchy-sekvens og om konvergent sekvens skal derfor tas (her, men spesielt i avsnittet "Ekvivalens av de to konstruksjonene") ikke i vanlig forstand av Cauchy- sekvens og konvergent sekvens i et metrisk rom, men i vanlig sans. følgende retning: en sekvens $( a n )$ i K

er fra Cauchy hvis

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ i K _ {+} ^ {*} \ quad \ eksisterer N \ i \ mathbb {N} \ quad \ forall m, n \ geq N \ quad | a_ {n} -a_ { m} | <\ varepsilon}

;

konvergerer til et element $a$ (som er notert :) hvis ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = a}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ i K _ {+} ^ {*} \ quad \ eksisterer N \ i \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ geq N, \ quad | a_ {n} -a | < \ varepsilon}

hvor for alle $x$ ∈ K , elementet | $x$ | ∈ K betegner det største av de to elementene $x$ og $- x$ .

Disse to definisjonene av Cauchy-sekvenser og konvergerende sekvenser - som på ront vil tilsvare posteriori til de vanlige definisjonene - er de som er knyttet henholdsvis til den enhetlige strukturen på den ordnede gruppen ( K , +, ≤) og til topologien til ordren qu ' induserer hun. Den fullstendigheten av en ensartet plass innebærer konvergens av dens cauchyfølge. Det omvendte, falsk generelt, er sant hvis feltet K er arkimedisk (og ℝ vil være). Dette vil gi et enkelt kriterium for å vise at ℝ er komplett (som et ensartet rom) selv før du har gitt den den vanlige metriske romstrukturen. Videre vil vi hele tiden bruke at hvis K er arkimedisk, kan $ε$ som griper inn i disse definisjonene alltid tas fra ℚ + *.

Definisjon som en helhet

Ideen om Cantor (og noen år før han av Méray ) ligger i det faktum at man kan nå et hvilket som helst reelt tall ved en Cauchy-sekvens av . Det begrensende elementet som det vil være nødvendig å gi en mening til, vil da bli definert som et reelt tall. Settet med Cauchys suiter , som vi vil merke , virker imidlertid altfor store. Faktisk, for eksempel for en gitt rasjonell, eksisterer det en uendelig Cauchy-sekvens som konvergerer mot denne grensen. Det er nødvendig å kvotientere dette settet med et ekvivalensforhold mellom sekvensene: to Cauchy-sekvenser med rasjonelle tall vil sies å være ekvivalente hvis deres forskjell konvergerer mot 0 (konvergensen av en sekvens med den betydningen som er definert ovenfor, på samme måte som egenskapen av å være av Cauchy): $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {Q}$ $\ matematisk C$ $\ matematisk C$ ${\ mathcal R}$ $\ mathbb {Q}$

{\ displaystyle (u_ {n}) {\ mathcal {R}} (v_ {n}) \ Leftrightarrow \ lim _ {n \ to \ infty} (u_ {n} -v_ {n}) = 0.}

Denne relasjonen er virkelig en ekvivalensrelasjon, siden den er: ${\ mathcal R}$

refleksiv fordi null-sekvensen faktisk konvergerer mot 0;
symmetrisk fordi hvis en sekvens konvergerer til 0, så konvergerer også den motsatte sekvensen til 0;
transitive på grunn av den trekantede ulikheten på den absolutte verdien i . Hvis , og er tre sekvenser av rasjonelle, har vi faktisk: $\ mathbb {Q}$ $(en})$ $(v_n)$ $(w_ {n})$

\ forall n \ i \ mathbb {N}, \ | u_ {n} -w_ {n} | \ leq | u_ {n} -v_ {n} | + | v_ {n} -w_ {n} |.

Vi definerer deretter som settet med ekvivalensklasser av Cauchy-rasjonalsekvenser (for denne ekvivalensrelasjonen på ). $\ mathbb {R}$ ${\ mathcal R}$ $\ matematisk C$

Operasjoner

Settet med sekvenser i er naturlig utstyrt med en kommutativ ringstruktur med tillegg og multiplikasjon arvet fra feltstrukturen til . Hvis og er to sekvenser, er disse operasjonene definert av: $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {Q}$ $(en})$ $(v_n)$

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}}

;

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad (u \ cdot v) _ {n} = u_ {n} \ cdot v_ {n}}

Disse operasjonene holder Cauchy-kriteriet, det vil si at summen og produktet av to Cauchy-sekvenser fortsatt er Cauchy-sekvenser. I ringen av rasjonelle verdsatte sekvenser er derfor delmengden en underring. $\ matematisk C$

I denne ringen er delsettet av sekvensene som konvergerer til 0 et ideal (dvs. summen av to sekvenser som konvergerer til 0, og produktet av en sekvens som konvergerer til 0 ved en sekvens av Cauchy, konvergerer til 0). Ekvivalensforholdet fremstår derfor som det som er forbundet med dette idealet, noe som gjør det mulig å gi en kvotientringstruktur (fremdeles kommutativ og enhetlig). $\ matematisk C$ ${\ mathcal R}$ $\ mathbb {R}$

Vi dykker inn via de stasjonære suitene. Vi vil betegne klassen som inneholder den konstante sekvensen lik . $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $(på)$ $a \ in \ mathbb {Q}$

Kvotientringen er en kropp. $\ mathbb {R} = {\ mathcal C} / {\ mathcal R}$

Demonstrasjon

Det er et spørsmål om å vise at ethvert reelt tall som ikke er null, innrømmer en invers. La være et element av forskjellig fra (0) og en sekvens av denne klassen . Å si at klassen er forskjellig fra klassen (0), er å si at sekvensen ikke konvergerer til 0, som er skrevet: $på$ $\ mathbb {R}$ $(år})\;$ $på$ $på$ $(år})\;$

(1) \ qquad \ eksisterer \ varepsilon \ i \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*} \ \ forall N \ i \ mathbb {N} \ \ eksisterer n \ geq N, \ | a_ {n} | \ geq \ varepsilon,

eller igjen: for en viss er det en uendelig rekke av vilkårene for sekvensen som har en absolutt verdi større enn . Siden denne sekvensen er fra Cauchy, fra en viss rang N , er den absolutte verdien av forskjellen på to termer mindre enn . Vi utleder ved hjelp av (1): $\ varepsilon \ in \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*}$ $\ varepsilon$ $\ varepsilon / 2$

(2) \ qquad \ forall n \ geq N, \ | a_ {n} | \ geq \ varepsilon / 2.

La sekvensen defineres av hvis og (for eksempel) hvis ikke. Denne sekvensen av rasjonelle er fra Cauchy, fordi ifølge (2), $(b_n)$ $b_ {n} = {\ dfrac {1} {a_ {n}}}$ $n \ geq N$ $b_ {n} = 0$

\ forall m, n \ geq N, \ | b_ {n} -b_ {m} | = {\ frac {| a_ {m} -a_ {n} |} {| a_ {m} a_ {n} |} } \ leq {\ frac 4 {\ varepsilon ^ {2}}} | a_ {m} -a_ {n} |.

Vi kan derfor vurdere klassen i , og det har vi $b$ $\ mathbb {R}$

ab = (a_ {n} b_ {n}) = (1).

Rekkefølge

Vi definerer som undermengden av klassene inneholder minst ett cauchyfølge med verdier i (det sett av positive eller null rationals), så vi definere et forhold av total orden på ved innstilling $\ R_ +$ $\ mathbb {Q} _ {+}$ $\ mathbb {R}$

x \ leq y \ Leftrightarrow yx \ i \ mathbb {R} _ {+}.

Det faktum at dette forholdet er refleksivt og transitivt, er øyeblikkelig. At det også er antisymmetrisk (definerer derfor en ordre godt), skyldes at . At denne bestillingen er total kommer fra . $\ mathbb {R} _ {+} \ cap - \ mathbb {R} _ {+} = \ {(0) \}$ $\ mathbb {R} _ {+} \ cup - \ mathbb {R} _ {+} = \ mathbb {R}$

Kroppen er således utstyrt med en totalbestilt kroppsstruktur . Denne ordren er faktisk kompatibel med tillegg (ved konstruksjon), men også med multiplikasjon (fordi det er klart stabilt av produkter). Vi legger merke til at denne ordrerelasjonen sammenfaller på (nedsenket i som allerede nevnt), med den vanlige ordrerelasjonen. $\ mathbb {R}$ $\ R_ +$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$

Vi viser videre at det er arkimedisk . Vi kan derfor konkludere: $\ mathbb {R}$

$(\ mathbb {R}, \ leq)$ er et totalbestilt arkimedisk legeme.

Demonstrasjoner

$\ leq$ er antisymmetrisk:

Dette er for å bevise det . La slikt det , la oss vise det . Det er to Cauchy-sekvenser , av positive eller null-rasjonaliteter som representerer henholdsvis og . Oversettes deretter til: konvergerer til 0 i , som (siden ) resulterer i at også konvergerer til 0, slik at . $\ mathbb {R} _ {+} \ cap - \ mathbb {R} _ {+} = \ {(0) \}$ $a, b \ in \ mathbb {R} _ {+}$ $a = -b$ $a = (0)$ $(år)$ $(b_n)$ $på$ $b$ $a + b = (0)$ $(a_ {n} + b_ {n})$ $\ mathbb {Q}$ $0 \ leq a_ {n} \ leq a_ {n} + b_ {n}$ $(år)$ $a = (0)$

Bestillingen er total: $\ leq$

Dette er for å bevise det . La og være en Cauchy-sekvens av rasjonelle som representerer denne klassen. Dersom denne sekvensen innrømmer en uendelighet av positive eller null betingelser, fordi den tilsvarende delsekvens representerer den samme klasse ,. Samme ved å erstatte "positivt" med "negativt" og med . Imidlertid dekker disse to sakene (ikke eksklusive) alle mulighetene. $\ mathbb {R} _ {+} \ cup - \ mathbb {R} _ {+} = \ mathbb {R}$ $a \ in \ mathbb {R}$ $(år)$ $a \ in \ mathbb {R} ^ {+}$ $\ R_ +$ $- \ mathbb {R} _ {+}$

$\ mathbb {R}$ er arkimedisk:

Det er et spørsmål om å vise at det eksisterer et helt tall slik at det for alle realiteter og . Bare spør . Den virkelige har for representativ rasjonell Cauchy-sekvens derfor økt. Vi tar en hel øvre grense for denne sekvensen. For hele , har vi så derfor derfor derfor . $a> 0 \,$ $b \ geq 0$ $IKKE\,$ $Na \ geq b$ ${\ displaystyle x = {\ dfrac {b} {a}}}$ $x$ $(x_ {n})$ $IKKE$ $ikke$ $N-x_ {n} \ in \ mathbb {Q} _ {+}$ $(N) -x \ in \ mathbb {R} _ {+}$ $N \ geq x$ $Na \ geq b$

Fullstendighet

På , den rekkefølgen vi nettopp har definert, gir mening til begrepene Cauchy-sekvens og konvergent sekvens. Vi vil vise at enhver real er begrenset til en rekke rasjonaliteter. Mer presist: Hvis en Cauchy-sekvens av rasjonelle representerer en reell, så konvergerer realsekvensen seg til . Dermed konvergerer alle Cauchy-sekvenser av rasjonelle . Vi vil vise at dette også er tilfelle for enhver Cauchy-sekvens av realer: $\ mathbb {R}$ $(år)$ $på$ $((år}))$ $\ mathbb {R}$ $på$ $\ mathbb {R}$

$\ mathbb {Q}$ er tett i og er komplett. $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$

Demonstrasjon

Hver Cauchy-sekvens av rasjonelle konvergerer mot sin klasse: $\ mathbb {R}$

Vi vil bruke store bokstaver for å betegne de virkelige og små bokstaver for å betegne de rasjonelle. La være en Cauchy-sekvens av rasjonelle tall , dens klasse og (for ethvert heltall n ) det virkelige representert av den konstante sekvensen . Vi søker, for en fast rasjonell , å bevise eksistensen av et helt tall N slik at $(år)$ $PÅ$ $År}$ $år$ $\ varepsilon> 0$

\ forall n \ geq N, \ \ varepsilon - | A_ {n} -A | \ i \ mathbb {R} _ {+}.

For dette er det tilstrekkelig å anvende den Cauchy kriteriet til den sekvensen , ved å legge merke til at hvis da for alle , rasjonell sekvens er positiv eller null fra rang N derfor klassen den representerer er i . $(år)$ $\ forall m, n \ geq N, \ | a_ {n} -a_ {m} | \ leq \ varepsilon$ $n \ geq N$ $(\ varepsilon - | a_ {n} -a_ {m} |) _ {m}$ $\ varepsilon - | A_ {n} -A |$ $\ R_ +$

I , hver Cauchy-sekvens konvergerer: $\ mathbb {R}$

La være en Cauchy-sekvens av reelle tall, det er et spørsmål om å bevise at denne sekvensen konvergerer inn . Vi så tidligere at alt reelt er begrensning for begrunnelse. Vi kan derfor velge, for ethvert heltall n > 0, en rasjonell slik at . Sekvensen konvergerer deretter til 0. Sekvensen er derfor som Cauchy. Vi kan derfor vurdere dens klasse: betegne med U denne virkelige. Siden konvergerer til U og som konvergerer til 0, sekvens konvergerer mot U . $(EN})$ $\ mathbb {R}$ $år$ $| U_ {n} -a_ {n} | \ leq 1 / n$ $(Et år})$ $(år)$ $(EN})$ $(år)$ $(Et år})$ $(EN})$

Likhet med de to konstruksjonene

Konstruksjonen ved kutt av Dedekind gir et fullstendig ordnet felt som verifiserer eiendommen til den øvre grensen: hvert ikke-frie undersett med en øvre grense har en øvre grense. At by Cauchy suites gir en komplett arkimedisk totalbestilt kropp. Disse to egenskapene er faktisk ekvivalente. Videre er ethvert felt som tilfredsstiller dem, isomorft til feltet ℝ konstruert ved metoden til Cauchy-sekvenser. Vi kan derfor uttale følgende setning ved å snakke om “kroppen” ℝ uten å spesifisere “hvilken” det er. En konsekvens av denne teoremet er at karakteriseringene 1), 2), 3) alle innebærer at feltet er kommutativt og at underfeltet er tett (siden dette er tilfelle for feltet ℝ bygget av Cauchy-sekvensene). $\ mathbb {Q}$

La K være et helt ordnet felt. Følgende egenskaper er ekvivalente:

K kontrollerer eiendommen til den øvre grensen;
K tilfredsstiller monoton grense-setning for sekvenser ;
K er arkimedisk og komplett;
K er Archimedean og tilfredsstiller setningen til tilstøtende sekvenser ;
K er isomorf til ℝ.

Demonstrasjon

$(3) \ Rightarrow (4)$ fordi to tilstøtende suiter er fra Cauchy.
$(4) \ Rightarrow (1)$

Eller E et sett inneholdende et element og avgrenset av M .

x

Dersom det en øvre grense for E da er den øvre grense for E .

x

x

Ellers fortsetter vi med dikotomi for å bevise at E har en øvre grense (minste av den øvre grensen). Vi lager to sekvenser og definert ved induksjon som følger:

(år})\,

(b_ {n}) \,

a_ {0} = x \,

b_ {0} = M \,

for alle ,

ikke\,

hvis er en øvre grense, og

{a_ {n} + b_ {n} \ over 2}

a _ {{n + 1}} = a_ {n} \,

b _ {{n + 1}} = {a_ {n} + b_ {n} \ over 2}

hvis ikke er en øvre grense, og

{a_ {n} + b_ {n} \ over 2}

a _ {{n + 1}} = {a_ {n} + b_ {n} \ over 2}

b _ {{n + 1}} = b_ {n} \,

Konstruksjonsprinsippet sikrer at: sekvensen ( ) er en økende sekvens der ingen betegnelse er øvre grense for E ;

år

sekvensen ( ) er en synkende sekvens der alle begrepene er øvre grense for E ;

b_n

for ethvert heltall n , så sekvensen ( ) konvergerer til 0 (her bruker vi at K er Archimedean).

| b_ {n} -a_ {n} | = 2 ^ {{- n}} (Mx) \,

b_ {n} -a_ {n}

Suitene ligger derfor ved siden av. Ifølge (4) konvergerer de mot en felles grense .

\ Ell

Det gjenstår å vise at den øvre grensen faktisk er.

\ Ell

For enhver real av E , fordi er en øvre grense. Så ved å sende til det ytterste, for ekte alt i , . er derfor en øvre grense for E .

y \,

y \ leq b_ {n}

b_ {n} \,

y \,

E \,

y \ leq \ ell

\ Ell

For enhver ekte M ' majorant av E , fordi er aldri en øvre grense. Ved å føre til det ytterste, for noen øvre grense M av E , . er den minste av øvre grenser.

a_ {n} <M '\,

år}\,

\ ell \ leq M '

\ Ell

$(1) \ Rightarrow (2)$ : se Monotonic Limit Theorem .
$(2) \ Rightarrow (3)$

(2) \ Rightarrow

K er Archimedean (med andre ord: sekvensen (1 / n ) konvergerer) fordi den avtar og undervurderer.

(2) \ Rightarrow

i K , konvergerer hver Cauchy-sekvens: Enten er en cauchyfølge i K . Vi kan trekke ut en sub- monoton sekvens ( se egenskapene til under Suites ), som er avgrenset (som var den East), slik at det konvergerer i K . Siden a er Cauchy, konvergerer den derfor (mot samme grense).

$(3) \ Leftrightarrow (5)$ :

Vi velger her som kroppen ℝ den som er konstruert av Cauchy-sekvensene. Ved bygging . Motsett, anta K fullføre Archimedean, og definer et kart ved: hvis er klassen til en Cauchy-sekvens av rasjonelle , i K , (denne grensen eksisterer og avhenger ikke av valg av representant ). Ved bygging, er kompatibel med operasjoner og strengt økende. Til slutt, er overveiende, takket være det faktum at K er arkimedisk: for alt og alt eksisterer det en rasjonell mellom og : hvor er det minste øvre heltallet . En slik oppfølger er fra Cauchy, og klassen er en fortilfelle av par .

(5) \ Rightarrow (3)

f: \ mathbb {R} \ til K

a \ in \ mathbb {R}

(år)

f (a) = \ lim (a_ {n})

(år)

f

f

b \ i K _ {+}

n> 0

år

b

b + 1 / n

a_ {n} = p / n

s

nb

(år)

a \ in \ mathbb {R}

b

f

Merk. Disse equivalences viser spesielt at hver kropp L helt bestilt og Arkimedes er isomorf med et delfelt av kroppen bestilt R . Faktisk, ferdigstillelse av L (bygget etter samme fremgangsmåte cauchyfølge den ferdige R i Q ) vil (ved de samme argumentene) et legeme K inneholdende L , og derfor fullstendig arkimedisk isomorf med R .

Andre konstruksjoner

Andre strenge konstruksjoner er blitt foreslått, men de viser generelt bare interesse for nysgjerrighet, fordi de gir mindre til generaliseringer, eller faktisk krever grundig forkunnskap for å kunne rettferdiggjøres.

Bruker hyperrealistiske tall

I motsetning til hva navnet deres antyder, er det ingen ond sirkel her: det er faktisk mulig å direkte definere hyperrasjonelle * Q (ved ultraprodukt , dvs. ved kvotient Q N med et ikke-trivielt ultrafilter på N ); ringen B av elementene "ferdige" til * Q (det settet med elementer økte med en standard heltall) er maksimal ideell I alle forsvinnende, og kvotienten B / I er isomorf med R . I tillegg til den ganske kunstige karakteren, krever denne konstruksjonen det valgte aksiomet , som kan virke unødvendig begrensende.

Bruker surrealistiske tall

Byggingen av Dedekind-kutt virker vanskelig å generalisere, og lovene (spesielt multiplikasjon) virker litt kunstige. I 1974 var imidlertid John Horton Conway i stand til å vise at en lignende konstruksjon kunne strekke seg til en klasse med nye tall, kalt surrealistiske tall , generalisere både reelle og ordinale , og som definisjonen av operasjoner kan være, gjør det i en helt naturlig vei.

Vi vet at On-feltet med surrealistiske tall ( Body skrevet med store bokstaver, fordi det er en skikkelig klasse ) inneholder alle ordnede felt (bortsett fra isomorfisme); vi kan derfor definere R som det største arkimediske underfeltet til On . Conway gir en mer komplisert egenkonstruksjon og påpeker også at tallene som ble opprettet på dagen ω inneholder R , ± ω, og tallene på skjemaet , og at det derfor er tilstrekkelig å finne R for å fjerne sistnevnte; denne siste konstruksjonen, selv om den er streng, virker svært kunstig, noe forfatteren selv anerkjenner. $p / 2 ^ {n} \ \ pm \ 1 / \ omega$

Av kvasi-morfismer

Følgende konstruksjon virker lite kjent; publisert i 1975, bruker den bare additivgruppen med relative heltall Z og er basert på forestillingen om kvasi-morfisme. Denne konstruksjonen er nøye (og automatisk ) bekreftet av IsarMathLib-prosjektet. En av fordelene er at den ikke bruker det valgte aksiomet .

Vi sier at en applikasjon er en kvasi-morfisme hvis settet er endelig, eller hvis funksjonen er avgrenset. Funksjonen g måler feilen at f er en gruppemorfisme. Settet med kvasi-morfismer er stabilt ved tilsetning og sammensetning. To kvasi-morfismer sies å være nesten like hvis settet er endelig. Denne relasjonen er en ekvivalensrelasjon på settet med kvasi-morfismer, kompatibel med addisjon og sammensetning; kvotientsettet, forsynt med tillegg og den tilsvarende multiplikasjon, er et felt isomorft til R ; for å definere rekkefølgen, sier vi at (der representerer ekvivalensklassen av ) si er avgrenset eller tar en uendelig positiv verdi over N , og vi kan vise at feltet da er fullstendig ordnet, noe som beviser l 'isomorfisme. Det er faktisk mulig å gjøre det eksplisitt: Hvis vi på forhånd innrømmer eksistensen av R (konstruert av en av de foregående metodene), så konvergerer sekvensen i R mot en grense for enhver kvasi-morfisme , og funksjonen er avgrenset på Z . Fra den andre påstanden følger det at grensen c ( f ) bare avhenger av ekvivalensklassen [ f ] av f ; igjen og bemerker det c ([ f ]), c er den etterspurte isomorfismen. ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ {f (n + m) -f (m) -f (n) \ mid n, m \ in \ mathbb {Z} \}}$ $g (n, m) = f (n + m) -f (n) -f (m)$ ${\ displaystyle \ {f (n) -g (n) \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}}$ $[f] \ leq [g]$ $[f]$ $f$ ${\ displaystyle gf}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}$ $f (n) / n$ ${\ displaystyle c (f)}$ $n \ mapsto f (n) -c (f) n$

Merknader og referanser

(De) Georg Cantor, " Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen " , Math. Ann. , vol. 5,1872, s. 123-132 ( les online ).
Hélène Gispert-Chambaz, Camille Jordan og grunnlaget for analysen , University of Paris-Sud , Mathematical Publications of Orsay,1982( les online ) , s. 1. 3.
Roger Godement presenterte en mer fullstendig versjon, men fremdeles utilstrekkelig formalisert, og forklarte ikke beregningsalgoritmene, i artikkelen Calcul infinitesimal han skrev for Encyclopædia Universalis ; en helt streng konstruksjon er gitt i (i) Barbara Burke Hubbard og John H. Hubbard , Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms, a Unified Approach , c. 0, seksjon 0.4.
(in) Terence Tao, compactness and Contradiction , American Mathematical Society, 2013 ( les online ), c. 1, s. 14.
(no) John H. Conway, On Numbers and Games , s. 25 og følgende.
En virkelig er et element X fra avgrenset On (der finnes n heltall slik at - n <x <n ) slik at ${\ displaystyle x = \ {x- (1 / n) _ {n \ in \ mathbb {N}} | x + (1 / n) _ {n \ in \ mathbb {N}} \}.}$
Vi finner flere versjoner, for eksempel i [1] , [2] og [3] (en) , samt en presis beskrivelse i Xavier Caruso, " Litt kjent inkarnasjon av kroppen av reelle tall " ,september 2008.
Caruso 2008 .
(in) Reuben Hersh (in) , Hva er egentlig matematikk? , New York, Oxford University Press ,1997( les online ) , s. 274 .
Generelt sett er en kvasi-morfisme fra en gruppe G til R et kart slik at settet med f (xy) -f (x) -f (y) er avgrenset; se [4] (no) .
Vi vil bedre forstå hvorfor ved å legge merke til at hvis det er et ekte, er kartet (hele delen av ) en kvasi-morfisme hvis klasse vil bli identifisert med . $på$ ${\ displaystyle n \ mapsto E (na)}$ ${\ displaystyle na}$ $på$

Se også

Relaterte artikler

Axioms Tarski for ekte (in)
Konstruksjon av rasjonelle tall

Eksterne linker

En konstruksjon av R ved kutt [PDF] av Jean Gounon, lærer ved Camille-Sée videregående skole
En konstruksjon av R by the Cauchy suites [PDF] av Jean Gounon

Bibliografi

(en) Holger Teismann, “ Mot en mer komplett liste over fullstendighetsaksiomer ” , Amer. Matte. Månedlig , vol. 120, n o to2013, s. 99-114 ( DOI 10.4169 / amer.math.monthly.120.02.099 )
(en) James Propp (en) , “ Real Analysis in Reverse ” , Amer. Matte. Månedlig , vol. 120, n o 5,2013, s. 392-408 ( arXiv 1204.4483 )
(no) Arnold Knopfmacher og John Knopfmacher, “ To konkrete nye konstruksjoner av de reelle tallene ” , Rocky Mountain J. Math. , vol. 18, n o 4,1988, s. 813-824 ( les online )- Konstruksjoner av serien til Engel og Sylvester .