Begrens problemet

I analysen består et problem med grensene av en differensialligning (eller mer generelt med delvis derivater ) hvor man søker en løsning som tar flere verdier som er pålagt i grensene for oppløsningsfeltet. I motsetning til det analoge Cauchy- problemet , hvor en eller flere forhold på samme sted er pålagt (vanligvis verdien av løsningen og dens suksessive derivater på et punkt), som Cauchy-Lipschitz-teoremet gir et generelt svar, er problemene på grensene er ofte vanskelige problemer, og løsningen som hver gang kan føre til forskjellige hensyn.

Innenfor rammen av differensiallikninger studeres en klassisk familie av grenseproblemer innenfor rammen av Sturm-Liouville-teorien .

Eksempler

Når det gjelder delvise differensiallikninger, faller mange problemer både innenfor rammen av Cauchy-problemer fra en variabels synspunkt, innenfor rammen av grenseproblemer med hensyn til en annen variabel. For eksempel :

den ligningen for en vibrerende streng , av formen , hvor t er en tidsvariabel, x betegner abscissen til punkter på strengen, og y deres ordinaten hvis variasjon vi ser etter som en funksjon av x og t , er ledsaget av en starttilstand gitt av y ( x , t = 0) = f ( x ) og av en randtilstand, stabiliteten til de to ekstreme punktene i akkorden, gitt av y ( a , t ) = y ( b , t ) = 0 hvis definisjonsdomenet er intervallet [ a , b ]; ${\ displaystyle {\ partial ^ {2} y \ over \ partial x ^ {2}} = {1 \ over v ^ {2}} {\ partial ^ {2} y \ over \ partial t ^ {2}} }$
den varme ligning av formen , hvor t er en tidsvariabel, x en virkelig parameter for en bar i som er ansett som en varmediffusjon, og T varmen i denne bar, avhengig av t og x , S 'ledsages av en startbetingelse videre varmen i stangen av formen T ( x , 0) = f ( x ), og ved en randtilstand som kan ta flere former, den enkleste er å ta i betraktning at endene på stangen holdes på konstant temperatur, noe som pålegger en tilstand av typen T ( a , t ) = T ( b , t ) = 0 hvis definisjonsdomenet er intervallet [ a , b ]. ${\ displaystyle {\ partial T (x, t) \ over \ partial t} = {\ frac {\ partial ^ {2} T (x, t)} {\ partial x ^ {2}}}}$

Likheten mellom grenseforholdene til disse to problemene bør ikke føre til å assimilere dem, de delvise differensialligningene som styrer dem faller i to ganske forskjellige kategorier: den ene er en hyperbollig ligning , den andre en parabolisk ligning .

Enkelt eksempel

Et første eksempel på et grenseproblem er andre ordens differensialligning

{\ displaystyle \ forall x \ i [0, \ pi / 2], \ y '' (x) + y (x) = 0}

som man ikke har innledende betingelser for, men verdier i kantene av definisjonsintervallet:

{\ displaystyle y (0) = 0, \ y (\ pi / 2) = 2.}

Å løse differensiallikningen fører til å lete etter en løsning av skjemaet

{\ displaystyle y (x) = A \ sin (x) + B \ cos (x).}

der $A$ og $B$ er to reelle tall som skal bestemmes. Ved å bruke de to forholdene på kantene, har vi

{\ displaystyle y (0) = 0 = A \ cdot 0 + B \ cdot 1, \ y (\ pi / 2) = 2 = A \ cdot 1 + B \ cdot 0}

Vi har altså $A = 2$ , $B = 0$ . Løsningen er unikt veldefinert og er verdt:

{\ displaystyle y (x) = 2 \ sin (x).}

Typer av kantforhold

Det er flere typer grensebetingelser som gjør det mulig å utgjøre et differensialproblem:

grensebetingelse for Dirichlet : pålegge verdien av løsningen i kantene av feltet
Neumann-grensebetingelse : pålegge verdien av oppløsningsderivatet ved kantene av feltet
Robin-grensebetingelse : pålegge verdien av løsningen ved kantene av domenet som en førsteordens differensialligning
blandet randtilstand : pålegge flere typer på forskjellige underdeler av kanten
Cauchy-grensebetingelse : pålegge en dobbel Dirichlet / Neumann-tilstand

Se også

Off-by-one feil, ("unit shift error"), en logisk feil som involverer den diskrete ekvivalenten til et grenseproblem.
Greens funksjon
Sturm-Liouville teori