Distribusjonsevne

I matematikk , nærmere bestemt i aritmetikk og generell algebra , er distribusjonsevnen til en operasjon i forhold til en annen en generalisering av den grunnleggende egenskapen: " produktet av en sum er lik summen av produktene ".

For eksempel, i uttrykket $2 \times (5 + 3) = (2 \times 5) + (2 \times 3)$ , blir faktor 2 fordelt til hvert av de to begrepene i summen 5 + 3. Likheten blir deretter bekreftet: til venstre $2 \times 8 = 16$ , til høyre $10 + 6 = 16$ .

Denne egenskapen gjelder for alle tripletter $( x , y , z )$ av heltall , av heltall til tall rasjonelle til reelle tall eller komplekse tall :

x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z )

Vi snakker da om fordelingen av multiplikasjonen med hensyn til tillegget .

I generell algebra , er distributivity generaliseres til andre enn addisjon og multiplikasjon operasjoner. En intern lov om sammensetning ∘ er distribuerende med hensyn til en annen intern lov ∗ i et sett E hvis vi for en hvilken som helst triplett $( x , y , z )$ av elementer av E , har vi følgende egenskaper:

x \circ ( y * z ) = ( x \circ y ) * ( x \circ z )

( venstre fordeling )

( x * y ) \circ z = ( x \circ z ) * ( y \circ z )

( høyre fordelingsevne )

Distribusjonsevne i aritmetikk

I regning er de to operasjonene som tas i betraktning når vi snakker om distribusjon, addisjon og multiplikasjon. Multiplikasjon er distribuerende med hensyn til tillegg:

x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z )

men tilsetningen er ikke distribuerende med hensyn til multiplikasjonen: bortsett fra spesielle tilfeller (som $x = 0$ ), generelt,

x + ( y \times z ) \neq ( x + y ) \times ( x + z )

Distribusjonsevne i elementær kalkulus

Hvis faktorene til et produkt er summer, kan man utføre produktene term for periode og deretter utføre summen. Denne egenskapen brukes ofte innen mental aritmetikk eller informatikk for å beregne et produkt av heltall effektivt .

Eksempel 1 235 × 99 = 235 × (100 - 1) = 23.500 - 235 = 23.265

På samme måte multipliseres med de ensartede tallene 9, 99, 999, etc. koker ned til en subtraksjon ved hjelp av fordelingsegenskapen.

Eksempel 2 458 × 592 = (400 + 50 + 8) × (500 + 90 + 2) = 200 000 + 36 000 + 800 + 25 000 + 4500 + 100 + 4000 + 720 + 16 = 271,136 På den annen side, eksempel 3

Det er forbudt å gjennomføre gjennomsnittet av gjennomsnitt direkte; for å få det, må du dele summen av nominatorene med summen av nevnerne.

Høyre og venstre distribusjon

For heltall er heltallene , de rasjonelle tallene , det reelle tallet eller det komplekse tallet , tilleggs- og multiplikasjonsoperasjoner kommutative . Vi sier da at multiplikasjonen er distribuerende med hensyn til tillegget, uten å spesifisere "til venstre " eller "til høyre" , fordi fordelingsevnen til venstre innebærer distribusjonsevnen til høyre (og omvendt) på grunn av kommutativiteten til produktet.

Bevis

x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z )

\Leftrightarrow ( y + z ) \times x = ( x \times y ) + ( x \times z )

(ved kommutativitet av multiplikasjonen på venstre side)

\Leftrightarrow ( y + z ) x x = ( y x x ) + ( x x z )

(ved kommutativ lov av multiplikasjon i 1 m summen av den høyre del)

\Leftrightarrow ( y + z ) x x = ( y x x ) + ( z x x )

(ved commutativity av multiplikasjonen i 2 nd summen av den høyre side)

På den annen side vil $( x + y ) / z = x / z + y / z$ men $z / ( x + y ) \neq z / x + z / y$ og divisjonen sies å være distribuerende til høyre med respekt for tillegget.

Gauss heltall

Blant komplekse tall er et interessant tilfelle det av Gaussiske heltall , som er skrevet i formen $z = n + m i$ med n og m heltall. Vi bruker fordelingen av kompleks multiplikasjon for å vise for eksempel at (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i, det vil si at 1 + i er en kvadratrot av 2i. Mer generelt viser vi at produktet av to Gauss-heltall er et Gauss-heltall.

Distribusjonsevne i generell algebra

Generelt algebra studerer vi algebraiske strukturer , det vil si sett utstyrt med komposisjonslover som har visse egenskaper. I denne sammenheng generaliserer distributiviteten til tilfeller der:

de to lovene for intern sammensetning er ikke nødvendigvis addisjon og multiplikasjon;
minst én operasjon er ikke kommutativ;
den første operasjonen er en lov om intern komposisjon og den andre operasjonen er en lov om ekstern komposisjon . (Denne saken faller ikke strengt tatt innenfor rammene som er etablert i innledningen, der de tre elementene x, y, z skal tilhøre samme sett. Her er det ikke tilfelle, og i en av fordelingen til rett og den til venstre, de to * tilsvarer forskjellige lover: se avsnittet "vektorrom" nedenfor.)

Ringer og kommutative felt

Distribusjonen av den andre loven om intern sammensetning på den første loven om intern sammensetning er en grunnleggende egenskap for ringer (og derfor av kropper ): i en ring A utstyrt med to interne lover bemerket + og ×, må × loven være distribuerende høyre og venstre) med hensyn til +.

Ringer ℤ / nℤ

Den kvotient ringer av ℤ arve addisjon og multiplikasjon av de relative tall, og disse induserte lovene verifisere distributivity av multiplikasjon med hensyn til tilsetningen.

Quaternions

Distribusjon av multiplikasjon over divisjon forblir gyldig for Hamilton- quaternions , selv om multiplikasjon av quaternion ikke er kommutativ .

Bemerkelsesverdige identiteter i ikke-kommutative ringer

Noen bemerkelsesverdige identiteter som involverer distribusjon, for eksempel $( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2$ og generaliseringer, bruker også kommutativitet og er derfor ikke gyldige for ikke-kommutative ringer som matriseringer eller ikke-kommutative ringer av polynomer . Naturligvis forblir enhver eiendom som kommer fra distribusjon og som ikke krever kommutativitet, gyldig i ikke-kommutative ringer. (I det aktuelle eksemplet vil vi ha $( a + b ) 2 = a 2 + ab + ba + b 2$ hvis $ab \neq ba$ ; men vi har alltid siden alle $x$ pendler med 1 i en hvilken som helst enhetsring.) ${\ displaystyle (1 + x) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} C_ {n} ^ {k} \, x ^ {k}}$

Vector mellomrom

I definisjonen av et vektorrom er den eksterne multiplikasjonen med skalarer distribuerende med hensyn til tilsetning av vektorene. Her har vi å gjøre med en ekstern og ikke en intern lov om sammensetning, men fordelingsegenskapen forblir gyldig (både den til venstre og den til høyre, som ((λ + μ) • x = λ • x + μ • x) innebærer to forskjellige addisjonslover: på den ene siden skalarer, på den andre siden vektorer). Det er derfor et mer generelt begrep om fordelingsevne som ikke er et spesielt tilfelle av det som er definert i innledningen til denne artikkelen, der alle elementene tilhører samme sett.

Sett med deler av et sett

Vær den sett av undergrupper av et sett E . Vi gir to lover for intern sammensetning: unionen ⋃ og krysset ⋂. I dette tilfellet er de to lovene for intern sammensetning distribuerende med hensyn til hverandre. Med andre ord, for enhver triplett ( A , B , C ) av elementer av : ${\ mathcal {P}} (E)$ ${\ mathcal {P}} (E)$ ${\ mathcal {P}} (E)$

A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )

A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C )

Distribusjonsevnen blir også bekreftet hvis vi tar i betraktning den symmetriske forskjellen $A Δ B : = ( A ⋃ B ) \ ( A ⋂ B ) i$ stedet for unionen. I motsetning til gjenforening, gir denne operasjonen den abeliske gruppestrukturen , og med krysset den boolske ringstrukturen til . ${\ mathcal {P}} (E)$

Trellis

Et gitter er et delvis ordnet sett E der hvert par { x , y } har en øvre grense x ⋁ y og en nedre grense x ⋀ y . Vi sier at E er et distribuerende gitter hvis de to lovene til intern sammensetning er distribuerende i forhold til hverandre. I dette tilfellet, for enhver triplett ( x , y , z ) av elementene i E, har vi:

x ⋁ ( y ⋀ z ) = ( x ⋁ y ) ⋀ ( x ⋁ z )

x ⋀ ( y ⋁ z ) = ( x ⋀ y ) ⋁ ( x ⋀ z )

Relaterte artikler

Assosiativitet
François-Joseph Servois (den første som brukte adjektivet "distribuerende" i matematikk)

Merknader

Anvendelsen av distributivitet til uttrykk som et produkt kalles utvikling . Den omvendte anvendelsen av eiendommen til en sum kalles faktorisering eller vanlig faktorisering.
Lang 1976, s. 40
Queysanne 1964, s. 116 .
Queysanne 1964, s. 122 .

Referanser

Serge Lang , algebraiske strukturer , InterEditions,1976.

Michel Queysanne , Algebra: 1 st Scientific syklus - beredskaps skoler , Armand Colin, coll. "U",1964.