Norm (kroppsteori)

I (kommutativ) feltteori , en norm av et element α av en endelig forlengelse L i et felt K er den bestemmende faktor for den lineære endomorphism av K - vektorrommet L , som, til x , tilknyttede αx . Det er en multiplikativ homomorfisme . Begrepet brukes i Galois- teorien og i algebraisk tallteori .

I aritmetikk griper det avgjørende inn i teorien om klassefelt : de abeliske underutvidelsene til en gitt utvidelse samsvarer i det vesentlige med grupper av normer, det vil si bildet i K , etter normen, av visse grupper av L.

Denne forestillingen strekker seg inn i en forestilling om norm av en ideell av ringen av heltall av et antall felt (dvs. for en endelig forlengelse av feltet ℚ av rasjonelle tall ), slik at den norm av en hoved ideell er lik den relative norm videre ℚ av en generator av dette idealet. Vi beviser at normen for et ikke-null ideal er lik kardinaliteten til kvotientringen , og at den er multiplikativ. Demonstrasjonen av endeligheten til gruppen av klasser bruker de løftende egenskapene til normen for idealene i en gitt klasse.

Definisjoner

La K være et kommutativt felt, L en endelig utvidelse.

Den norm, knyttet til forlengelse L / K av et element α av L , er den bestemmende faktor for endomorphism cp α av K- vektorrommet L , som, sammen med X , forbinder elementet αx . Det er generelt betegnet N L / K ( α ).
Det er derfor et element av K , lik produktet av røttene til det karakteristiske polynomet χ α av φ α , telles med deres mangfoldigheter , og i en utvidelse der χ α er delt .

I muntlige kommunikasjoner eller fora, der en viss slapphet er autorisert, er det vanlig å snakke om en norm for et algebraisk element på K uten referanse til utgangspunktet for en utvidelse L ; i dette tilfellet er det forstått at normen til et algebraisk element α over et felt K (eller til og med ganske enkelt "normen for α " hvis feltet K har blitt spesifisert tidligere), er normen for α relativt til utvidelsen enkelt K ( α ) / K . Det er noen ganger betegnet N ( α ). I mer formelle skriftlige dokumenter unngås imidlertid denne bruken, og betegnelsen N K ( α ) / K ( α ) brukes .

Legg også merke til at N K ( α ) / K ( α ) er produktet av røttene til det minimale polynom P av α over K ; faktisk, for L = K [ α ] av grad d , (1, α , α 2 ,…, α d - 1 ) er et grunnlag der matrisen til φ α er ledsagermatrisen til P , derfor er χ α = P .

Et algebraisk heltall for en gitt utvidelse har åpenbart en norm i forhold til denne utvidelsen, men det er også heltall. Denne observasjonen førte til generalisere begrepet naturlig standard (se § algebraisk tallteori ) de idealer av ringen O L algebraiske tall i en rekke felt L . Vi beviser da at normen for et ikke- ideal ideal J av O L er den (endelige) kardinaliteten til kvotientringen O L / J.

Eiendommer

Separat sak

Fra koblingen mellom normen til et element og dets minimale polynom, trekker vi straks ut:

Normen for et separerbart algebraisk element over K er lik produktet av dets konjugerte elementer .

Mer generelt :

Hvis L kan skilles på K, og hvis S betegner settet med K- innebygging av L i en normal overforlengelse , for ethvert element α av L,

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (\ alpha).}

Demonstrasjon

I følge det primitive elementsetningen har L formen K [ m ] for noe element m. For α = m er formelen ingen ringere enn forrige spesialtilfelle. Den strekker seg til ethvert element α av L , fordi α har formen Q ( m ) for et visst polynom Q med koeffisienter i K , slik at φ α = Q (φ m ) derfor er røttene til χ α bildene av Q av of m og dermed:

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = \ prod _ {\ sigma \ in S} Q (\ sigma (m)) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (Q (m)) = \ prod _ {\ sigma \ i S} \ sigma (\ alpha).}

Forholdet mellom standarder

Den relative normen arver fra multiplikativiteten til determinanten:

Den relative normen for produktet av to elementer av L er lik produktet av de relative normene for disse to elementene:

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha _ {1}) ~ {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha _ {2}) = {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha _ {1} \ alpha _ {2})}

Hvis L er grad n over K [ α ] så er N L / K ( α ) = N ( α ) n . Mer generelt gir beregningen av determinanten til en diagonal blokkmatrise :

Hvis L er av grad n på en mellomforlengelse F , for ethvert element β av F :

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ beta) = {\ mathcal {N}} _ {F / K} (\ beta) ^ {n} = {\ mathcal {N}} _ {F / K} (\ beta ^ {n})}

Ved å ta for F den separerbare lukkingen av K i L , gjør dette det mulig å generalisere det skillbare tilfellet ovenfor:

Hvis n er graden av uatskillbarhet av L over K, og hvis S betegner settet med K- bindinger av L i en normal overekstensjon, så for ethvert element α av L ,

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (\ alpha) ^ {n}}

For enhver mellomforlengelse F , ved å bruke denne formelen til L / K , L / F og F / K samtidig , kan vi beskrive den relative normen for ethvert element i L , ved sammensetningsformelen for normene:

For enhver mellomforlengelse F og ethvert element α av L :

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = {\ mathcal {N}} _ {F / K} ({\ mathcal {N}} _ {L / F} (\ alfa))}

Det er også mulig å demonstrere denne formelen uten å gå gjennom produkter indeksert av S , takket være sammensetningsformelen for determinantene .

Algebraisk tallteori

Gjennom hele dette avsnittet er K feltet ℚ av rasjonelle tall, så den endelige utvidelsen L er et tallfelt. Vurdere ring O L algebraiske heltall av L . En enkel spesiell sak er studert i artikkelen “ Quadratic integer ”.

Normen til et algebraisk heltall og dets relative norm, for alle tallfelt L som inneholder det, er relative heltall.
Faktisk, opp til tegnet, er normen for α lik den konstante koeffisienten til dets minimale polynom - som for et algebraisk heltall har heltallskoeffisienter - og den relative normen er en kraft i det.

I denne situasjon, og hvis α ikke er lik null, det relative standard er (ved definisjon) det å bestemme, i en base B av ℤ modul O L av grunn α B av den undermodulen α O L . De baseendring matriser av disse modulene blir i den lineære gruppe av ℤ, deres determinanter er lik ± 1. Det er derfor naturlig å utvide definisjonen av normen knyttet til idealer som følger:

Den norm av en ikke-null ideell J i O L er den absolutte verdien av determinanten, i en basis av ℤ-modulus O L , av en basis av submodule J.

Det er derfor et naturlig heltall, og hvis J er hovedtall, er dette heltallet lik den absolutte verdien av den relative normen til en generator.

Vi demonstrerer deretter den annonserte karakteriseringen:

For ethvert ikke-null ideal J av O L er kvotienten O L / J endelig, med en kardinalitet lik normen til J.

Begrunnelse for definisjonen og beviset for karakteriseringen

La d være graden av utvidelsen. Legg først merke til at ℤ-modulen O L er fri for rang d (jf. § “Noetherian egenskaper” i artikkelen “Algebraisk heltall” ). I følge den invariante faktorsetningen eksisterer det derfor en genererende familie av J av formen ( p 1 e 1 ,…, p d e d ) med p k naturlige tall og ( e 1 ,…, e d ) grunnlag for O L . I tillegg er alle p k er forskjellig fra null, fordi J inneholder undermodulen α O L av rang d , for et hvilket som helst ikke-null α i J . Således har definisjonen en betydning (dvs.: O L og J er to gratis ℤ-moduler av samme endelige rang), ( p 1 e 1 ,…, p d e d ) er et grunnlag for J , og normen for J er lik p 1 ... p d . Nå er dette produktet nøyaktig kardinalen til kvotienten O L / J = (ℤ e 1 ⊕… ⊕ ℤ e d ) / (ℤ p 1 e 1 ⊕… ⊕ ℤ p d e d ) ≃ (ℤ / p 1 ℤ) ×… × (ℤ / p d ℤ).

(Denne egenskapen kan tolkes geometrisk ved å si at antall punkter i nettverket O L som tilhører et grunnleggende domene i delnettverket J er lik det relative volumet til dette grunnleggende domenet: jf. § "Covolume" av artikkelen “Gitter (geometri) . ” Det spesielle tilfellet med kvadratiske heltall, som er enklere, studeres i artikkelen “ Ideell for ringen av heltall i et kvadratisk felt ”.)

Spesielt hvis P er et ikke- prim-ideal, så er O L / P en endelig integralring, derfor er et endelig felt F q , N ( P ) = q en styrke av et primtall , og Lagranges teorem om grupper gir umiddelbart:

Fermats lille setning for ringen av heltall i et tallfelt - For ethvert ikke-primt ideal P av O L og ethvert element α av O L ,

{\ displaystyle \ alpha ^ {| N (P) |} \ equiv \ alpha \ mod P}

fordi hvis α ikke tilhører P så er α | N ( P ) | - 1 ≡ en mod P .

Vi viser også, mer generelt, en analog av Eulers teorem .

Egenskapen til multiplikativitet er bevart:

La J 1 og J 2 være to ikke-null idealer for O L , følgende likhet gjelder: ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {1} \ cdot J_ {2}) = {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {1}) ~ {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {2})}$ .

Demonstrasjon

Følgende bevis er basert på at ringen O L er fra Dedekind . Hvert ideal er et produkt av hovedidealer og hvert primideal er maksimalt (jf. Artikkelen " Fraksjonalt ideal "). Det er derfor tilstrekkelig til å bevise forslaget om J 2 er maksimal, den generelle tilfelle så blir behandlet ved suksessiv multiplikasjon av maksimale ideal.

I følge den tredje isomorfismen , er den abeliske gruppen O L / J 1 isomorf til kvotienten til O L / ( J 1 J 2 ) av undergruppen J 1 / ( J 1 J 2 ). Det er derfor tilstrekkelig å vise at denne undergruppen er isomorf til O L / J 2 . La α være et element av J 1 som ikke er i J 1 J 2 . (Et slikt element eksisterer fordi inkluderingen av J 2 i O L derfor er streng - ved inverterbarhet av det fraksjonelle idealet J 1 - også det til J 1 J 2 i J 1. ) Da er J 1 -1 α et ideal for O L som ikke er inkludert i J 2 , slik at idealet J 1 −1 α + J 2 strengt tatt inneholder det maksimale idealet J 2 , er derfor lik O L , dvs. at det eksisterer et element β av J 1 -1 slik at 1 - αβ tilhører J 2 . Vi avslutter med å merke oss at den naturlige morfismen til O L / J 2 i J 1 / ( J 1 J 2 ) som til klassen av et hvilket som helst element γ av O L assosierer den til αγ, så er en isomorfisme, den gjensidige morfismen er at, fra J 1 / ( J 1 J 2 ) i O L / J 2 , som til klassen til et hvilket som helst element δ av J 1 assosierer den til βδ.

applikasjoner

Normer gjør det noen ganger mulig å etablere den euklidiske karakteren til visse ringer av heltall. Dette er for eksempel for heltallene til Gauss , Eisenstein og heltallene ℚ ( √ 5 ) .

I det mer generelle tilfellet av kvadratiske felt , hjelper normen med å belyse ringenes struktur slik at det for eksempel er mulig å løse ligningen x 2 + 5 y 2 = p der p er et primtall .

Enda mer generelt blir normen brukt til å etablere nøkkelresultater av algebraisk tallteori, som endeligheten til gruppen av ideelle klasser av ringen av heltall i en tallkropp.

Merknader og referanser

Se for eksempel http://mathoverflow.net/questions/146000/structure-of-norm-one-group-for-quadratic-extension-of-p-adic-fields eller http://mathoverflow.net/questions / 158686 / heltall-av-form-m-xn-yn / 158689 # 158689
(in) Lorenz Falko (de) , Algebra , Vol. I: Fields and Galois Theory , Birkhäuser ,2005, 296 s. ( ISBN 978-0-387-28930-4 , leses online ) , s. 136.
Lorenz 2005 , s. 137.
Lorenz 2005 , s. 138.
(en) N. Bourbaki , Elements of Mathematics : Algebra I, Chapter 1-3 , Springer ,1990, 710 s. ( ISBN 978-3-540-64243-5 , leses online ) , s. 546.
For en definisjon i en mer generell sammenheng, se engelsk Wikipedia artikkelen " Ideal norm " .
(en) Helmut Koch (de) , Tallteori: Algebraiske tall og funksjoner , AMS , koll. " GSM " ( N o 24)2000, 368 s. ( ISBN 978-0-8218-2054-4 , leses online ) , s. 78.
(i) Tatsuaki Okamoto, "offentlig nøkkel kryptosystemer Quantum" i Mihir Bellare (de) , Advances in Kryptologi - Crypto 2000 , Springer , al. "Forelesningsnotater i informatikk" ( nr . 1880),2000( les online ) , s. 147-165( s. 154 ).
(in) David A. Cox , Primes of the Form $x 2 + ny 2$ , John Wiley & Sons ,2011( 1 st ed. 1989) ( ISBN 978-1-11803100-1 , lese på nettet ) , s. 165.
For mer direkte bevis, se Koch 2000 , s. 75.

Se også

Relatert artikkel

Sporform

Bibliografi

Pierre Samuel , algebraisk tallteori [ detalj av utgaven ]
Jean-Pierre Serre , aritmetikkurs ,1970[ detalj av utgaver ]

Ekstern lenke

Bas Edixhoven og Laurent Moret-Bailly , algebraisk tallteori, masterkurs i matematikk , Universitetet i Rennes 1 ,2004( les online )