Polsk rom

I matematikk er et metriserbart rom med tellbar basis (eller skillbart , det er det samme for et metriserbart rom) et polsk rom hvis topologien kan defineres av en avstand som gjør det til et komplett rom . Ethvert kompakt metriserbart rom, ethvert lukket eller åpent underrom av et polsk rom, ethvert tellbart produkt av polske rom, ethvert separerbart Banach- rom er et polsk rom.

Denne terminologien ble introdusert av Bourbaki-gruppen , i bindet om den generelle topologien til dets elementer av matematikk . Det er faktisk Roger Godement , som var medlem av gruppen, som er opprinnelsen til den etter hans forslag i 1949. Etter egen innrømmelse var det både humoristisk og en hyllest til arbeidet med matematikere polsk innen topologi. , særlig Casimir Kuratowski , Alfred Tarski og Wacław Sierpiński .

Eksempler

• Enhver lokalt kompakt plass med en tellbar basis er polsk (det er en åpen i sin Alexandrov compactified ): R eller R d er viktige eksempler på polske mellomrom.
• ] 0, 1 [er homomorf til R og derfor polsk (mens for den vanlige avstanden, som er den første vi vil betrakte blant de som definerer topologien, er den ikke komplett, siden den ikke er lukket i R ).
• Men det er mange interessante polske rom der alt kompakt er internt tomt, for eksempel de separerbare Banach-rom av uendelig dimensjon (på grunn av Riesz-teorem ) eller det grunnleggende polske rommet N N (ofte kalt Baire-rommet , derav tvetydigheten med Baire-rommet ) som, bortsett fra homeomorfisme, er det eneste totalt diskontinuerlige polske rommet der alt kompakt er tomt interiør.
• Noen vanlige analyserom eller funksjonell analyse er polske, men andre er ikke, slik som det uatskillelige Banach-rommet ℓ ∞ .

Eiendommer

• Generelt er et underrom av et polsk rom i seg selv polsk hvis og bare hvis det er et G δ av rommet, dvs. et tellbart skjæringspunkt for åpninger (se hierarki av Borel ). Dermed de polske mellomrom er identifiserbare G δ den Hilbert kuben .
• Polske rom er Baire-rom . Med andre ord, i en polsk plass komplementet av en tynn del er tett .
• Spesielt, hvis vi fjerner et tellbart sett D fra et polsk rom P uten isolerte punkter , gjenstår det et tett polsk underområde J som hver kompakt er tomt innvendig; hvis P er et intervall på R og D settet med rasjonelle inneholdt i P , er det som gjenstår dessuten totalt diskontinuerlig og derfor homeomorf til N N (plutselig kalt irrasjonalsrom  ; for P =] 0, 1 [, nedbrytning til en fortsatt fraksjon gir en homeomorfisme mellom J og N N ).
• Ethvert mål μ (avgrenset eller σ-endelig) på den borelianske stammen i et polsk rom er internt vanlig  : for ethvert boreliansk B har vi µ ( B ) = sup {µ ( K ) | K compact inkludert i B }. Derfor er enhver Borelian foreningen K σ (en tellbar forening av kompakter) og et μ-ubetydelig sett.
• Fra det som foregår utleder vi at [0, 1] er foreningen av en mager K σ og en ubetydelig G δ for Lebesgue-tiltaket. Det er et slags paradoks, magert sett i et Baire-rom er "ubetydelig" fra topologisk synspunkt.
• Enhver utallig Borelian fra et polsk rom har makten til kontinuumet .

Referanser

1. R. Godement , Matematisk analyse IV , Berlin / Heidelberg / New York etc., Springer, 2003, 599  s. ( ISBN  3-540-43841-6 , leses online ) , "XI, §4, n o  11", s.  67, Fotnote side nr .  30.
2. Se "  Standard boreliske rom opp til isomorfisme  " og (en) Konrad Jacobs, Mål og integral , Academic Press ,2014( les online ) , s.  415.