Pfaffien
I matematikk er Pfaffian , eller Pfaffian determinant , som tar navnet sitt fra den tyske matematikeren Johann Pfaff , en skalar som er involvert i studiet av antisymmetriske matriser . Det uttrykkes på en polynomisk måte ved hjelp av koeffisientene til matrisen. Dette polynomet er null hvis matrisen har ulik størrelse; det er bare av interesse når det gjelder antisymmetriske matriser av størrelse 2 n × 2 n , graden er da n . Pfaffianen til en matrise A er betegnet .
Pf(PÅ){\ displaystyle \ mathrm {Pf} \ left (A \ right)}![{\ displaystyle \ mathrm {Pf} \ left (A \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9974eedb980b9a59328e44483555dc0a077c15b)
Pfaffian er relatert til determinanten . Faktisk kan determinanten for en slik matrise alltid uttrykkes som et perfekt kvadrat, og faktisk kvadratet til pfaffianen. For en antisymmetrisk matrise av størrelse 2 n × 2 n har vi
eksplisittPÅ{\ displaystyle A}![PÅ](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Pf(PÅ)2=det(PÅ){\ displaystyle {\ text {Pf}} (A) ^ {2} = {\ text {det}} (A)}
Historie
Begrepet "pfaffian" ble introdusert av Arthur Cayley , som brukte det i 1852: "Permutantene i denne klassen (ved deres forbindelse med Pfaffs forskning på differensiallikninger) vil jeg kalle dem pfaffians " . Den tyske matematikeren han refererer til er Johann Friedrich Pfaff .
Det var i 1882 at Thomas Muir beviste koblingen mellom pfaffian og determinanten til en antisymmetrisk matrise. Han publiserer dette resultatet i sin avhandling om determinanter.
Formell definisjon
La A = { a i, j } være en antisymmetrisk matrise på 2 n × 2 n . Pfaffian av A er definert av:
Pf(PÅ)=12ikkeikke!∑σ∈S2ikkesgikke(σ)∏Jeg=1ikkepåσ(2Jeg-1),σ(2Jeg){\ displaystyle \ mathrm {Pf} (A) = {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {2n}} \ mathrm {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (2i-1), \ sigma (2i)}}![{\ displaystyle \ mathrm {Pf} (A) = {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {2n}} \ mathrm {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (2i-1), \ sigma (2i)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83d5503f8937e6e41b1f1f0756208b7a26c0bdb)
hvor S 2 n er den symmetriske gruppen og sgn (σ) er signaturen til σ.
Forenkling
Denne definisjonen kan forenkles ved å bruke matrisens antisymmetri, som unngår å legge til alle mulige permutasjoner .
La Π være settet med alle partisjoner av {1, 2, ..., 2 n } i par, uavhengig av rekkefølge. Det er (2 n - 1) !! . Et element α ∈ Π kan skrives i form:
α={(Jeg1,j1),(Jeg2,j2),⋯,(Jegikke,jikke)}{\ displaystyle \ alpha = \ {(i_ {1}, j_ {1}), (i_ {2}, j_ {2}), \ cdots, (i_ {n}, j_ {n}) \}}![{\ displaystyle \ alpha = \ {(i_ {1}, j_ {1}), (i_ {2}, j_ {2}), \ cdots, (i_ {n}, j_ {n}) \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdb4ae94e0b2ab8adcf8d94a68e9a75b7123109)
med og . Er
Jegk<jk{\ displaystyle i_ {k} <j_ {k}}
Jeg1<Jeg2<⋯<Jegikke{\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {n}}![{\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf214eaba327d1f2268fe7f0c9b62d4d64433d1c)
πα=[1234⋯2ikkeJeg1j1Jeg2j2⋯jikke]{\ displaystyle \ pi _ {\ alpha} = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ cdots & 2n \\ i_ {1} & j_ {1} & i_ {2} & j_ {2} & \ cdots & j_ {n} \ end {bmatrix}}}![{\ displaystyle \ pi _ {\ alpha} = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ cdots & 2n \\ i_ {1} & j_ {1} & i_ {2} & j_ {2} & \ cdots & j_ {n} \ end {bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a15a204f870b6c139c7e96cdebed2bca0f8413)
den tilsvarende permutasjonen. π avhenger bare av α. Gitt en partisjon α, kan vi definere:
PÅα=sgn(πα)påJeg1,j1påJeg2,j2⋯påJegikke,jikke.{\ displaystyle A _ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} (\ pi _ {\ alpha}) a_ {i_ {1}, j_ {1}} a_ {i_ {2}, j_ {2}} \ cdots a_ {i_ {n}, j_ {n}}.}![{\ displaystyle A _ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} (\ pi _ {\ alpha}) a_ {i_ {1}, j_ {1}} a_ {i_ {2}, j_ {2}} \ cdots a_ {i_ {n}, j_ {n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d56d8d4c979a53bb4aa8a96f210d3e0dd4686b7)
Pfaffianen til A er da:
Pf(PÅ)=∑α∈ΠPÅα.{\ displaystyle \ operatorname {Pf} (A) = \ sum _ {\ alpha \ in \ Pi} A _ {\ alpha}.}![{\ displaystyle \ operatorname {Pf} (A) = \ sum _ {\ alpha \ in \ Pi} A _ {\ alpha}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3750beee9dca3b110da58af8082a33278f12aada)
Pfaffianen til en antisymmetrisk matrise n × n for odd n er definert som null.
Alternativ definisjon
Vi kan assosiere, med hvilken som helst antisymmetrisk matrise 2 n × 2 n A = { a ij }, en bivektor :
ω=∑Jeg<jpåJegjeJeg∧ej.{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i <j} a_ {ij} \; e ^ {i} \ wedge e ^ {j}.}![{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i <j} a_ {ij} \; e ^ {i} \ wedge e ^ {j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5365c7cfcdf5b73e9bbd2a509ff34ac3d45b964e)
hvor { e 1 , e 2 , ..., e 2 n } er den kanoniske grunnlag av R 2n . Pfaffien defineres deretter av forholdet:
1ikke!ωikke=Pf(PÅ)e1∧e2∧⋯∧e2ikke,{\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ omega ^ {n} = {\ mbox {Pf}} (A) \; e ^ {1} \ wedge e ^ {2} \ wedge \ cdots \ kile e ^ {2n},}![{\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ omega ^ {n} = {\ mbox {Pf}} (A) \; e ^ {1} \ wedge e ^ {2} \ wedge \ cdots \ kile e ^ {2n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a096e6760afb97191693831d5f598701efa925d)
Her betegner ω n det ytre produktet av n eksemplarer av ω med seg selv. Den pfaffian synes derfor som koeffisienter for kollinearitet mellom ω n og volumet formen av R 2n .
Eksempler
Pf(0på-på0)=på.{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a \\ - a & 0 \ end {pmatrix}} = a.}
Pf(0påbvs.-på0de-b-d0f-vs.-e-f0)=påf-be+dvs..{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a & b & c \\ - a & 0 & d & e \\ - b & -d & 0 & f \\ - c & - e & -f & 0 \ end {pmatrix}} = af-be + likestr.}![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a & b & c \\ - a & 0 & d & e \\ - b & -d & 0 & f \\ - c & - e & -f & 0 \ end {pmatrix}} = af-be + likestr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9644e028073a2e9402ef570a0eeeb92580ea96e9)
Pf(0på100-på10b100-b10på200-på2⋱⋱⋱⋱bikke-1-bikke-10påikke-påikke0)=på1på2⋯påikke.{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a_ {1} & 0 & 0 \\ - a_ {1} & 0 & b_ {1} & 0 \\ 0 & -b_ {1 } & 0 & a_ {2} \\ 0 & 0 & -a_ {2} & \ ddots & \ ddots \\ &&& \ ddots & \ ddots & b_ {n-1} \\ &&&& - b_ {n-1} & 0 & a_ {n} \\ &&&&& - a_ {n} & 0 \ end {pmatrix}} = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}.}![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a_ {1} & 0 & 0 \\ - a_ {1} & 0 & b_ {1} & 0 \\ 0 & -b_ {1 } & 0 & a_ {2} \\ 0 & 0 & -a_ {2} & \ ddots & \ ddots \\ &&& \ ddots & \ ddots & b_ {n-1} \\ &&&& - b_ {n-1} & 0 & a_ {n} \\ &&&&& - a_ {n} & 0 \ end {pmatrix}} = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80029b882817e5c4392b1375be536eed6f5bbc9)
Bemerkelsesverdige identiteter
Generelle identiteter
For en 2 n × 2 n antisymmetrisk matrise A og en vilkårlig 2 n × 2 n matrise , betegnet med B ,
-
Pf(PÅ)2=det(PÅ){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A) ^ {2} = \ det (A)}
( Muirs lemma )
- Pf(BPÅBT)=det(B)Pf(PÅ){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (BAB ^ {T}) = \ det (B) {\ mbox {Pf}} (A)}
![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (BAB ^ {T}) = \ det (B) {\ mbox {Pf}} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c776dd5c6dbc7e9e9dcb312275a822f693bfe7)
- Pf(λPÅ)=λikkePf(PÅ){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (\ lambda A) = \ lambda ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}
![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (\ lambda A) = \ lambda ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86c3b719c8211ee11e3a6e5c224d1a14fcd74c3)
- Pf(PÅT)=(-1)ikkePf(PÅ){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A ^ {T}) = (- 1) ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}
![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A ^ {T}) = (- 1) ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ad6f808c23b583847b62bb6f8da0b7dcba8abb)
Diagonale matriser per blokk
Pfaffian av en diagonal antisymmetrisk matrise ved blokker av skjemaet
PÅ1⊕PÅ2=(PÅ100PÅ2){\ displaystyle A_ {1} \ oplus A_ {2} = {\ begin {pmatrix} A_ {1} & 0 \\ 0 & A_ {2} \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle A_ {1} \ oplus A_ {2} = {\ begin {pmatrix} A_ {1} & 0 \\ 0 & A_ {2} \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda2051620c8bdbbc458b8f8d63feb88828e0918)
er produktet av blokkene
Pf(PÅ1⊕PÅ2)=Pf(PÅ1)Pf(PÅ2){\ displaystyle {\ text {Pf}} (A_ {1} \ oplus A_ {2}) = {\ text {Pf}} (A_ {1}) \, {\ text {Pf}} (A_ {2} )}![{\ displaystyle {\ text {Pf}} (A_ {1} \ oplus A_ {2}) = {\ text {Pf}} (A_ {1}) \, {\ text {Pf}} (A_ {2} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227e8a5ec0dd81f6f738565af730ea2b2469eb3f)
.
Dette generaliserer ved gjentakelse til mer enn to blokker.
Enhver kvadratmatrise
Pf(0M-MT0)=(-1)ikke(ikke-1)/2detM{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & M \\ - M ^ {T} & 0 \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2 } \ det M}![{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & M \\ - M ^ {T} & 0 \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2 } \ det M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab5a3c305f76d9d574cc0e94e7165d639f8f667)
.
applikasjoner
Referanser
(
fr ) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på
engelsk med tittelen
" Pfaffian " ( se listen over forfattere ) .
-
(in) Thomas Muir, A Treatise on Theory of Determinants , utgitt og utvidet i 1930.
-
(i) Nicol Schraudolph og Dmitry Kamenetsky , "Effektiv eksakt inferens i plane Ising-modeller" i Advances in Conference on Neural Information Processing Systems , vol. 21 , MIT Press ,2009( les online ).
Se også
Relaterte artikler
Eksterne linker
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">