Kvadratisk gjensidighetslov

I matematikk , spesielt i antall teorien , den lov kvadratisk gjensidighet , etablerer forbindelser mellom primtall ; mer presist beskriver den muligheten for å uttrykke et primtall som et kvadrat modulo et annet primtall. Forutsatt av Euler og omformulert av Legendre , ble det korrekt demonstrert for første gang av Gauss i 1801.

Det løser de to grunnleggende problemene i teorien om kvadratiske rester :

gitt et primtall $p$ , bestem, blant heltallene, hvilke modulo $p-$ firkanter og hvilke som ikke er;
gitt et heltall $n$ , bestem mellom modulene hvilken $n$ er en firkant og modulen som den ikke er.

Det regnes som en av de viktigste setningene i tallteori, og har mange generaliseringer.

Uttalelser

Gauss fullstendige uttalelse har tre påstander: "grunnleggende teorem" for to odde primtall og to "utfyllende lover".

Første uttalelse

Grunnleggende teorem. Gitt to forskjellige odde primtall

p

q

hvis $p$ eller $q$ er kongruent til 1 modulo 4, så er $p$ et modulo $q$ kvadrat hvis og bare hvis $q$ er et modulo $p$ kvadrat .

Mer eksplisitt: ligningen (av ukjent $x$ ) $x 2 \equiv p mod q$ har en løsning hvis og bare hvis ligningen (av ukjent $y$ ) $y 2 \equiv q mod p$ har en løsning.

Hvis $p$ og $q$ er kongruente til 3 modulo 4, deretter $p$ er et modulo $q$ firkant hvis og bare hvis $q$ er ikke en modulo $p$ firkantet .

Mer eksplisitt: ligningen $x 2 \equiv p mod q$ har en løsning hvis og bare hvis ligningen $y 2 \equiv q mod p ikke$ har noen løsning.

Første utfyllende lov. –1 er et modulo

p

kvadrat hvis og bare hvis

p

er kongruent til 1 modulo 4. Andre utfyllende lov. 2 er et modulo

p

kvadrat hvis og bare hvis

p

er kongruent til 1 eller –1 modulo 8.

Legendre symbol

Ved hjelp av Legendre-symbolet kan disse tre utsagnene oppsummeres henholdsvis med:

Grunnleggende teorem.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}}

, det vil si med mindre

p

q

begge er kongruente til

-1 mod 4

, i så fall .

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = - \ left ({\ frac {q} {p}} \ right)}

Første utfyllende lov.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}}}

. Andre utfyllende lov.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {p ^ {2} -1} {8}}}

Eksempler

Modulo q = 3, den eneste firkanten som ikke er null er (± 1) 2 = 1. Den kvadratiske gjensidighetsloven (sammenføyet med den første komplementære loven) gir derfor, for ethvert primtall $p$ annet enn 2 og 3, ekvivalensen: ${\ displaystyle p \ equiv 1 \ operatorname {mod} 3 \ Longleftrightarrow -3 {\ text {is a modulo square}} p}$ .Denne ekvivalensen demonstreres mer direkte: heltallet $p$ - 1 er et multiplum av 3 hvis og bare hvis (ℤ / p ℤ) * inneholder et element av rekkefølge 3, dvs. en rot av polynomet X 2 + X + 1 . Dette tilsvarer eksistensen i ℤ / $p$ ℤ av en kvadratrot av diskriminanten –3 av dette polynomet.
Modulo q = 5, kvadratene som ikke er null er (± 1) 2 = 1 og (± 2) 2 ≡ –1. Kvadratisk gjensidighetslov gir derfor, for ethvert primtall $p$ annet enn 2 og 5, ekvivalensen: ${\ displaystyle p \ equiv \ pm 1 \ operatorname {mod} 5 \ Longleftrightarrow 5 {\ text {is a modulo square}} s.}$ Men så tidlig som i 1775 demonstrerte Lagrange blant hans mange spesielle tilfeller av gjensidighetsloven - fruktene av hans studie av binære kvadratiske former - den direkte betydningen (⇒) og utvidet den gjensidige (⇐) til saken der $p$ ikke er prime . Gauss, som en innledning til sin første demonstrasjon av den generelle loven, gjorde det samme.
La oss bestemme om 219 er en kvadratisk modulo 383. Multiplikativiteten til Legendre-symbolet viser at: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {219} {383}} \ right) = \ left ({\ frac {3} {383}} \ right) \ left ({\ frac {73} {383}} \ Ikke sant)}$ .

Den grunnleggende setningen gjør det mulig å forenkle de to faktorene: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {383}} \ right) = (- 1) ^ {2 \ times 382/4} \ left ({\ frac {383} {3}} \ right) = - \ left ({\ frac {-1} {3}} \ right) \ quad {\ text {et}} \ quad \ left ({\ frac {73} {383}} \ right) = (- 1) ^ {72 \ times 382/4} \ left ({\ frac {383} {73}} \ right) = + \ left ({\ frac {18} {73}} \ right)}$ . Igjen ved å multiplisere Legendre-symbolet, forenkler vi ytterligere den andre faktoren: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {18} {73}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {73}} \ right) \ left ({\ frac {3 ^ {2}} { 73}} \ høyre) = \ venstre ({\ frac {2} {73}} \ høyre)}$ .Vi konkluderer med å bruke de to utfyllende lovene: som og , ${\ displaystyle 3 \ not \ equiv 1 \ operatorname {mod} 4}$ ${\ displaystyle 73 \ equiv 1 \ operatorname {mod} 8}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {219} {383}} \ right) = - \ left ({\ frac {-1} {3}} \ right) \ left ({\ frac {2} {73} } \ høyre) = - (- 1) 1 = 1}$ . Derfor er 219 et modulo 383 kvadrat.

La oss bestemme modulo hvilke primtall $p > 3$ heltallet 3 er en firkant. I følge den grunnleggende teoremet,

${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {p}} \ right) = (- 1) ^ {(3-1) (p-1) / 4} \ left ({\ frac {p} {3 }} \ høyre) = (- 1) ^ {(p-1) / 2} \ venstre ({\ frac {p} {3}} \ høyre)}$ ,

eller avhenger av $p$ $mod 3$ og avhenger av $p$ $mod 4$ . Det finner vi altså ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {3}} \ right)}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {(p-1) / 2}}$

{\ displaystyle 3 {\ text {is a modulo square}} p \ Longleftrightarrow p \ equiv \ pm 1 \ operatorname {mod} 12.}

Bevis på loven om kvadratisk gjensidighet

I en bok utgitt i 2000 avslører Franz Lemmermeyer den matematiske historien om gjensidighetslovene ved å dekke deres utvikling og samler sitater fra litteraturen for 196 forskjellige bevis for den grunnleggende teoremet.

De første demonstrasjonene av sistnevnte som i dag anses å være fullstendige, ble publisert av Gauss i hans Disquisitiones arithmeticae i 1801. Gauss hadde bevisene allerede i 1796 (i en alder av 19 år). Den første av disse bevisene er basert på gjentakelsesresonnement. I sin korrespondanse med eleven Gotthold Eisenstein beskriver Gauss dette første beviset som arbeidskrevende. Hans tredje og femte bevis er basert på Gauss lemma , som han demonstrerte ved denne anledningen.

Et bevis på den grunnleggende teoremet, som er basert på verktøyene for harmonisk analyse på en endelig abelsk gruppe og bruker tegnene til additivet og multiplikative abelgrupper i det endelige feltet $F p$ med $p-$ elementer, er gitt i artikkelen " Sum av Gauss ”. En enklere versjon er Gauss sjette bevis på denne teoremet. Et annet bevis kan bli funnet i de eksterne lenker i artikkelen " Zolotarevs Lemma ". Vi skylder Frobenius et veldig enkelt geometrisk bevis basert på Gauss lemma .
Her foreslås en demonstrasjon av de to utfyllende lovene. Den første er en umiddelbar konsekvens av det enkle kriteriet Euler . De to bevisene som ble valgt for det andre er (blant mange andre, som det av Gauss lemma), det av Thomas Joannes Stieltjes (ved å telle ) og det av Euler (1772).

Bevis på de to utfyllende lovene

La $p være$ et annet primtall enn 2. Målet er å bestemme kvadratstatus for –1 og 2 i feltet F p = ℤ / p ℤ . Den rekkefølge av sin multiplikativ gruppe F p * er p - 1 (som er like).

Konsekvenser av kriteriet til Euler :

produktet ab av to elementer av F p * er kvadratisk hvis en , og b samtidig er kvadratisk eller, hvis ingen av dem er;
et element av F p * er ikke- kvadratisk hvis og bare hvis det er roten til polynomet P ( X ) til F p [ X ] definert av:

{\ displaystyle P (X) = X ^ {\ frac {p-1} {2}} + 1}

;

det er nøyaktig ( p - 1) / 2 kvadratiske rester.

Første utfyllende lov:

Det skyldes impariteten til

p

(som derfor bare kan være modulo 4 kongruent med ± 1) og fra den andre konsekvensen ovenfor: –1 er ikke-kvadratisk hvis og bare hvis , det vil si om

p

er kongruent til –1 modulo 4.

(-1) ^ {{(p-1) / 2}} = - 1

For å nærme beviset for den andre loven, vurder sett B av ikke-kvadratiske rester som er forskjellige fra –1. Vi merker at hvis b er et element av B , så er også b −1 , og det er forskjellig fra b . Faktisk er de eneste elementene som er lik omvendt deres 1 og –1, og ingen element av B er lik ett av disse.

Det er to saker avhengig av resultatet gitt av den første loven.

Andre komplementærlov (Stieltjes) hvis $p$ er kongruent til 1 modulo 4:

I dette tilfellet er –1 en kvadratisk rest og B er settet med ( p - 1) / 2 ikke-kvadratiske rester. La C være mengden lik B - 1, det vil si mengden av elementene fra B som vi trekker fra 1. Følgende likhet viser at halvparten av elementene i C er kvadratiske rester og det andre nei:

\ forall b \ i B \ quad b (b ^ {{- 1}} - 1) = b ~ b ^ {{- 1}} - b = -1 (b-1).

Faktisk, hvis b - 1 er en kvadratisk rest, slik b ikke er og at –1 er, er b −1 - 1 heller ikke. Dette viser at vi kan dele C inn i et par par hvor det ene elementet er en kvadratisk rest og det andre ikke. Siden ( p - 1) / 2 er jevn, viser beregningen av P (1) at:

2 = 1 ^ {{{\ frac {p-1} 2}}} + 1 = P (1) = \ prod _ {{b \ in B}} (1-b) = \ prod _ {{b \ i B}} (b-1) = \ prod _ {{c \ i C}} c.

Følgelig er 2 en kvadratisk rest hvis og bare hvis antallet ikke-kvadratiske rester av C , som er ( p - 1) / 4, er jevnt, dvs. hvis p er kongruent til 1 ikke bare modulo 4, men modulo 8.

Andre komplementærlov (Stieltjes) hvis p er kongruent til –1 modulo 4:

I dette tilfellet er –1 ikke en kvadratrest, og B inneholder bare ( p - 3) / 2 elementer. Tenk deretter settet C ' lik B + 1. Følgende likhet og forrige resonnement viser at halvparten av ( p - 3) / 2-elementene i C' er kvadratiske rester og de andre ikke:

\ forall b \ i B \ quad b (b ^ {{- 1}} + 1) = b ~ b ^ {{- 1}} + b = b + 1.

Betegn ved Q ( X ) polynomet definert av:

Q (X) = \ prod _ {{b \ in B}} (Xb) = {\ frac {P (X)} {X + 1}} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{{ \ frac {p-3} 2}}} (- 1) ^ {i} X ^ {i}.

Ved å beregne Q (–1) på to måter og gjenbruke at ( p - 3) / 2 er jevn, får vi:

\ prod _ {{c \ in C '}} c = (p-1) / 2.

Elementet p - 1 er ikke en kvadratisk rest i dette tilfellet, og den omvendte av 2 er en kvadratisk rest hvis og bare hvis 2 er. Følgelig er 2 en kvadratisk rest hvis og bare hvis antallet ikke-kvadratiske rester av C ' , som er ( p - 3) / 4, er merkelig, dvs. hvis p er kongruent til -1, ikke bare modulo 4, men modulo 8.

Andre utfyllende lov (Euler).
- Hvis p = 8 n + 1, så er 2 et kvadratisk mod p fordi x 8 n - 1 = ( x 4 n - 1) (( x 2 n + 1) 2 - 2 ( x n ) 2 ).
- Hvis p ≡ –1 mod 8 så er –2 ikke en kvadratisk mod p ( ellers ville p ha formen a 2 + 2 b 2 , noe som er trivielt umulig) derfor (ifølge den første komplementære loven) 2 er en av dem.
- Hvis p ≡ ± 3 mod 8, så er ikke 2 et kvadratisk mod p ( ellers ville p ha formen ± ( a 2 - 2 b 2 ) , noe som er trivielt umulig).

Generaliseringer

Det er kubiske , todelte (en) (dvs. grad 4) gjensidighetslover og så videre. Imidlertid er den virkelige generaliseringen av alle disse lovene - monumental generalisering - teorien om klasselegemer . Se " Niende Hilbert-problem ".

Merknader og referanser

Merknader

Han tror han har vist det (A.-M. Legendre, “ Undersøkelser av ubestemmelig analyse ”, History of the Royal Academy of Sciences i Paris , 1785, s. 465-559 : demonstrasjonen . P 516-520 , gjenopptakelse i Essay om teorien om tall , 1798) men Gauss ( oversatt fra latin av A.-C.-M. Poullet-Delisle), Arithmetic research [“ Disquisitiones arithmeticae ”],1807( 1 st ed. 1801) ( les videre Wikikilden ), § 296-297, analyserer feilene. Den første er at Legendre gjentatte ganger innrømmer setningen om aritmetisk progresjon , et spørsmål som viser seg å være enda vanskeligere enn kvadratisk gjensidighet og ikke vil bli demonstrert før 1837. Legendre oppfattet denne første vanskeligheten ( s. 552 ) men trodde på 1808 å ha løst det . En annen feil var "en sammenvikling av sirkulært resonnement. [...] I løpet av tre th edition (1830) sin studie , det var nok avgjørende bevis for Legendre han til de 3 e vise Gauss gjensidighet, samt nevnt av Jacobi (samtidig at hans første beviset var gyldig). » ( (En) David A. Cox , Primes of the Form $x 2 + ny 2$ , Wiley,2011( 1 st ed. 1989) ( lest på nettet ) , s. 39).
Se for eksempel den korrigerte øvelsen 4-11 i leksjonen "Introduksjon til tallteori" på Wikiversity .
Den motsatte (⇐), nyttige for å bestemme Eisenstein primtall , kan også utledes fra factoriality av ℤ [ $j$ ] .
For eksempel fordi (ℤ / $p$ ℤ) * er syklisk av orden $p$ - 1 , eller igjen i henhold til Cauchys lemma . For øvrige argumenter, se øvelse 4-11 ovenfor.
For et direkte bevis for dette likeverdighet, i samme ånd som den forrige, se for eksempel den korrigerte øvelsen 4-12 av leksjonen "Introduction to tallteori" på Wikiversity .
Dette omvendte, som er nyttig i bestemmelsen av irreducibles av ℤ [φ] , kan også trekkes ut fra fakturiteten til denne ringen .
For et lignende bevis på den andre supplerende lov, se for eksempel (i) Kenneth Ireland og Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , al. " GTM " ( N o 84) ( lest på nettet ) , s. 69-70, eller den korrigerte øvelsen 4-8 i leksjonen "Introduksjon til tallteori" på Wikiversity .
Se også “ Fermats to-firkantede setning ”.

Referanser

(La) " Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos (E552) " ,1783 (skrevet i 1772).
Gauss 1801 , § 125-151 og 262.
(in) Tom M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory , Springer ,1976( les online ) , s. 178.
J.-L. Lagrange, " Forskning i aritmetikk (fortsatt) ", Memoirs av Berlin Academy ,1775, s. 323-356reeditert Joseph-Alfred Serret , Works of Lagrange , vol. III, Gauthier-Villars ,1869( les online ) , s. 759-795.
J.-L. Lagrange, " Research in arithmetic ", Memoirs of the Berlin Academy ,1773, s. 265-312( Œuvres , III , s. 695-758, [ les online ] ), fastslår mer presist at “de odde delene av tallene i formen t 2 - 5 u 2 eller 5 u 2 - t 2 er på samme tid av hver av disse to formene y 2 - 5 z 2 , 5 z 2 - y 2 . "
Gauss 1801 , § 123 og 121.
Apostol 1976 , s. 186-187, eksempel 1 .
Apostol 1976 , s. 187, eksempel 2 .
(en) F. Lemmermeyer, “ Proofs of the Quadratic Reciprocity Law ” .
(in) Reinhard Laubenbacher og David Pengelley, " Gauss, Eisenstein, og det" tredje "beviset på den kvadratiske gjensidighetsteorien: Ein kleines Schauspiel " .
(La) Gauss, " Theorematis fandamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae ", 1818.
André Weil , " La cyclotomy past and past, " Séminaire Bourbaki , vol. 16, nr . 452, 1973-1974, s. 318-338 ( les online ), § 6.
For detaljer om dette beviset, se for eksempel lenken nedenfor til "Law of quadratic reciprocity" på Wikiversity .
(De) G. Frobenius, “ Über das quadratische Reziprozitätsgesetz II ” , Sitzungsberichte Berliner Akad. ,1914, s. 484-488 : se den korrigerte øvelsen 4-13 i leksjonen “Introduksjon til tallteori” på Wikiversity .
TJ Stieltjes, " På den kvadratiske karakter av tallet 2 ", Annales de la Faculté des sciences de Toulouse , 1 st serie, vol. 11, n o 1,1897, s. 5-8 ( les online ).
(in) Andre Weil , Number Theory: An approach through history from Hammurabi to Legendre [ retail editions ], s. 212 og 85. Gauss 1801 , § 116, tar derfor feil når han hevder at Euler ennå ikke hadde bevis på det “da han skrev avhandlingen inneholdt i T. 1 i Opuscula analytics. , s. 259 ” , dvs. E449 , s. 108.

Se også

Jacobi symbol