Hele elementet

I matematikk , og nærmere bestemt i kommutativ algebra , er heltall på en kommutativ ring både en generalisering av algebraiske heltall (heltall på ringen av relative heltall ) og algebraiske elementer i en utvidelse av felt . Det er et veldig nyttig begrep innen algebraisk tallteori og algebraisk geometri . Dens fremvekst begynte med studiet av kvadratiske heltall , spesielt Gaussiske heltall .

Definisjon

Faste er en kommutativ ring $A$ .

La $B være$ en kommutativ $A-$ algebra (dvs. en kommutativ (enhetlig) ring utstyrt med en ringmorfisme ). Et element $b$ av $B$ sies å være heltall over $A$ hvis det eksisterer en enhetspolynom med koeffisienter i $A som$ forsvinner ved $b$ . ${\ displaystyle \ phi: A \ til B}$

Eksempler

Når A er et legeme (kommutativ) , er ett element integral over A if (og bare hvis) det er algebraisk enn A .
I kroppen sett på som en algebra på ringen av relative heltall , er heltallene de algebraiske heltallene . For eksempel : VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} $\ mathbb {C}$ Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}} $\ mathbb {Z}$
- ethvert Gaussisk heltall med og en
kvadratrot av $-1$ , er et heltall over , fordi det blir kansellert av enhetens polynom med heltallskoeffisienter ;α=på+Jegb∈VS{\ displaystyle \ alpha = a + \ mathrm {i} b \ in \ mathbb {C}} ${\ displaystyle \ alpha = a + \ mathrm {i} b \ in \ mathbb {C}}$ på,b∈Z{\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}} ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$ Jeg{\ displaystyle \ mathrm {i}} ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$ Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}} $\ mathbb {Z}$ α{\ displaystyle \ alpha} $\ alfa$ X2-2påX+(på2+b2){\ displaystyle X ^ {2} -2aX + (a ^ {2} + b ^ {2})} ${\ displaystyle X ^ {2} -2aX + (a ^ {2} + b ^ {2})}$
de eneste rasjonelle algebraiske heltallene er relative heltall.

La et være et element av A og B den kvotienten ring A [ X ] / ( X 2 - et ). Bildet av X i B er fullstendig på A .

La G en begrenset gruppe av automorphisms av A , og A G den subring av elementer A fiksert ved alle elementer av G . Så hvert element i A er integral over A G .

Demonstrasjon

Hvis α er et element i A , er α roten til polynomet ∏ σ ∈ G ( X - σα ), hvis koeffisienter er uforanderlige av G- automorfismer , siden symmetriske funksjoner til σα .

Det sies at $B$ er integral over $A$ , eller at det er en $A$ hel algebra om hvert element i $B$ er integral over $A$ . Vi vil også si at det er en hel morfisme eller at det er en hel utvidelse . ${\ displaystyle \ phi: A \ til B}$ $A \ til B$

I motsetning til tilfellet med kroppsforlengelser, er ikke ringmorfisme nødvendigvis injiserende. Men å si at $b$ er integralet over $A$ betyr at $b$ er integralet over det subring av $B$ . Vi kan derfor alltid begrense oss til injiserende morfismer. Men det er mer praktisk å beholde definisjonen av det generelle tilfellet (vi kan altså si at en surjectiv morfisme er heltall). ${\ displaystyle \ phi: A \ til B}$ ${\ displaystyle \ phi (A)}$

Eiendommer

Vi sier at en morphism fra A til B er en endelig morphism om det er B en A -module av endelig type, det vil si, hvis det er slik som sies også at B er endelig i løpet av en . ${\ displaystyle b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \ in B}$ ${\ displaystyle B = b_ {1} A + \ ldots + b_ {n} A.}$

Teorem - Følgende forhold er ekvivalente:

b er heltall over A ,
A [ b ] er endelig på A (som A- modul),
det eksisterer en (enhetlig) subalgebra av B som inneholder b og endelig på A (som A- modul),
det er en A [ b ] - trofast modul av endelig type som A- modul.

Demonstrasjon

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 3}$ og er umiddelbare. ${\ displaystyle 3 \ Rightarrow 4}$
${\ displaystyle 1 \ Rightarrow 2}$ :

Enten slik det . Enten . Ved euklidsk divisjon i (det er mulig her fordi er enhetlig), har vi med grad høyst . Så er en lineær kombinasjon av og er av endelig type. ${\ displaystyle P (X) = X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ ldots + a_ {0} \ i A [X]}$ ${\ displaystyle P (b) = 0}$ ${\ displaystyle F (X) \ i A [X]}$ ${\ displaystyle A [X]}$ $P (X)$ ${\ displaystyle F (X) = Q (X) P (X) + R (X)}$ ${\ displaystyle R (X)}$ $n-1$ ${\ displaystyle F (b) = R (b)}$ ${\ displaystyle 1, b, \ ldots, b ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle A [b]}$

${\ displaystyle 4 \ Rightarrow 1}$ :

La D en slik modul og en genererende familie av A -module D . For alt i , bd jeg er et medlem D og uttrykkes som en lineær kombinasjon av koeffisientene i A . Det er derfor elementer a ij av A slik at: ${\ displaystyle (d_ {1}, \ ldots, d_ {n})}$ $d_ {j}$

{\ displaystyle \ forall i \ i [1, n], \ quad b.d_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} d_ {j}}

som også er skrevet

{\ displaystyle \ forall i \ i [1, n], \ quad \ sum _ {j = 1} ^ {n} (\ delta _ {ij} b-a_ {ij}) d_ {j} = 0}

hvor δ ij betegner Kronecker-symbolet .

Hvis vi betegner determinanten med d , viser Laplace's formel at vi har dd i = 0 for alle i . Når d i genererer D , utleder vi dD = 0 derav (siden D er trofast) d = 0. Hvis vi utvikler denne determinanten d , får vi en ligning av formen P ( b ) = 0, hvor P er et monisk polynom med koeffisienter i a . ${\ displaystyle \ det (\ delta _ {ij} b-a_ {ij})}$

Resultat 1 - Settet med heltallelementer av B over A er en delring av B som inneholder bildet av . ${\ displaystyle \ phi: A \ til B}$

Demonstrasjon

Hvis b og c er heltall over A, så er subalgebra A [ b , c ] endelig (som modul) over A [ b ] som i seg selv er endelig over A , så A [ b , c ] er endelig på A derfor (i henhold til til teoremet) alle elementene er heltall på A , spesielt elementene b - c og bc .

Motstykket 2 - Hvis B er integralet over A , og hvis c er et helt tall del av B av en B -algebra, og c er integralet over A . Således er en hel ring av en stasjonær ring til A er integralet over A .

Demonstrasjon

La være et polynom som avbryter c . Siden tallene er heltall over A , er algebraen en A- modul av endelig type (ved å gjenta resonnementet til forrige resultat). Siden c er heltall over C , er algebra D = C [ c ] en C- modul av endelig type. Vi utleder at D er et A- modul av endelig type, og teoremet lar oss konkludere. ${\ displaystyle X ^ {n} + b_ {n-1} X ^ {n-1} + \ ldots + b_ {0} \ in B [X]}$ $b_k$ ${\ displaystyle C = A [b_ {0}, \ ldots, b_ {n-1}]}$

Hvis B er heltall over A , så:
- for ethvert $A-$ algebra $C$ er tensorproduktet heltall over $C$ (for eksempel: B [ X ] er heltall over A [ X ]); ${\ displaystyle B \ otimes _ {A} C}$
- hvis flere $C$ er integralet over $A$ , så er integralet over $A$ . ${\ displaystyle B \ otimes _ {A} C}$
Hvis et polynom B [ X ] er integralet over A [ X ], slik at dets koeffisienter er heltall A .

Full lukking og lukking

Fra resultat 1 ovenfor er settet med heltallelementer av $B$ over $A$ en under- $A-$ algebra av $B$ (dvs. en underring av $B$ stabil ved multiplikasjon med $A$ ). Dette settet kalles integral lukking av $A$ i $B$ .

Hvis $A$ er integrert , integralet dekslet i dets felt av fraksjoner kalles integral lukking av $A$ . I algebraisk geometri, svarer dette til en normalisering av ordningen definert av $A$ . Hvis $A$ er lik den integrerte lukkingen, sier vi at $A$ er helt lukket eller normal .

I følge Corollary 2 ovenfor er den integrerte lukkingen av $A$ i en utvidelse av dets brøkfelt alltid fullstendig lukket. Spesielt :

full lukking av $A$ er helt lukket;
den ring O K av heltall av et felt K er integrerende lukket, slik at integralet stenging av en ring av algebraisk tall er redusert til ringen av heltall fra sitt felt fraksjoner.

Eksempler

Ringen ℤ = O ℚ er helt lukket, ringen ℤ [ $i$ ] = O ℚ [i] også av Gaussiske heltall . Faktisk er enhver hovedring helt lukket.
Mer generelt (jf. Gauss lemma ) er en integrert ring med GCD - spesielt en faktorring - helt lukket (for eksempel en vanlig ring , som ringen til polynomer R [ X 1 ,…, X n ] med koeffisienter i en hoveddelen eller ringen R ).
Ringen O ℚ ( $\sqrt d$ ) av heltall i et kvadratisk felt ℚ ( $\sqrt d$ ) er velkjent: se " Kvadratisk heltall ". For eksempel, O ℚ (√5) = ℤ [(1 + √ 5 ) / 2] og O ℚ (√ - 2) = ℤ [ $\sqrt -2$ ].
Den integrerte lukkingen av ℤ [ t 2 , t 3 ] er ℤ [ t ].
En gradering ring er lukket; et skjæringspunkt mellom rangeringene også.

Demonstrasjon

Enhver verdsettelsesring er fra Bézout derfor til GCD og a fortiori helt lukket.
Et kryss av helt lukkede underringer i K er tydelig helt lukket.

Faktisk er en integrert ring helt lukket hvis og bare hvis det er et skjæringspunkt mellom verdsettingsringer for dets brøkfelt.

En Dedekind-ring er helt lukket (per definisjon).
“Passasjen til ringer av brøker pendler til integrert lukking: la A være en underring av et felt K , og la S være en multiplikasjonsdel av A som ikke inneholder 0. For at et element av K skal være heltall over S - 1 a hvis og bare hvis det er av formen a '/ s der en' helhet er på a , hvor s tilhører s . » Spesielt:
- hvis A er helt lukket så er også S −1 A ;
- i K , den algebraiske lukking av fraksjonen av A er lik den felt av fraksjoner av integralet lukking av A .

Demonstrasjon

Hvis x er heltall over S −1 A , tilfredsstiller det en ligning av skjemaet

{\ displaystyle x ^ {n} + {\ frac {a_ {n-1}} {s}} x ^ {n-1} + \ ldots + {\ frac {a_ {0}} {s}} = 0 \ {\ tekst {med}} \ a_ {k} \ i A \ {\ tekst {og}} \ s \ i S}

Multiplisere med s n , følger det at sx er integralet over A . Det omvendte bevises på samme måte ved å gjenta denne beregningen i motsatt retning. Den første spesielle tilfellet oppnås ved å ta K lik til feltet av fraksjoner av A , og den andre taking S lik til settet av ikke-null elementer av A .

I algebraisk tallteori trenger vi for eksempel ofte ringen av S-heltall i et tallfelt K , hvor S er et endelig sett med primtall. Dette er elementene i K som er kansellert av en enhetspolynom med koeffisienter i S –1 ℤ, en ring av rasjonelle tall hvis nevner bare er delelig med primtallene til S (for eksempel hvis S = {2, 3}, så S –1 ℤ er settet med fraksjoner av formen c / 2 til 3 b ).

Kobling med algebraiske utvidelser

La A være en integrert domene, K sitt felt av fraksjoner og L en forlengelse av K .

Hvis et element fra L er heltall A når koeffisientene til dens minimale polynom enn K er heltall A .

Demonstrasjon

Hvis x er heltall over A , eksisterer det en enhetspolynom Q ∈ A [ X ] som kansellerer x . A fortiori, x er algebraisk over K , og dets minimale polynom P deler Q i K [ X ]. La oss betegne med a , b , c , ... røttene til P (i et nedbrytningsfelt ); således er P ( X ) = ( X - a ) ( X - b ) ( X - c )…. Siden disse røttene også er røtter til Q , er de alle hele på A ; følgelig er koeffisientene til P , som er polynomer i a , b , c ,… , også heltall på A (i følge Corollary 1).

Hvis L er en endelig utvidelse av K, og hvis B er den integrerte lukkingen av A i L , er en av de følgende to betingelsene tilstrekkelig for at B skal være endelig på A :
- utvidelsen kan skilles , eller
- A er en integrert algebra av endelig type over et felt eller en Dedekind-ring med null karakteristikk.

(Det er moteksempler i det generelle tilfellet).

Anvendelser på algebraisk geometri

La være en hel morfisme. ${\ displaystyle \ phi: A \ til B}$

De Krull dimensjoner tilfredsstiller ulikheten . ${\ displaystyle \ dim B \ leq \ dim A}$
Skjemamorfismen assosiert med er lukket (det vil si at den sender en lukket del til en lukket del). ${\ displaystyle f: {\ rm {Spec}} B \ til {\ rm {Spec}} A}$ $\ phi$
Hvis mer er injeksjonsdyktig, så er det adjektiv. Med andre ord, for hvert hovedideal av $A$ , eksisterer det et hovedideal for $B$ slik at . Videre er det maksimalt hvis og bare hvis det er maksimalt. Til slutt har vi like dimensjoner . $\ phi$ $f$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ phi ^ {- 1} ({\ mathfrak {q}})}$ ${\ mathfrak p}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ${\ displaystyle \ dim A = \ dim B}$

Merknader og referanser

(in) MF Atiyah og IG Macdonald , Introduksjon til kommutativ algebra , Taylor og Francis ,1969( les online ) , s. 68, eks. 12.
Denne siste karakteriseringen blir sjeldnere brukt, men tjener for eksempel i studiet av diskrete verdsettelsesringer .
synes dette argumentet i Pierre Samuel , algebraisk Theory of Numbers [ detalj av edition ], i N. Bourbaki , Commutative Algebra , s. V.1.1, i Serge Lang , Algèbre [ detalj av utgaver ]og i (en) Pierre Samuel og Oscar Zariski , Commutative Algebra , vol. 1, Springer Verlag , koll. " GTM " ( N o 28). Det er en variant av argumentet som brukes for å bevise Nakayamas lemma . Alternativt kan vi påberope oss Cayley-Hamilton-setningen for endomorfismen til D : “produsert av b ”.
Et mer eksplisitt bevis ved bruk av resultatene presenteres av Aviva Szpirglas , Algebra L3: Komplett kurs med 400 tester og korrigerte øvelser [ detalj av utgaven ], kap. 10, § 4.2.2 i tilfelle A = ℤ men strekker seg med generisitet til enhver ring . En alternativ metode basert på den grunnleggende setningen til symmetriske polynomer .
Atiyah og Macdonald 1969 , s. 67-68 (eks. 8 og 9).
Henri Lombardi og Claude Left, kommutativ algebra - Konstruktive metoder - projiserende moduler av endelig type , Calvage & Mounet,2016( 1 st ed. 2011) ( arxiv 1611,02942 , elektronisk presentasjon ) , s. 137, Lemma 8.4.
For den generelle beregningen av den integrerte lukningen av en algebra generert av monomaler , se for eksempel (i) David Eisenbud , kommutativ algebra: med utsikt mot algebraisk geometri , al. "GTM" ( n o 150)1995( les online ) , s. 139-140, øvelse 4.22.
André Néron , “ Elementary Notions of Algebraic Geometry ” , Mathematical Publications of Orsay, 1964-65 .
Bourbaki AC VI § 1 n o 3.
Jean-Pierre Serre , Local Corps [ detalj av utgaver ]s. 22.
Atiyah og Macdonald 1969 , s. 61-64.