I (kommutativ) feltteori , en norm av et element α av en endelig forlengelse L i et felt K er den bestemmende faktor for den lineære endomorphism av K - vektorrommet L , som, til x , tilknyttede αx . Det er en multiplikativ homomorfisme . Begrepet brukes i Galois- teorien og i algebraisk tallteori .
I aritmetikk griper det avgjørende inn i teorien om klassefelt : de abeliske underutvidelsene til en gitt utvidelse samsvarer i det vesentlige med grupper av normer, det vil si bildet i K , etter normen, av visse grupper av L.
Denne forestillingen strekker seg inn i en forestilling om norm av en ideell av ringen av heltall av et antall felt (dvs. for en endelig forlengelse av feltet ℚ av rasjonelle tall ), slik at den norm av en hoved ideell er lik den relative norm videre ℚ av en generator av dette idealet. Vi beviser at normen for et ikke-null ideal er lik kardinaliteten til kvotientringen , og at den er multiplikativ. Demonstrasjonen av endeligheten til gruppen av klasser bruker de løftende egenskapene til normen for idealene i en gitt klasse.
La K være et kommutativt felt, L en endelig utvidelse.
Den norm, knyttet til forlengelse L / K av et element α av L , er den bestemmende faktor for endomorphism cp α av K- vektorrommet L , som, sammen med X , forbinder elementet αx . Det er generelt betegnet N L / K ( α ).
Det er derfor et element av K , lik produktet av røttene til det karakteristiske polynomet χ α av φ α , telles med deres mangfoldigheter , og i en utvidelse der χ α er delt .
I muntlige kommunikasjoner eller fora, der en viss slapphet er autorisert, er det vanlig å snakke om en norm for et algebraisk element på K uten referanse til utgangspunktet for en utvidelse L ; i dette tilfellet er det forstått at normen til et algebraisk element α over et felt K (eller til og med ganske enkelt "normen for α " hvis feltet K har blitt spesifisert tidligere), er normen for α relativt til utvidelsen enkelt K ( α ) / K . Det er noen ganger betegnet N ( α ). I mer formelle skriftlige dokumenter unngås imidlertid denne bruken, og betegnelsen N K ( α ) / K ( α ) brukes .
Legg også merke til at N K ( α ) / K ( α ) er produktet av røttene til det minimale polynom P av α over K ; faktisk, for L = K [ α ] av grad d , (1, α , α 2 ,…, α d - 1 ) er et grunnlag der matrisen til φ α er ledsagermatrisen til P , derfor er χ α = P .
Et algebraisk heltall for en gitt utvidelse har åpenbart en norm i forhold til denne utvidelsen, men det er også heltall. Denne observasjonen førte til generalisere begrepet naturlig standard (se § algebraisk tallteori ) de idealer av ringen O L algebraiske tall i en rekke felt L . Vi beviser da at normen for et ikke- ideal ideal J av O L er den (endelige) kardinaliteten til kvotientringen O L / J.
Fra koblingen mellom normen til et element og dets minimale polynom, trekker vi straks ut:
Mer generelt :
I følge det primitive elementsetningen har L formen K [ m ] for noe element m. For α = m er formelen ingen ringere enn forrige spesialtilfelle. Den strekker seg til ethvert element α av L , fordi α har formen Q ( m ) for et visst polynom Q med koeffisienter i K , slik at φ α = Q (φ m ) derfor er røttene til χ α bildene av Q av of m og dermed:
Den relative normen arver fra multiplikativiteten til determinanten:
Den relative normen for produktet av to elementer av L er lik produktet av de relative normene for disse to elementene:
.Hvis L er grad n over K [ α ] så er N L / K ( α ) = N ( α ) n . Mer generelt gir beregningen av determinanten til en diagonal blokkmatrise :
Hvis L er av grad n på en mellomforlengelse F , for ethvert element β av F :
.Ved å ta for F den separerbare lukkingen av K i L , gjør dette det mulig å generalisere det skillbare tilfellet ovenfor:
Hvis n er graden av uatskillbarhet av L over K, og hvis S betegner settet med K- bindinger av L i en normal overekstensjon, så for ethvert element α av L ,
.For enhver mellomforlengelse F , ved å bruke denne formelen til L / K , L / F og F / K samtidig , kan vi beskrive den relative normen for ethvert element i L , ved sammensetningsformelen for normene:
For enhver mellomforlengelse F og ethvert element α av L :
.Det er også mulig å demonstrere denne formelen uten å gå gjennom produkter indeksert av S , takket være sammensetningsformelen for determinantene .
Gjennom hele dette avsnittet er K feltet ℚ av rasjonelle tall, så den endelige utvidelsen L er et tallfelt. Vurdere ring O L algebraiske heltall av L . En enkel spesiell sak er studert i artikkelen “ Quadratic integer ”.
I denne situasjon, og hvis α ikke er lik null, det relative standard er (ved definisjon) det å bestemme, i en base B av ℤ modul O L av grunn α B av den undermodulen α O L . De baseendring matriser av disse modulene blir i den lineære gruppe av ℤ, deres determinanter er lik ± 1. Det er derfor naturlig å utvide definisjonen av normen knyttet til idealer som følger:
Det er derfor et naturlig heltall, og hvis J er hovedtall, er dette heltallet lik den absolutte verdien av den relative normen til en generator.
Vi demonstrerer deretter den annonserte karakteriseringen:
La d være graden av utvidelsen. Legg først merke til at ℤ-modulen O L er fri for rang d (jf. § “Noetherian egenskaper” i artikkelen “Algebraisk heltall” ). I følge den invariante faktorsetningen eksisterer det derfor en genererende familie av J av formen ( p 1 e 1 ,…, p d e d ) med p k naturlige tall og ( e 1 ,…, e d ) grunnlag for O L . I tillegg er alle p k er forskjellig fra null, fordi J inneholder undermodulen α O L av rang d , for et hvilket som helst ikke-null α i J . Således har definisjonen en betydning (dvs.: O L og J er to gratis ℤ-moduler av samme endelige rang), ( p 1 e 1 ,…, p d e d ) er et grunnlag for J , og normen for J er lik p 1 ... p d . Nå er dette produktet nøyaktig kardinalen til kvotienten O L / J = (ℤ e 1 ⊕… ⊕ ℤ e d ) / (ℤ p 1 e 1 ⊕… ⊕ ℤ p d e d ) ≃ (ℤ / p 1 ℤ) ×… × (ℤ / p d ℤ).
(Denne egenskapen kan tolkes geometrisk ved å si at antall punkter i nettverket O L som tilhører et grunnleggende domene i delnettverket J er lik det relative volumet til dette grunnleggende domenet: jf. § "Covolume" av artikkelen “Gitter (geometri) . ” Det spesielle tilfellet med kvadratiske heltall, som er enklere, studeres i artikkelen “ Ideell for ringen av heltall i et kvadratisk felt ”.)
Spesielt hvis P er et ikke- prim-ideal, så er O L / P en endelig integralring, derfor er et endelig felt F q , N ( P ) = q en styrke av et primtall , og Lagranges teorem om grupper gir umiddelbart:
Fermats lille setning for ringen av heltall i et tallfelt - For ethvert ikke-primt ideal P av O L og ethvert element α av O L ,fordi hvis α ikke tilhører P så er α | N ( P ) | - 1 ≡ en mod P .Vi viser også, mer generelt, en analog av Eulers teorem .
Egenskapen til multiplikativitet er bevart:
Følgende bevis er basert på at ringen O L er fra Dedekind . Hvert ideal er et produkt av hovedidealer og hvert primideal er maksimalt (jf. Artikkelen " Fraksjonalt ideal "). Det er derfor tilstrekkelig til å bevise forslaget om J 2 er maksimal, den generelle tilfelle så blir behandlet ved suksessiv multiplikasjon av maksimale ideal.
I følge den tredje isomorfismen , er den abeliske gruppen O L / J 1 isomorf til kvotienten til O L / ( J 1 J 2 ) av undergruppen J 1 / ( J 1 J 2 ). Det er derfor tilstrekkelig å vise at denne undergruppen er isomorf til O L / J 2 . La α være et element av J 1 som ikke er i J 1 J 2 . (Et slikt element eksisterer fordi inkluderingen av J 2 i O L derfor er streng - ved inverterbarhet av det fraksjonelle idealet J 1 - også det til J 1 J 2 i J 1. ) Da er J 1 -1 α et ideal for O L som ikke er inkludert i J 2 , slik at idealet J 1 −1 α + J 2 strengt tatt inneholder det maksimale idealet J 2 , er derfor lik O L , dvs. at det eksisterer et element β av J 1 -1 slik at 1 - αβ tilhører J 2 . Vi avslutter med å merke oss at den naturlige morfismen til O L / J 2 i J 1 / ( J 1 J 2 ) som til klassen av et hvilket som helst element γ av O L assosierer den til αγ, så er en isomorfisme, den gjensidige morfismen er at, fra J 1 / ( J 1 J 2 ) i O L / J 2 , som til klassen til et hvilket som helst element δ av J 1 assosierer den til βδ.
Normer gjør det noen ganger mulig å etablere den euklidiske karakteren til visse ringer av heltall. Dette er for eksempel for heltallene til Gauss , Eisenstein og heltallene ℚ ( √ 5 ) .
I det mer generelle tilfellet av kvadratiske felt , hjelper normen med å belyse ringenes struktur slik at det for eksempel er mulig å løse ligningen x 2 + 5 y 2 = p der p er et primtall .
Enda mer generelt blir normen brukt til å etablere nøkkelresultater av algebraisk tallteori, som endeligheten til gruppen av ideelle klasser av ringen av heltall i en tallkropp.
Bas Edixhoven og Laurent Moret-Bailly , algebraisk tallteori, masterkurs i matematikk , Universitetet i Rennes 1 ,2004( les online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">