Selberg sporingsformel

I matematikk er Selbergs sporformel et sentralt resultat i ikke-kommutativ harmonisk analyse . Det gir et uttrykk for sporet av visse integrerte eller differensielle operatorer som virker på funksjonsrom på et homogent rom G / Γ, hvor G er en Lie-gruppe og Γ en diskret gruppe , eller mer generelt på en dobbel kvotient H \ G / Γ .

Et viktig spesielt tilfelle er at der rommet er en kompakt Riemann-overflate S. Den første artikkelen av Atle Selberg i 1956 handlet om denne saken, for den laplaksiske operatøren og dens krefter. Sporene fra de laplaciske kreftene tillater i dette tilfellet å definere en form for zeta-funksjon . Interessen er den kraftige analogien som da vises mellom den oppnådde formelen og de eksplisitte formlene til tallteorien. Den lukkede geodesikken til S spiller rollen som primtall. Dette forholdet ble umiddelbart anerkjent som et nytt lys på Riemann-hypotesen .

Selberg-sporingsformelen etablerer et forhold mellom spekteret til Laplace-Beltrami-operatøren på en kompakt overflate med konstant negativ krumning og lengden på periodisk geodesikk på denne overflaten.

Den generaliserer Poisson-summeringsformelen som er gyldig for torusen.

Definisjoner

Ethvert område X kompakt konstant negativ krumning kan representeres som kvotientrommet til halvplanet til Poincaré ℍ av en undergruppe diskret Γ av gruppen PSL (2, ℝ) av isometri :

{\ displaystyle X = \ Gamma \ backslash \ mathbb {H}}

Tenk på Laplace-Beltrami-operatøren på X :

{\ displaystyle \ Delta u (x, y) = y ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} \ høyre)}

Det kan vises at overflaten er kompakt , og at dens spektrum er diskret, dvs. egenverdiene $λ n$ , løsningene til egenverdiligningen

${\ displaystyle - \ Delta u_ {n} (x, y) = \ lambda _ {n} u_ {n} (x, y)}$ ,

danner en uendelig rekkefølge som kan ordnes i stigende rekkefølge:

0 = \ lambda _ {0} <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ cdots

De egenfunksjonene er i og verifisere periodisitet betingelse: ${\ displaystyle u_ {n} (x, y) \ i C ^ {\ infty} (\ mathbb {H})}$

${\ displaystyle \ forall \ gamma \ in \ Gamma \ quad u_ {n} (\ gamma z) = u_ {n} (z)}$ .

Ved å introdusere endringen av variabelen:

${\ displaystyle \ lambda = s (1-s), \ quad s = {\ frac {1} {2}} + {\ rm {i}} r}$ ,

egenverdiene indekseres av

${\ displaystyle r_ {n}, \ quad n \ geq 0}$ .

Selberg formel

Denne formelen er skrevet:

\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} h (r_ {n}) = {\ frac {\ mu (F)} {4 \ pi}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} r \, h (r) \, \ tanh (\ pi r) ~ {\ mathrm d} r \ + \ \ sum _ {{\ {T \}}} {\ frac {\ log N (T_ {0})} {N (T) ^ {{1/2}} - N (T) ^ {{- 1/2}}}} \ g (\ log N (T))

Summen blir tatt over alle forskjellige hyperbolske konjugasjonsklasser. Funksjonen $h$ må være: $\ {T \}$

analytisk i båndet , der $δ$ er en positiv konstant; ${\ displaystyle \ vert {\ rm {Im}} (r) \ vert \ leq 1/2 + \ delta}$
være jevn: $h (- r ) = h ( r )$ ;
tilfredsstille den øvre grensen :, hvor $M$ er en annen positiv konstant. ${\ displaystyle \ vert h (r) \ vert \ leq M \ \ left (1+ \ vert {\ rm {Re}} (r) \ vert ^ {- 2- \ delta} \ \ right)}$

Funksjonen $g$ er Fourier-transformasjonen av $h$ , det vil si:

${\ displaystyle h (r) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (u) \ {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} ru} ~ \ mathrm {d} u}$ .

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Selberg trace formula " ( se listen over forfattere ) .

(in) A. Selberg, " Harmonisk analyse og diskontinuerlige grupper i svakt symmetriske riemanniske rom med applikasjoner til Dirichlet-serien " , Journal of the Indian Mathematical Society , vol. 20,1956, s. 47-87.

Se også

Relaterte artikler

Hyperbolsk geometri
Gutzwiller sporer formel

Bibliografi

(en) HP McKean , “ Selbergs Trace Formula as Applied to a Compact Riemannian Surface ” , Comm. Ren appl. Matte. , vol. 25,1972, s. 225-246. “ Erratum ”, Comm. Ren appl. Matte. , vol. 27,1974, s. 134
(en) D. Hejhal (en) , “ The Selberg Trace Formula and the Riemann Zeta Function ” , Duke Math. J. , vol. 43,1976, s. 441-482
(en) D. Hejhal, The Selberg Trace Formula for PSL (2, ℝ) , vol. 1, koll. "Springer Lecture Notes" ( nr . 548)1976
(en) AB Venkov , “ Spektralteori om automorfe funksjoner, Selberg zeta-funksjonen og noen problemer med analytisk tallteori og matematisk fysikk ” , Russian Mathematical Surveys , vol. 34,1979, s. 79-153
P. Cartier og A. Voros (de) , “A New Interpretation of the Selberg Trace Formula” , i The Grothendieck Festschrift , Birkhäuser, koll. "Progress in Mathematics" ( N o 87),1990, s. 1-67

Ekstern lenke

(no) Matthew R. Watkins, Selberg sporingsformel og zeta-funksjoner (personlig side)