En geometrisk symmetri er en involverende geometrisk transformasjon som bevarer parallellitet. Vanlige symmetrier inkluderer refleksjon og sentral symmetri .
Geometrisk symmetri er et spesielt tilfelle av symmetri . Det er flere typer symmetrier i flyet eller i rommet.
Merk : Begrepet symmetri har også en annen betydning i matematikk. I uttrykket symmetri gruppe , betegner en symmetri enhver isometri . Dette begrepet betegner enten en oversettelse , eller en ortogonal automorfisme , eller kombinasjonen av begge.
Den symmetri av sentrum O er transformasjonen som, ved et hvilket som helst punkt M, forbinder punktet M 'slik at O er midtpunktet av [MM'].
Konstruksjon: Tegn linjen (d) som går gjennom A og O. Forleng den utover O. Med et kompass pekt på O og en avstand lik OA, kutt (d) ved A '.
Det eneste invariante punktet i denne symmetrien er punktet O.
En symmetri med sentrum O er også en rotasjon med en flat vinkel og en homøthet med sentrum O og forholdet -1
Senter for symmetriEn figur har et sentrum for symmetri C hvis det er uforanderlig av symmetrien til sentrum C.
Eksempler på symmetri sentrum:
Forbindelsen med to symmetrier med sentrene O og O 's O' os O er en vektor oversettelse
Denne egenskapen gjør det mulig å definere en første gruppe av transformasjoner av planet: at av de sentrale symmetrier-oversettelser. Faktisk, ved å komponere to sentrale symmetrier eller oversettelser, får man en sentral symmetri eller en oversettelse. Og for å oppnå det samme kartet er det tilstrekkelig å komponere en oversettelse av vektor u ved oversettelse av vektor - u , eller å komponere en sentral symmetri av seg selv.
Den sentrale symmetrien bevarer avstandene og de orienterte vinklene. Det er derfor en positiv isometri eller forskyvning . Gruppen som er definert tidligere er derfor en undergruppe av fortrengningsgruppen.
Disse kalles også ( d ) akse refleksjoner . Den refleksjon av aksen ( d ) er transformasjonen av det plan som etterlater alle punktene ( d ) invariant og som ved et hvilket som helst punkt M ikke er plassert på ( d ), forbinder punktet M 'slik at ( d ) er den perpendikulære tverrsnitt av [MM ']. Ettersom det er to ekvivalente definisjoner av den vinkelrette halveringen, kjenner vi altså to ekvivalente konstruksjoner av punktet M '.
KonstruksjonData: symmetriaksen ( D ), idet punktet A .
Mål: å konstruere A 'symmetrisk av A ved den ortogonale symmetrien til akse ( d ).
En figur har en symmetriakse ( d ) hvis og bare hvis den er uforanderlig av refleksjonen av aksen ( d )
Eksempler på vanlige figurer:
En figur med to vinkelrette symmetriakser har for symmetri sentrum skjæringspunktet mellom de to linjene. For eksempel har bokstavene H, I, O, X i enkle skrifter (ikke-kursiv og ikke kursiv) ofte to vinkelrette symmetriakser, så også et symmetrisenter, på samme måte rektangelet, romben og firkanten.
Refleksjon og gruppe isometrierRefleksjon bevarer avstander og vinkler. Det er derfor en isometri . Men det holder ikke orienteringen (se chiralitet ). De sier det er en antiflacement.
Sammensetningen av to refleksjoner av parallelle akser er en oversettelse, med en avstand lik dobbelt avstanden mellom disse aksene. På bildet motsatt tillater medievektoregenskapene til media oss å si det |
|
Sammensetningen av to refleksjoner av sekantakser er en rotasjon , med vinkel lik dobbelt av vinkelen dannet mellom de to aksene. På bildet motsatt tillater egenskapene på halveringslinjene oss å si det |
Vi merker da at refleksjonssettet genererer hele settet med isometrier.
Symmetrien med hensyn til en linje ( d ) som følger en retning (d ') (ikke parallell med ( d )) er transformasjonen som etterlater alle punktene til ( d ) invariante og som til enhver tid M ikke befinner seg på ( d ) ) knytte punktet M ' slik at linjen (MM') er parallell med (d ') og midtpunktet til [MM'] er på ( d )
Dette symmetri er involutiv: symmetrisk av M ' er M . Det gir mindre interesse enn sine fettere fordi det ikke holder avstand: det forvrenger tall. Imidlertid beholder den barycenters og er derfor en del av de affine transformasjonene.
Vi finner den samme definisjonen og de samme egenskapene som for den sentrale symmetrien i planet, bortsett fra at en sentral symmetri ikke bevarer orienteringen i rommet.
Mannen løfter høyre hånd og hans bilde løfter venstre hånd.
Vi finner den samme definisjonen som i planen. En ortogonal symmetri i forhold til en linje er også en rotasjon av akse ( d ) og av flat vinkel.
I motsetning til hva som skjer i flyet, opprettholder slik symmetri i rommet orientering.
Mannen løfter høyre hånd og hans bilde løfter høyre hånd.
Den ortogonale symmetrien i forhold til planet ( P ) er transformasjonen som etterlater alle punktene til ( P ) invariant, og som til enhver tid M ikke befinner seg på ( P ), forbinder punktet M ' slik at ( P ) er flyformidler av [MM ']
Slik symmetri bevarer avstander og vinkler, men bevarer ikke orientering.
For eksempel når du løfter høyre hånd foran speilet ditt, løfter bildet ditt venstre hånd.
Vi beviser at settet med symmetrier i forhold til fly genererer ved sammensetning hele settet av romisometrier.
Man kan like godt definere symmetriene til aksen ( d ) i henhold til retningen ( P ) eller symmetriene i forhold til ( P ) i henhold til retningen ( d ), forutsatt at et underområde som er lik eller parallelt med ( P ) ikke helt inneholder ( d ) heller ikke er helt inneholdt i ( d ) og krysset deres reduseres til et enkelt punkt (ellers er disse transformasjonene ikke symmetrier, men projeksjoner ).
Men disse transformasjonene er ikke isometrier hvis ( d ) og ( P ) ikke er ortogonale. Disse transformasjonene (så vel som projeksjonene) holder imidlertid barycenters og er spesielle tilfeller av affine transformasjoner av rommet.