Full og tro funksjon

I kategorien teorien , en fullstendig funktor (henholdsvis trofast ) er en funktor hvis begrensning til hvert av settene med morphisms er surjektiv (henholdsvis injektiv ).

Definisjon

Let C og D begge kategorier og F : C → D en funktor C til D . For X og Y av gjenstander av C , den funktor F induserer en funksjon

{\ displaystyle F_ {X, Y} \ colon \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (X, Y) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {D}} (F (X), F (Y))}

Funksjonen F sies:

trofast hvis for alle X , Y i C , F X , Y er injiserende ;
full hvis for alle X , Y i C , F X , Y er surjective ;
fullt trofast hvis for alle X , Y i C , F X , Y er bijective .

Eiendommer

En trofast funksjon trenger ikke nødvendigvis å være injiserende på objektene eller morfismene i de involverte kategoriene. To objekter X og X ' kan sendes til samme objekt i D (dette er grunnen til at jeg har et bilde av en fullstendig trofast funksjon ikke nødvendigvis er isomorf med banen), og to morphisms f : X → Y og f : X ' → Y' kan sende samme morphism D . På samme måte er ikke en fullfunksjon nødvendigvis antydet på objekter eller på morfismer. Det kan være gjenstand for D som ikke er av formen FX med X i C og morphisms mellom disse objektene kan da være av bildet av en morphism C .

En fullstendig troende funksjon er imidlertid injiserende opp til isomorfisme på gjenstander. Det vil si at hvis F : C → D er helt trofast, da . ${\ displaystyle F (X) \ cong F (Y)}$ ${\ displaystyle X \ cong Y}$

Eksempler

Den glemmende funksjonen U : Grp → Sett er trofast fordi enhver morfisme mellom to grupper er et kart mellom deres underliggende sett. Den er ikke full fordi noen kartlegginger mellom to grupper ikke er gruppemorfier.

En kategori med en funksjon som er tro mot Set er (per definisjon) en konkret kategori, og generelt er denne glemmende funksjonen ikke full.

Inklusjonsfunksjonen Ab → Grp , fra kategorien abeliske grupper til gruppene, er fullt trofast, fordi enhver morfisme av abeliske grupper er en morfisme av grupper og enhver morfisme av grupper mellom to abeliske grupper er en morfisme av abeliske grupper.

Merknader og referanser

( fr ) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Full and loyal functors " ( se listen over forfattere ) .

(no) Saunders Mac Lane , kategorier for arbeidsmatematikeren [ detalj av utgaven ], s. 14-15 .
(in) Nathan Jacobson , Basic Algebra , Vol. 2, Dover ,2009, 2 nd ed. , 686 s. ( ISBN 978-0-486-47187-7 , leses online ) , s. 22.

Relatert artikkel

Kategoriekvivalens