Fraksjonalt ideal

I matematikk , og mer presist i ringteori , er et fraksjonelt ideal en generalisering av definisjonen av et ideal . Dette konseptet skyldes opprinnelsen til algebraisk tallteori . For å løse noen diofantiske ligninger , bruker denne teorien ringer av heltall som generaliserer for relative heltall . Disse (enhetlige) ringene har vanligvis ikke et ekvivalent med den grunnleggende setningen til aritmetikk, og det er ikke mulig å faktorisere et heltall i et enkelt produkt av hovedfaktorer bortsett fra gruppen av inverterbare elementer . Idealene gir en ekvivalent av denne teoremet, som gjør det mulig å løse visse diofantiske ligninger eller etablere gjensidighetslover som tilsvarer den kvadratiske gjensidighetsloven som ble etablert av Gauss .

Idealene har en multiplikasjon, denne operasjonen er assosiativ og det er et nøytralt element som består av hele ringen. På den annen side forhindrer mangelen på omvendt å gi alle idealene en gruppestruktur . Når det gjelder ringer av heltall, har strukturen alle riktige egenskaper for å gi en bypass. Denne konfigurasjonen aksiomatiseres i definisjonen av en Dedekind-ring . Først er ringen nedsenket i sin totale brøkring , deretter blir begrepet ideal generalisert.

Denne forestillingen brukes også i algebraisk geometri .

Historie

Et forsøk fra Leonhard Euler på å løse Fermats siste setning hvis n er lik 3, får ham til å vurdere tallene i formen a + b $i$ √ 3 , der a og b er heltall og $i$ den imaginære enheten . Dens bevis er falsk: en slik ring er ikke en faktor , det vil si at det ikke er en unik måte å faktorisere et tall ved å bruke hovedfaktorer. For eksempel er 4 både kvadratet til heltallet 2 og produktet (1 + $i$ √ 3 ) (1 - $i$ √ 3 ). Hvis implementeringen er litt klønete, viser ideen seg å være god. Gauss viser dette ved å studere ringen av tall av formen a + $i$ b , der a og b er heltall. Det er euklidisk og har en god faktorisering. Gotthold Eisenstein oppdager den "rette" ringen for å gjøre Eulers demonstrasjon streng. Sammensatt av tallene i formen a + $j$ b , der $j$ betegner en terningrot av enhet , viser det seg også å være euklidisk.

Generelt er det meningsløst å håpe å finne en euklidisk struktur for ringene til heltall. Ernst Kummer forstår den underliggende årsaken til dette, som han beskriver som den andre hindringen . Ekvivalenter av heltall, på ringer av algebraiske heltall, er ikke "mange" nok. Han legger følgelig til det han kaller ideelle tall . Denne oppdagelsen lar ham bevise Fermats store setning for alle verdier på n under 100 unntatt 37, 59 og 67.

Kummer analyserer algebraiske heltall av feltet Q [ζ n ], der ζ n betegner en primitiv rot av enhet , en struktur som nå kalles cyclotomic extension . Richard Dedekind og Leopold Kronecker søker å generalisere teorien til enhver endelig utvidelse av rasjonelle tall. Deres tilnærminger er imot: Kronecker er en del av beregningstradisjonen, etablert av Gauss og etterfulgt av Kummer, mens Dedekind søker en teori basert på de strukturelle egenskapene til ringer av heltall, selv om den ikke har en effektiv algoritme. Denne filosofien fikk ham til å skrive om sin avhandling om tallteori fire ganger. 1876-versjonen inneholder den moderne definisjonen av ideal og brøk ideal. Hans abstrakte tilnærming ber ham om å studere idealenes algebraiske struktur, og særlig deres multiplikasjon. Tillegget av fraksjonelle idealer sikrer eksistensen av en invers. Den siste versjonen av avhandlingen hans, datert 1894 , viser i all alminnelighet og i sin moderne form det unike ved nedbrytningen som erstatter den grunnleggende setningen til aritmetikk .

Definisjoner

Gjennom denne artikkelen betegner A en kommutativ (enhetlig) ring og K dens totale ring av brøker : hvis A er integrert (som vil være tilfelle mesteparten av tiden), er K derfor feltet for brøkene til A , og i generelt er K den lokaliserte ringen S −1 A av A med hensyn til delmengden S av vanlige elementer ( dvs. ikke- delere av null ).

En sub En -module M av K sies inverterbar hvis det er en sub- A -module N slik at MN = A , hvor MN betegner submodule produkt generert av elementer av produktene M og N .
En fraksjonert ideell for A er en del K av formen d -1 J hvor d er et vanlig medlem A og J en ideell for A . Med andre ord, det er en under A - Modul M av K slik at det er en vanlig funksjon på av en som dM er inkludert i A .
En slik ideell fraksjonert sies hoved hvis det er generert (som A -module) av et element, det vil si hvis den har form av -1 J hvor J er en hoved ideell for A .

Oppmerksomhet til dette misvisende benevnelse: en brøk ideal A er ikke alltid et ideal om A . Faktisk idealer A er akkurat blant sine fractional idealer, de som er inkludert i A .

Det merker vi umiddelbart

ethvert invertibelt sub- A- modul av K er et brøk ideal,
settet med inverterbare fraksjonelle idealer danner en abelsk gruppe (for produktet definert ovenfor), hvis nøytrale er selve ringen A,
ethvert invertibelt brøk ideal er av endelig type som A- modul, med andre ord er av formen d −1 J med J endelig type ideal. Spesielt er ethvert inverterbart ideal av A av endelig type,
hvis en brøk ideell F er inverterbar da dens inverse (merk at F -1 ) er under A -module K består av elementene k slik at kF inngår i A . Med andre ord: F er inverterbar hvis og bare hvis produktet av denne submodulen er lik en helhet.

Karakteriseringer av Dedekind-ringer

Definisjonen av en Dedekind ring adoptert av mange forfattere, og tatt opp i artikkelen Dedekind ringen er: integral, noetherian , helt lukket (kommutative enhet) ring , av hvilken en hvilken som helst ikke-null- prime ideell er maksimal . Vi tar det igjen her, men vi vil se at det tilsvarer det på grunn av Dedekind (ring som ethvert ikke-null ideal er inverterbart), mer egnet til målet for en analog, når det gjelder idealer, til den grunnleggende teorien av l 'aritmetikk .

Teorem - Følgende egenskaper er ekvivalente:

A er en Dedekind-ring,
ethvert ikke-primært ideal for A er inverterbart,
ethvert ideal fra A som ikke er null, er inverterbart,
A er integrert, og ethvert ikke-null ideal for A er et produkt av maksimale idealer,
En er ærlig og hver idealet om A er et produkt av førsteklasses idealer.

Videre, hvis A er en Dedekind-ring, er nedbrytningen av ethvert ikke-null-ideal til et produkt av hovedidealer unik (opp til faktorens rekkefølge).

Demonstrasjon

${\ displaystyle 1 \ Rightarrow 2}$ : Enten P en ikke-null primideal A . Den lokaliserte A P er en verdi ring diskret så viktigste, er det et element t av P generere den ideelle PA P til A P , det vil si slik at P er inkludert i tA P .

I tillegg er A er Noetherian , enten ( p- 1 , ..., p r ) et endelig genererende P . Hver p jeg tilhører tA P , slik at det ikke eksisterer i A et element en ikke hører til P slik at den ( en / t ) p I hører til A , slik at (a / t) .P inngår i A .

Definere den fraksjon ideelle Q = A + ( en / t ) A og bekrefte at det er det inverse av P . Ved konstruksjon, QP er en ideell for A inneholdende P . Siden det også inneholder elementet ( en / t ) t = en som ikke er i P , og P er maksimal, utleder vi at QP = A .

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 3}$ : La oss resonnere med det absurde å anta at 2 er sanne og 3 falske. Hypotese 2 antyder at hvert hovedideal er av endelig type, noe som er en tilstrekkelig betingelse for at A skal være eterisk. Hypotesen 3 er falske velger deretter på det hele (ikke antatt tom) forskjellig fra null og ideal ikke inverteres, en maksimal element P . La oss vise (for å konkludere absurd) at slik P er prime: la slik at og , la oss vise det . Tenk på at idealet : det inneholder strengt P, derfor er det inverterbart, og PQ −1 er et ideal for A ikke inverterbar (som P ) og inneholder P , derfor lik P (ved valg av sistnevnte). Imidlertid inneholder den også b (siden P inneholder bQ ). Så . ${\ displaystyle a, b \ i A}$ ${\ displaystyle a \ notin P}$ ${\ displaystyle ab \ i P}$ ${\ displaystyle b \ i P}$ ${\ displaystyle Q = P + aA}$ ${\ displaystyle b \ i P}$

${\ displaystyle 3 \ Rightarrow 4}$ + unikhet ved dekomponering i førstegang : Hypotese 3 antyder at A er integrert (fordi prinsippidealer som ikke er null er inverterbare) og noetherian (ethvert inverterbart ideal er av endelig type). La meg være et ikke-null ideal for A , la oss vise at det er et produkt av maksimum. Hvis det er lik A , er det (i form av et produkt indeksert av vakuumet). Hvis ikke, vær et maksimalt ideal som inneholder I : er ikke null, derfor er det reversibelt, og er et ideal for A som inneholder strengt jeg . Vi konstruerer på denne måten en strengt økende sekvens av idealer av formen som (av noetherianity) er endelig, det vil si at det eksisterer et naturlig tall n slik at derav . La oss nå vise at hvis med primtall, så er m = n og (opp til permutasjon) . Hvis m = 0 er det øyeblikkelig. Ellers, siden det er prime og inneholder produktet , inneholder det en av dem, for eksempel for eksempel (ved maksimalitet av ) . Ved å multiplisere startligningen med den forblir den , derav (ved å itere) det ønskede resultatet. $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1} = A}$ ${\ displaystyle I = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ ${\ displaystyle P_ {1} \ ldots P_ {m} = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $P_i$ ${\ displaystyle (P_ {1}, \ ldots, P_ {n}) = (M_ {1}, \ ldots, M_ {n})}$ $P_ {1}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle P_ {1} = M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle P_ {2} \ ldots P_ {m} = M_ {2} \ ldots M_ {n}}$

${\ displaystyle 4 \ Rightarrow 5}$ : Umiddelbar.

${\ displaystyle 5 \ Rightarrow 2}$ : jfr.

Bourbaki AC VII § 2 øvelse 9, eller
(fr) Pierre Samuel og Oscar Zariski , Commutative algebra , vol. 1 kap. V § 6-setning 10, eller igjen
Teorem 11.149 (tilskrevet Matusita) i Szpirglas

(i disse tre kildene er settet med argumenter det samme).

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 1}$ : Under hypotese 2 (som involverer 3, 4, 5, og det unike ved nedbrytningen i prime), har vi allerede sett at A er eterisk og integrerer. Videre (jf. Avsnittet Verdivurdering nedenfor) kan vi assosiere med hvert ikke-prim-ideal P av A en verdivurdering v P på K slik at A er skjæringspunktet mellom de tilhørende verdsettingsringene. Den er derfor helt lukket (se hele Element- artikkelen ). Ethvert ikke-primært ideal P er maksimalt (ved eksistensen av en nedbrytning i maksimum og unikhet av nedbrytningen i primtall). Dermed tilfredsstiller A alle egenskapene som kreves for å være en Dedekind-ring.

Det følger umiddelbart at hvis A er en Dedekind-ring, så:

gruppen av inverterbare fraksjonelle idealer er den største man kan håpe på: den består av settet Fr ( A ) av alle ikke-null fraksjonelle idealer (fordi et slikt ideal har formen d −1 J = J. (dA) - 1 med J ideal av A ikke null av A derfor inverterbar);
gruppen Fr ( A ) er den frie abeliske gruppen på settet P ( A ) til ikke-null-primidealene til A , dvs. ethvert brøk-ideal nedbrytes på en unik måte til et endelig produkt av positive krefter eller negativt av primidealer ( eksistensen av en slik nedbrytning for brøk idealer er utledet fra den for idealer, og fra ovennevnte skriving av et brøk ideal; unikhet også, ved å redusere, etter produkt, til positive krefter);
et fraksjonelt ideal er et ideal for A hvis og bare hvis alle maktene i nedbrytning til produktet av primære idealer er positive ("hvis" er umiddelbar, "bare hvis" blir utledet fra slutten av teoremet).

Verdsettelse

Vi antar her at A er en ring som tilfredsstiller egenskap 2 til forrige teorem, og alle dets konsekvenser (egenskaper 3 til 5, integritet, noetherianity, unikhet ved nedbrytningen i første). Vi vil forklare verdsettelsene på A som lar oss fullføre beviset på 2 ⇒ 1 i denne teoremet. Først fikser vi ikke-prim-idealet P :

{\ displaystyle P \ i P (A)}

Det unike ved primærfaktoriseringen av brøkidealer tillater, som for naturlige tall eller rasjonelle tall, å definere en verdsettelse på multiplikasjonsgruppen Fr ( A ):

Søknaden v P at en brøk ideelle F null kombinerer eksponent P på dens dekomponering i prim forbilder og som kombinerer null ideelle uendelig verdi, kalles verdi på Fr ( A ) P .

{\ displaystyle v_ {P_ {i}} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} P_ {j} ^ {\ alpha _ {j}} \ right) = \ alpha _ {i} \ quad {\ text {and}} \ quad v_ {P} (\ {0 \}) = \ infty.}

Fra resultatene fra forrige avsnitt trekker vi straks ut det for alle : ${\ displaystyle F, G \ i Fr (A)}$

${\ displaystyle v_ {P} (F \ cdot G) = v_ {P} (F) + v_ {P} (G)}$
${\ displaystyle v_ {P} (F + G) = \ min {\ big (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ big)}}$
${\ displaystyle v_ {P} (F \ cap G) = \ max {\ big (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ big)}}$

Dette gjør det mulig å definere en verdsettelse på K ved å begrense v P til ikke-null hovedfraksjonelle idealer:

påføring til et element k av fraksjonen K av A tilknyttede v P ( kA ) kalles evaluering på K-P . Denne applikasjonen er fremdeles betegnet v P .

{\ displaystyle \ forall k \ i K ^ {*}, \; v_ {P} (k) = v_ {P} (kA) \ quad {\ text {and}} \ quad v_ {P} (0) = \ infty.}

På K , tilfredsstiller familien av verdivurderinger ( v P ) når P nå krysser settet P ( A ) av ikke-primære idealer:

For ethvert element som ikke er null x i A , er v P ( x ) bare positivt for et endelig sett med idealer (og er null for de andre). ${\ displaystyle P \ i P (A)}$

Med andre ord hører x bare til et endelig antall hovedidealer.

"Tilnærmingsteori": La være tydelig, og . Det eksisterer da slik at ${\ displaystyle P_ {1}, \ ldots, P_ {q} \ i P (A)}$ ${\ displaystyle n_ {1}, \ ldots, n_ {q} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {q} \ in K}$ $k \ i K$

{\ displaystyle {\ text {for alt}} i \ i [1, q], \ quad v_ {P_ {i}} (k-k_ {i}) \ geq n_ {i} {\ text {and}} }

{\ displaystyle {\ text {pour tout}} P \ i P (A) {\ text {forskjellig fra}} P_ {i}, \ quad v_ {P} (k) \ geq 0.}

Gruppe av ideelle klasser

De viktigste ikke-null fraksjonelle idealene er en undergruppe av gruppen av ikke-null fraksjonelle idealer. Den kvotient gruppe kalles klassen gruppe . Hvis A er ringen av algebraiske heltall i et tallfelt , er gruppen av klasser av endelig orden. Dette resultatet er en av tastene som gjør det mulig å løse diofantiske ligninger, og spesielt den som er knyttet til Fermats siste setning .

Alle disse egenskapene blir også studert, i det enklere rammeverket av kvadratiske heltall , i artikkelen Ideal for ringen av heltall i et kvadratisk felt .

Merknader og referanser

Merknader

John Horton Conway og Richard Guy , The Book of Numbers , Eyrolles, 1998 ( ISBN 9782212036381 ) .
(i) HM Edwards , " Bakgrunnen for Kummers bevis på Fermats siste teori for vanlige premier " , Arch. Historie Nøyaktig Sci. , vol. 14 n o 3,1975, s. 219-236 ( DOI 10.1007 / BF00327448 ).
E. Kummer, "On Theory of Complex Numbers", CRAS , 1847.
En analyse tilbys i innledningen av teksten (en) Dedekinds versjon fra 1871 av idealteorien av Jeremy Avigad , 2004.
Dedekind 2006 .
(De) R. Dedekind, "Zur Theorie der Ideale", Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen , 1894.
Bourbaki AC , II § 1, øvelse 6.
Jean-Pierre Serre , Local Corps [ detalj av utgaver ] s. 23 , eller Bourbaki AC , VII § 2, nr . 4.

Referanser

Historisk

(en) HM Edwards, Divisor Theory , Birkhäuser, Boston, 1990 ( ISBN 978-0-81763448-3 )
R. Dedekind ( overs. C. Duverney), avhandling om tallteori , Genève, Tricorne,2006( ISBN 2829302893 ) - Dedekinds bok som gir definisjonen av brøkideal.

Matematikk

N. Bourbaki , Elementer i matematikk : Kommutativ algebra
(en) GH Hardy og EM Wright , En introduksjon til teorien om tall ( 1 st ed. 1938) [ Retail Editions ]
Pierre Samuel , algebraisk tallteori [ detalj av utgaven ]
Jean-Pierre Serre , aritmetikkurs ,1970[ detalj av utgaver ]
Aviva Szpirglas, Algebra L3: Komplett kurs med 400 korrigerte tester og øvelser [ detalj av utgaver ], spesielt kapittelet Inverting Ideals - Rings of Dedekind lagt ut online av Lionel Ducos ( University of Poitiers ), bidragsyter til denne boken

Ekstern lenke

Bas Edixhoven og Laurent Moret-Bailly, algebraisk tallteori, masterkurs i matematikk , Universitetet i Rennes 1 ,2004( les online )