Smash-produkt

I matematikk og mer presist i algebraisk topologi er knuseproduktet X ∧ Y av to prikkete topologiske mellomrom ( X , x 0 ) og ( Y , y 0 ) kvotienten til produktet X × Y ved identifikasjonene ( x , y 0 ) ~ ( x 0 , y ) for alle x ∈ X og alle y ∈ Y . Dette rommet avhenger av pekingen (bortsett fra hvis X og Y er homogene ).

X- og Y- rommene er nedsenket i X × Y ved identifikasjon med underområdene X × { y 0 } og { x 0 } × Y , som krysser på et enkelt punkt: ( x 0 , y 0 ), punktbasen X × Y . Foreningen av disse to underområdene er derfor homomorf til kilen X ∨ Y , noe som gjør det mulig å skrive smash-produktet som følgende kvotient:

X \ kil Y = (X \ ganger Y) / (X \ vee Y).

Smash-produktet har viktige anvendelser innen homotopiteori , hvor man ofte arbeider med underkategorier av kategorien topologiske rom , noe som fører til litt modifisering av definisjonen. For eksempel i underkategorien CW-komplekser erstatter vi, i definisjonen, produktet av topologiske rom med produktet av CW-komplekser.

Eksempler

Smash-produktet fra ethvert rom pekt på X med en n- sfære er homomorf til den reduserte suspensjonen av X iterert n ganger:

X \ wedge S ^ {n} = \ Sigma ^ {n} X.

For eksempel: X ∧ S 0 = X , X ∧ S 1 = Σ X og S m ∧ S n = Σ n S m = S m + n , spesielt S 1 ∧ S 1 = Σ S 1 = S 2 er en kvotient av torus T 2 .

Tolkning som et symmetrisk monoidalt produkt

For alle mellomrom som er pekt på X , Y og Z i en "passende" underkategori, som for kompakt genererte rom , har vi naturlige homeomorfier (bevare basispunktet):

X \ wedge Y \ simeq Y \ wedge X \ quad {\ text {and}} \ quad (X \ wedge Y) \ wedge Z \ simeq X \ wedge (Y \ wedge Z),

som gjør en slik underkategori til en symmetrisk monoid kategori , med smash-produktet som det monoide produktet og den spisse 0-sfæren (det to-elementers diskrete rommet ) som enhetsobjektet .

Den naive kategorien av spisse rom, som ikke er lukket kartesisk , er ikke monoid: (ℚ∧ℚ) ∧ℕ ≄ ℚ∧ (ℚ∧ℕ).

Tilleggssituasjon

Smash-produktet spiller, i kategorien prikkede rom, den samme rollen som tensorproduktet i kategorien moduli på en kommutativ ring . Særlig hvis A er lokalt kompakt , den funktor (-∧ A ) er medhjelper til venstre av den funktor Hom ( A , -):

{\ mathrm {Hom}} (X \ wedge A, Y) \ simeq {\ mathrm {Hom}} (X, {\ mathrm {Hom}} (A, Y)),

hvor Hom ( A , Y ) er morfismene i spisse rom, utstyrt med den kompakt-åpne topologien .

Ved å ta den enhetssirkelen S 1 for A , får vi at den reduserte suspensjon funktor Σ er supplement til venstre for plass-plass funktor Ω:

{\ mathrm {Hom}} (\ Sigma X, Y) \ cong {\ mathrm {Hom}} (X, \ Omega Y).

Merknader og referanser

(in) I situasjoner kan qui Se at ett topologiske rom er dårlig oppført fra synspunktet homotopisk? , på MathOverflow
(de) Dieter Puppe , “ Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen. Jeg ” , matematikk. Z. , vol. 69,1958, s. 299-344 ( les online ), s. 336

(no) Allen Hatcher , algebraisk topologi , New York, CUP ,2001, 544 s. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , les online )

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Smash product " ( se listen over forfattere ) .

Relaterte artikler