Forhåndsbestille

I matematikk er en forhåndsbestilling en refleksiv og transitiv binær relasjon .

Det vil si at hvis $E$ er et sett , er en binær relasjon på $E$ en forhåndsbestilling når: ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle \ forall x \ i E \ quad x {\ mathcal {R}} x}$ (refleksivitet);
${\ displaystyle \ forall (x, y, z) \ i E ^ {3}, (x {\ mathcal {R}} y \ land y {\ mathcal {R}} z) \ Rightarrow x {\ mathcal {R }} z}$ (transitivitet).

Eksempler

De ordrene er antisymmetriske forhåndsbestillinger .
De Ekvivalensrelasjon er symmetriske forhåndsbestillinger .
I en kommutativ ring er " del " -relasjonen en forhåndsbestillingsrelasjon. Generelt er det ikke en rekkefølge fordi det ikke er antisymmetrisk (for eksempel i settet med relative heltall, deler 1 –1 og –1 deler 1 mens 1 og –1 er forskjellige).
På hjørnene i en rettet graf er forholdet "å være tilgjengelig fra" en forhåndsbestilling (det er faktisk den refleksive og transitive lukkingen av grafen). Hvis grafen er sykløs , blir denne relasjonen en ordre.
Mellom normer på samme virkelige vektorrom er forholdet " finere enn " en forhåndsbestilling.
Mellom virkelige funksjoner til en reell variabel er dominans en forhåndsbestilling.
På settet med platene er forholdet "har et område som er høyest lik det" en forhåndsbestilling. Det er ikke en ordrerelasjon fordi det ikke er antisymmetrisk (to forskjellige disker kan ha samme område). Den samme forholdet, på settet med lukkede plater (eller det med åpne plater) med fast senter, er en ordreforhold.

Komplement

Hvis $( E , ℛ)$ og $( F , ?)$ er to forhåndsbestilte sett, sies et kart $f$ fra $E$ til $F$ å øke hvis $x ℛ y \Rightarrow f ( x ) ? f ( y )$ .

Hvis $E$ er et sett, $( F , ?)$ et forhåndsbestilt sett og $f$ en kartlegging fra $E$ til $F$ , er forholdet $ℛ$ definert av $x ℛ y \Leftrightarrow f ( x ) ? f ( y )$ en forhåndsbestilling på $E$ (jf. Siste eksempelet ovenfor , der $f$ , som til en hvilken som helst sirkel knytter sitt område, har verdier i et ordnet sett: realene - eller de positive realene ).

Hvis $( E , ℛ)$ er et forhåndsbestilt sett, så:

forholdet “ $x ℛ y og ikke y ℛ x$ ” er en streng rekkefølge ;
forholdet ~ definert av " $x ~ y hvis og bare hvis ( x ℛ y og y ℛ x )$ " er en ekvivalensrelasjon;
for to elementer X og Y i kvotienten av E ved ~ , kommer de to følgende forholdene tilbake til det samme:
- for ethvert element $x$ av $X$ og ethvert element $y$ av $Y$ , $x ℛ y$ ,
- det er et element $x$ av $X$ og et element $y$ av $Y$ slik at $x ℛ y$ .
  Vi kan da definere en ordrerelasjon på dette kvotient-settet $E / ~$ ved å sette: $X \leq Y$ hvis en av de foregående betingelsene er oppfylt;
- hvis $F$ er en delmengde av $E som$ inneholder nøyaktig en representant for hver ekvivalensklasse , er begrensningen $?$ fra $ℛ$ til $F$ en rekkefølge og $( F , ?)$ er isomorf til $( E / ~, \leq)$ (jf. siste eksempel nedenfor ovenfor ) .

Merknader og referanser

N. Bourbaki , Elementer av matematikk : Mengdelære [ detalj utgaver ], Paris, Masson, 1998, kap. III, § 1, nr . 2, s. 2 og 5 , skrevet "forhåndsbestilling" og "forhåndsbestilt".
Paul Ruff, "Order relationship" Faktaark til høyskoleprofessorer , nr . 15, 4. januar 1963.
Bourbaki 1998 , kap. III, § 1, nr . 5, s. 7 .
Antoine Rolland, Ordinære preferanseaggregeringsprosedyrer med referansepunkter for beslutningsstøtte , doktoravhandling i informatikk, Pierre-et-Marie-Curie University , 2008.
Bourbaki 1998 , kap. III, § 1, nr . 2, s. 3 .

Relatert artikkel

Transitiv refleksiv lukking