I matematikk er grensen til en sekvens intuitivt elementet hvis vilkår for sekvensen kommer nærmere når indeksene blir veldig store. Denne intuitive definisjonen er neppe brukbar fordi det ville være nødvendig å kunne definere betydningen av "å komme nærmere". Denne forestillingen innebærer eksistensen av en avstand (indusert av den absolutte verdien i ℝ , av modulen i ℂ , av normen i et normert vektorrom ), men vi vil se at vi til og med kan klare oss uten den forutsatt at vi har en topologi . I denne artikkelen vil først bli presentert forestillingen om grense for reell sekvens , deretter den for kompleks sekvens og først etter, selv om det betyr å være overflødig, grensen i et topologisk rom .
Hvis formaliseringen av grensen til en suite kommer ganske sent, går den intuitive bruken mer enn 2000 år tilbake. I Elements of Euclid (X.1) leser vi: "Gitt to ulik størrelser, skjønt, den større blir trukket mer enn halvparten, og resten er avskåret mer enn halvparten, og det vi alltid fortsetter på denne måten, vil vi ender opp med en mengde mindre enn den minste som er gitt ” . På dagens språk vil det gi:
enten (merk ganske enkelt ) en sekvens av virkelig positiv slik at det for alle n , så for ekte alle positive , eksisterer det en indeks slik at . Som er nesten definisjonen av en sekvens med grensen på 0.Noen vil kanskje tro at denne tolkningen av Euklids tiende element er en feilaktig modernisering, det er tilstrekkelig å disabusere dem ved å se på Archimedes 'bruk i hans metoder for kvadratur . Han søker å beregne arealet på platen eller området under en parabel , for eksempel, søker han å nærme seg det ved områder av polygoner, og observerer deretter forskjellen mellom det etterspurte området og området på polygonen. Han viser at denne forskjellen har blitt redusert med mer enn halvparten på hvert trinn, og det er slik han konkluderer med at ved å fortsette prosessen på ubestemt tid, vil vi være så nærme som vi ønsker det etterspurte området. Dette er " utmattelsesmetoden ".
Denne intuisjonen av den dårlig formaliserte grensen vil imidlertid ikke gjøre det mulig å fjerne Zenos paradokser , som for Achilles og skilpadden : Achilles starter med et handicap A og løper dobbelt så fort som skilpadden. Når han kommer til skilpaddens startpunkt, har sistnevnte allerede reist avstanden A / 2 , Achilles reiser deretter avstanden A / 2, men skilpadden har gått avstanden A / 4 , ved dette toget tar Achilles ikke igjen med skilpadden bare etter et uendelig antall prosesser, det vil si aldri .
Det var da nødvendig å vente 1600 år og arbeidet til Grégoire de Saint-Vincent for å skimte et forsøk på ufullkommen formalisering, deretter den uendelige kalkulatoren til Newton og Leibniz .
Vi sier at en reell sekvens innrømmer som begrense en reell ℓ hvis:
ethvert åpent intervall som inneholder ℓ inneholder også alle ordene i sekvensen bortsett fra et endelig antall av dem (dvs. inneholder alle ordene i sekvensen fra en viss rang).Vi sier også at den konvergerer til ℓ. Hvis en sekvens har en reell grense, sier vi at den er konvergent eller at den konvergerer.
Den forrige definisjonen er formelt oversatt som:
.Vi skriver da
eller enklere når det ikke er tvetydighet , ellerFra denne definisjonen kan vi utlede det
Fullstendighetsegenskapene til allow lar oss også si det
Eksempler på konvergerende sekvenser
Vi sier at en ekte sekvens divergerer hvis den ikke konvergerer. En divergerende sekvens kan enten ha en uendelig grense eller ikke ha noen grense .
Vi sier at en sekvens har en tendens til + ∞ hvis noe intervall av formen ] A , + ∞ [ inneholder alle vilkårene i sekvensen bortsett fra et endelig antall av dem (dvs. inneholder alle vilkårene i sekvensen fra en viss rang).
Denne definisjonen oversettes formelt som:
Vi skriver da
eller enklere når det ikke er tvetydighet, ellerVi sier at en sekvens har en tendens til –∞ hvis noe intervall av formen ] –∞, A [ inneholder alle ordene i sekvensen bortsett fra et endelig antall av dem.
Denne definisjonen oversettes formelt som:
Vi skriver da
eller enklere når det ikke er tvetydighet ellerDet grunnleggende eksemplet på en sekvens som har en tendens til uendelig, er den omvendte av en sekvens med konstant tegn og en tendens til 0:
To resultater er ganske enkle å oppnå:
Enkelte reelle sekvenser har ikke en tendens til en ekte, eller mot + ∞ eller mot –∞ . Dette er for eksempel:
Vi beviser at operasjonene på konvergerende sekvenser overføres til sine grenser så lenge operasjonen har en betydning. Matematisk sett betyr dette at hvis og hvis da
Videre, hvis f er en kontinuerlig funksjon i og hvis er definert da
Intervensjonen av sekvenser som går mot ± ∞ gjør beregningene litt mer kompliserte:
Vi sier at en sekvens konvergerer til en kompleks ℓ hvis
Vi merker at det er den samme definisjonen som i ℝ, bortsett fra at det ikke lenger er et spørsmål om absolutt verdi, men om modulus .
Vi skriver da
eller mer enkelt, når det ikke er tvetydighet,Vi finner for de konvergerende komplekse sekvensene, de samme egenskapene som for de virkelige sekvensene, bortsett fra de som er knyttet til rekkefølge: grensen er unik, en konvergent sekvens har en avgrenset modul, enhver Cauchy-sekvens konvergerer (faktisk, ( er også komplett) , de forskjellige operasjonene som sum, produkt, kvotient overføres til det ytterste.
I et normalisert vektorrom sier vi at en sekvens konvergerer til ℓ if
Det er en generalisering av grensen til en kompleks sekvens, den vanlige normen i det komplekse planet er modul.
Vi skriver da
eller mer enkelt, når det ikke er tvetydighet,Det unike med grensen er bevart, så vel som overføring til grensen for summen og multiplikasjonen med en skalar . Det er bare i et fullstendig normalisert vektorrom vi kan bekrefte at en hvilken som helst Cauchy-sekvens konvergerer.
I et metrisk rom sier vi at en sekvens konvergerer til ℓ if
Merk at dette er den samme definisjonen som i , bortsett fra at det ikke lenger er et spørsmål om den absolutte verdien av en forskjell, men avstand.
Vi skriver da
eller mer enkelt, når det ikke er tvetydighet,Bare det unike med grensen holdes. Det vil være nødvendig å være i et komplett metrisk rom for å kunne si at enhver Cauchy-sekvens konvergerer. Hvis det eksisterer en operasjon på det aktuelle rommet, må den være kontinuerlig for å bli overført til grensen.
Alle de tidligere definisjonene kommer sammen i definisjonen av konvergens i et topologisk rom .
Eller E en plass med en topologi T .
Vi sier at sekvens konvergerer mot hvis, for et hvilket som helst åpent O av T inneholdende ℓ element, er det et naturlig tall N , slik at all den for å tilhøre O .
Det er nok at plassen er atskilt for å kunne bekrefte at grensen er unik .
Denne delen behandler bare tilfellet med verdisekvenser i et metrisk rom, derfor med tellbare baser av nabolag . I denne sammenheng sammenfaller begrepet adhesjonsverdi som definert nedenfor med den generelle forestillingen, som er forskjellig.
Eller en sekvens med verdier i en metrisk plass E .
Hvis er en streng økende funksjon (en slik funksjon kalles en ekstraktor ), sier vi at sekvensen er en sekvens ekstrahert (eller undersekvens ) fra sekvensen
Grovt sett er det fortsettelsen som vi bare holdt visse vilkår for (uendelig uansett).
Vi sier at verdien ℓ er en verdi for overholdelse av sekvensen hvis det eksisterer en ekstrahert sekvens som konvergerer mot ℓ.
For å få en ide er en verdi av vedheft et element "nær hvilken sekvensen ofte passerer", det vil si at så langt vi går, vil vi alltid finne et begrep for sekvensen i nærheten av dette. -Elementet.
Eiendom 1
Hvis en sekvens av verdier i E konvergerer mot l ∈ E , er l den unike verdien av vedheft av det vil si at alle de ekstraherte sekvensene konvergerer mot l .
I tilfelle der E er et kompakt rom , har vi til og med en gjensidig. Det gjelder for eksempel enhver sekvens med verdier i et segment av ℝ (med andre ord for en hvilken som helst avgrenset reell sekvens), eller til og med for en hvilken som helst reell sekvens, og tar den fullførte reelle linjen like kompakt (i dette tilfellet + ∞ og - ∞ er ikke a priori ekskludert fra oversikten over verdiene for vedheft av fortsettelsen):
Eiendom 2
Hvis en sekvens har verdier i et kompakt rom E , innrømmer den minst en verdi av vedheft i E , og den konvergerer hvis og bare hvis den bare tillater en .
Eiendom 3
En verdisekvens i E konvergerer til l ∈ E hvis og bare hvis:
Vi kan også se hvordan man kan generalisere dette resultatet: det er tilstrekkelig at bildene av ekstraktorene som anses helt dekker ℕ (for eksempel her, og ), det vil si at de (uendelige) settene med indekser for de ekstraherte sekvensene har som et gjensyn alle de naturlige.
Merk
Denne egenskapen er nyttig for å demonstrere ikke-konvergens av en verdisekvens i E : if
så ikke konverger.
Eksempel
Følgende (-12, 23, -34, 45, -56,…) = ((–1) nikken +1) n ∈ℕ * (jf. figur) kan deles inn i to undersekvenser:
De to undersekvensene som konvergerer mot forskjellige grenser, den opprinnelige sekvensen konvergerer ikke.
Alltid når E er et metrisk rom, har vi den kraftige setningen Bolzano-Weierstrass :
En metrisk rom E er kompakt hvis (og bare hvis) det er sekvensielt kompakt , det vil si hvis alle påfølgende verdier i E har minst en verdi av adhesjon i E .