Stein-Weierstrass-teorem
I matematikk er Stone-Weierstrass-teoremet en generalisering av Weierstrass-tilnærmingsteoremet i reell analyse , ifølge hvilken enhver kontinuerlig funksjon som er definert på et segment, kan tilnærmes ensartet av polynomfunksjoner .
Generaliseringen av Marshall Stone utvider dette resultatet til kontinuerlige funksjoner definert i et kompakt rom og med reelle verdier , og erstatter algebra av polynomfunksjoner med en subalgebra eller et gitter som tilfredsstiller naturlige hypoteser.
Weierstrass tilnærmingsteori
La f være en kontinuerlig funksjon fra [ a , b ] til ℝ.
For alle ε> 0 eksisterer det en polynomfunksjon p med reelle koeffisienter slik at for alle x i [ a , b ], | f ( x ) - p ( x ) | ≤ ε.
eller:
Det foreligger en sekvens ( P n ) med polynomer som konvergerer jevnt til f på [ en , b ].
Sett C ([ a , b ]) av funksjoner med reelle og kontinuerlige verdier på [ a , b ], utstyrt med den uendelige normen
‖f‖=supx∈[på,b]|f(x)|{\ displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ in [a, b]} | f (x) |}
,
er en Banach-algebra ( dvs. en assosiativ ℝ-algebra og et Banach-rom slik at for alle f og g ). Settet med polynomfunksjoner danner en subalgebra av C ([ a , b ]) og Weierstrass tilnærmingssetningen hevder at denne subalgebraen er tett i C ([ a , b ]).
‖f⋅g‖≤‖f‖⋅‖g‖{\ displaystyle \ | f \ cdot g \ | \ leq \ | f \ | \ cdot \ | g \ |}![{\ displaystyle \ | f \ cdot g \ | \ leq \ | f \ | \ cdot \ | g \ |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9afe2491eb4a0e5fe776d768ae127929358fe47)
Teoremet for ethvert a , b tilsvarer det for a , b fast (med a < b ).
Anta at teoremet er sant for enhver kontinuerlig funksjon på et fast segment [ c , d ] (med c < d ), og viser at det fortsatt er sant for en kontinuerlig funksjon f på et annet segment [ a , b ] (med a < b ). For dette, la oss velge et polynom homeomorfi Φ: [ en , b ] → [ c , d ] - for eksempel den affine Bijeksjon x ↦ c + ( x - a ) ( d - c ) / ( b - a ) - og la g betegne funksjonen f ∘ Φ −1 , som på [ c , d ] er kontinuerlig derfor (av hypotese) ensartet grense for en sekvens av polynomer g n . La f n : = g n ∘ Φ. Det er igjen en polynomfunksjon, denne gangen definert på [ a , b ] og (siden Φ er en sammenheng fra [ a , b ] på [ c , d ]) ║ f - f n ║ = ║ ( g - g n ) ∘ Φ║ = ║ g - g n ║ → 0.
Nedenfor et eksempel på en sekvens av polynomer som konvergerer til absoluttverdifunksjonen over intervallet [–1, 1].
Andre versjoner og generaliseringer
Trigonometrisk versjon
For enhver periodisk kontinuerlig funksjon f eksisterer det en sekvens av trigonometriske polynomer som konvergerer jevnt til f .
Avledet fra teorien om Fourier-serien , gir Fejers teorem et konstruktivt eksempel på en slik sekvens.
Lov om store tall
S. Bernstein ga et konstruktivt og sannsynlig bevis på Weierstrass teorem den [0, 1], ved å bevise at vi kunne ta:
Pikke(x)=∑k=0ikkef(kikke)Bkikke(x){\ displaystyle P_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} f \ left ({\ frac {k} {n}} \ right) B_ {k} ^ {n} (x )}![P_ {n} (x) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} f \ left ({\ frac kn} \ right) B_ {k} ^ {n} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560f7fd0720f25f919315cf76706727505745497)
hvor er Bernstein-polynomene .
Bkikke(x)=(ikkek)xk(1-x)ikke-k{\ displaystyle B_ {k} ^ {n} (x) = {n \ velg k} x ^ {k} (1-x) ^ {nk}}![B_ {k} ^ {n} (x) = {n \ velg k} x ^ {k} (1-x) ^ {{nk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a457ab312f151d324682fca4aa915ecdb7da35d)
Faktisk, hvis X er en tilfeldig variabel som følger den binomiale fordelingen av parametere ( n , x ), så er P n ( x ) forventningen om f ( X / n ), dvs. gjennomsnittet av f brukt på antall suksesser av n uavhengige eksperimenter med sannsynlighet x . Den enkle konvergensen av P n ( x ) til f ( x ) for alle x er en konsekvens av den svake loven til store tall . Ved å øke sannsynligheten for forskjellen mellom X / n og x , trekker vi den ensartede konvergensen av P n mot f .
Stone-Weierstrass-teorem, algebraisk versjon
Tilnærmingssatsen generaliserer i to retninger:
- Den kompakte intervallet [ en , b ] kan erstattes av et kompakt plass X .
- Algebra for polynomfunksjoner kan erstattes av en annen subalgebra A av C ( X ) forutsatt at den tilfredsstiller en avgjørende egenskap som er å skille punktene (in) (en delmengde A av C ( X ) skiller punktene hvis for noe par { x , y } av punktene i X , det finnes en funksjon p av A slik at p ( x ) ≠ p ( y )).
I dette rammeverket er setningen skrevet:
Teorem - La X være et kompakt rom og C ( X ) Banach-algebra av kontinuerlige funksjoner fra X til ℝ. En subalgebra er tett i C ( X ) hvis (og bare hvis) den skiller punktene og inneholder, for ethvert punkt x av X , en funksjon som ikke forsvinner ved x .
Siden polynomene på [ a , b ] danner en enhetlig subalgebra av C ([ a , b ]) som skiller punktene, er Weierstrass teorem en konsekvens av ovenstående setning.
Feltet med reelle tall kan erstattes av komplekset , forutsatt at A er stabil ved konjugasjon .
Denne teoremet er utledet fra Stone-Weierstrass-teoremet "gitterversjon" (nedenfor) og fra de to følgende lemmene.
Lemma 1 - For ethvert reelt a > 0 eksisterer det en sekvens av polynomer som konvergerer jevnt på [- a , a ] mot funksjonen x ↦ | x |.
Lemma 2 - Enhver lukket subalgebra av C ( X ) er et gitter.
Bevis på de to lemmaene
-
Lemma 1 . Ved homotitet er det tilstrekkelig å tilnærme funksjonen absolutt verdi på [–1, 1] av polynomer. For det skriver vi | x | = √ 1 - (1 - x 2 ) og vi bruker at Taylor-rekken av funksjonen h ↦ √ 1 - h er normalt konvergente på [0, 1].
-
Lemma 2 . La L være denne subalgebraen. I kraft av forholdmaks(g,h)=g+h2+|g-h|2 og min(g,h)=g+h2-|g-h|2,{\ displaystyle \ max (g, h) = {\ frac {g + h} {2}} + {\ frac {| gh |} {2}} {\ text {and}} \ min (g, h) = {\ frac {g + h} {2}} - {\ frac {| gh |} {2}},}
det er tilstrekkelig å bevise at hvis f ∈ L da | f | ∈ L . Tarpå=maksx∈X|f(x)|,{\ displaystyle a = \ max _ {x \ i X} \ venstre | f (x) \ høyre |,}
som eksisterer ved kontinuitet og kompakthet, finner vi ved Lemma 1 en sekvens av polynomer ( P n ) som konvergerer jevnt på [- en , en ] mot absoluttverdifunksjonen. Selv om det betyr å subtrahere fra hver av disse polynomer sin konstantleddet, kan vi anta at de er mer lik null ved 0 P n ( f ) og deretter danne en sekvens av funksjonene fra L , som konvergerer jevnt på X mot | f |.
Reduksjon av teoremet til
"gitterversjonen"
La L den adhesjon av under algebra A .
- Ved kontinuitet av multiplikasjon, addisjon og produkt med en skalar, er L en subalgebra.
- Av Lemma 2 er det et gitter.
- La oss vise at hypotesen om Stone-Weierstrass-teoremet "gitterversjon" er bekreftet. La x være to forskjellige punkter x og y på X og to reelle tall a og b . Fras,q,r∈PÅ som s(x)≠s(y),q(x)≠0,r(y)≠0,{\ displaystyle p, q, r \ i A {\ text {slik at}} p (x) \ neq p (y), q (x) \ neq 0, r (y) \ neq 0,}
vi bygger førstg∈PÅ som for eksempel g(x)≠g(y),g(x)≠0,g(y)≠0,{\ displaystyle g \ i A {\ text {slik at}} g (x) \ neq g (y), g (x) \ neq 0, g (y) \ neq 0,}
ved å sette g = p + uq + vr for realitetene u og v passende valgt. Det er da reelle tall α og β slik at funksjonenf=αg+βg2{\ displaystyle f = \ alpha g + \ beta g ^ {2}}
(som tilhører A derfor til L ) tilfredsstiller f ( x ) = a og f ( y ) = b .
Det følger at L er tett i C ( X ) derfor lik C ( X ), det vil si at A er tett i C ( X ).
Hele funksjonene
I 1885 hadde Weierstrass også demonstrert en analog setning for heltalsfunksjoner ( holomorfe funksjoner i hele det komplekse planet), som Torsten Carleman (en) generaliserte i 1927, ved å vise at en kontinuerlig funksjon på R er en ensartet grense (på R ) av en sekvens av heltalsfunksjoner. Etter en kommentar fra Marcel Brelot viste Wilfred Kaplan (en) at Carlemans bevis til og med ga følgende resultat:
Carlemans teorem - La være en kontinuerlig funksjon. For hver kontinuerlig funksjon , er det en hel funksjon slik at: .
Q:R→VS{\ displaystyle Q: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}
E:R→]0,+∞[{\ displaystyle E: \ mathbb {R} \ til \ venstre] 0, + \ infty \ høyre [}
f{\ displaystyle f}
∀x∈R|f(x)-Q(x)|<E(x){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad | f (x) -Q (x) | <E (x)}![{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad | f (x) -Q (x) | <E (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a1719641469fa0ced8f2336b8ea508d5904fc75)
applikasjoner
Stone-Weierstrass-teoremet lar oss bevise følgende fire proposisjoner:
- hvis f er en kontinuerlig funksjon med reelle verdier definert på blokken [ a , b ] × [ c , d ] og hvis ε er virkelig streng, eksisterer det en polynomfunksjon p med to variabler slik at for alle x i [ a , b ] og y i [ c , d ], | f ( x , y ) - p ( x , y ) | <ε.
- hvis X og Y er to kompakte mellomrom, og hvis f : X × Y → ℝ er en kontinuerlig funksjon, eksisterer det for alle ε> 0 n > 0 og kontinuerlige funksjoner f 1 , f 2 ,…, f n på X og g 1 , g 2 ,…, g n på Y slik at ║ f - ∑ f i g i ║ <ε
- Et avgrenset mål på [ a , b ] der alle øyeblikk er null er null ( jf. Momentproblem ). For eksempel hvis en integrerbar funksjon f av [0, 1] i ℝ er slik at∀s∈IKKE, ∫01tsf(t) dt=0,{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N}, ~ \ int _ {0} ^ {1} t ^ {p} f (t) ~ \ mathrm {d} t = 0,}
da er f null nesten overalt (derfor overalt hvis det er kontinuerlig ).
- Hvis X er et kompakt ( derfor separerbart ) metrisk område, kan Banach-algebra C ( X ) skilles . Det er tilstrekkelig å velge X en tett tellbar del Y , definere på X , for ethvert element y av Y , en funksjon f y med f y ( x ) = d ( x , y ), og ta for A la Uniferous sub -ℝ-algebra av C ( X ) generert av disse f y : siden A er tett i C ( X ) i henhold til teoremet, er den ensformige sub-algebra generert av disse samme f y (tellbar og tett i A ) tett i C ( X ).
- Hvis f er en kontinuerlig funksjon på [ a ; b ] da innrømmer f et antiderivativt på dette segmentet. Dette beviset gir eksistensen av en primitiv uten å involvere en forestilling om integral.
Noen gyldige resultater for kontinuerlige funksjoner kan reduseres til tilfeller av uendelig differensierbare funksjoner ved bruk av Stone-Weierstrass-teoremet. Slik skaffer vi oss et bevis på Brouwers faste punktesetning ved bruk av Stokes teorem .
Stone-Weierstrass-teorem, gitterversjon
La X være et kompakt rom. En undergruppe L av C ( x ) blir kalt et gitter av C ( X ) der for hvilke som helst to elementer som f , g av L , maks funksjoner ( f , g ) og min ( f , g ) også hører til L . Gitterversjonen av Stone-Weierstrass-setningen sier at:
Theorem - hvis X er en kompakt plass med minst to punkter, og hvis L er et gitter av C ( X ) slik at, for alle distinkte punkter x og y fra X og alle Real en og b , L inneholder en funksjon f som tilfredsstiller f ( x ) = a og f ( y ) = b , så er L tett i C ( X ).
Denne mer generelle versjonen følger umiddelbart av følgende lemma.
Lemma 3 - La L være et gitter av C ( X ). For at en funksjon g av C ( X ) skal høre til adhesjonen til L , (det er nødvendig og) er det tilstrekkelig at det for alle x , y ∈ X og alle ε> 0 eksisterer en funksjon f ∈ L slik at
|f(x)-g(x)|<ε og |f(y)-g(y)|<ε.{\ displaystyle | f (x) -g (x) | <\ varepsilon {\ text {and}} | f (y) -g (y) | <\ varepsilon.}![| f (x) -g (x) | <\ varepsilon {\ text {and}} | f (y) -g (y) | <\ varepsilon.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f56e6a795a95695b3de6396f8b690bb051f73b6)
Bevis på Lemma 3
La ε> 0 og g ∈ C ( X ) tilfredsstille denne tilstanden. Vi vil konstruere en funksjon f ∈ L som tilnærmer seg g jevnt ε nær.
- For det første vil et fast element z ∈ X .
La x ∈ X . Ved hypotese eksisterer det en funksjon f z, x ∈ L slik atfz,x(z)>g(z)-ε og fz,x(x)<g(x)+ε.{\ displaystyle f_ {z, x} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {et}} f_ {z, x} (x) <g (x) + \ varepsilon.}
Vi spør daVz,x={y∈X∣fz,x(y)<g(y)+ε}{\ displaystyle V_ {z, x} = \ {y \ i X \ mid f_ {z, x} (y) <g (y) + \ varepsilon \}}
som inneholder x og som er en åpen , ved kontinuitet av f z, x og g .
Familien ( V z, x ) x ∈ X er et åpent dekk av X , og ved kompakthet kan vi trekke ut et endelig belegg ( V z, x ) x ∈ A z . Vi kan da spørrehz=minx∈PÅzfz,x{\ displaystyle h_ {z} = \ min _ {x \ i A_ {z}} f_ {z, x}}
som hører til gitteret L . Merk at funksjonen h z tilfredsstillerhz(z)>g(z)-ε og ∀y∈X,hz(y)<g(y)+ε.{\ displaystyle h_ {z} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {et}} \ forall y \ i X, h_ {z} (y) <g (y) + \ varepsilon.}
- Vi ser nå på familien ( h z ) z ∈ X . Vi stillerUz={y∈X∣hz(y)>g(y)-ε}{\ displaystyle U_ {z} = \ {y \ i X \ mid h_ {z} (y)> g (y) - \ varepsilon \}}
som inneholder z og som er åpen, av samme grunner som V z, x . Familien ( U z ) z ∈ X dekker X , og ved kompakthet trekker vi ut et endelig undercoverage ( U z ) z ∈ B Vi setterf=maksz∈Bhz{\ displaystyle f = \ max _ {z \ in B} h_ {z}}
eide L .
Funksjonen f verifiserer deretter
∀x∈X,g(x)-ε<f(x)<g(x)+ε{\ displaystyle \ forall x \ i X, \ quad g (x) - \ varepsilon <f (x) <g (x) + \ varepsilon}
som forventet.
Merknader og referanser
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den
engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen
“ Stone - Weierstrass teorem ” ( se forfatterliste ) .
-
(de) Karl Weierstrass , “ Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen ” , Sitz'ber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin ,1885 : Jeg, s. 633-639 og II, s. 789-805 .
-
Et slikt rom er per definisjon atskilt .
-
Laurent Schwartz, generell topologi og funksjonsanalyse , Hermann,1970, s. 372-376
-
Denne demonstrasjonen skyldes Henri Lebesgue , som nettopp hadde bestått agrégasjonen i matematikk , i sin første artikkel: Henri Lebesgue, " On the approximation of functions ", Bulletin des sciences mathiques , vol. 22,1898, s. 278-287 ( les online ).
-
Torsten Carleman, On a Theorem of Weierstrass , Arkiv. Mast. Astron. Fys. , flygning. 20, nr . 4, 1927, s. 1-5 .
-
Carleman formulerer det, i likhet med Weierstrass, i termer - bedre kjent i 1885 - av en serie av jevnt (fordi normalt ) konvergerende funksjoner ( Weierstrass 1885 , s. 637: " es convergirt […] die Reihe […] unbedingt und gleichmässig∑ν=0∞fν(x){\ displaystyle \ sum _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} f _ {\ nu} (x)}
" ).
-
(i) Wilfred Kaplan, " Tilnærming etter hele funksjoner " , Michigan Math. J. , vol. 3, n o 1,1955, s. 43-52 ( DOI 10.1307 / mmd / 1031710533 , les online ).
-
Pinkus 2000 , s. 51-54.
-
Jf. (En) Charalambos D. Aliprantis og Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2007, 3 e ed. ( ISBN 978-3-540-32696-0 , leses online ) , s. 353, Som også vise seg å være det omvendte: for en hvilken som helst kompakte X , hvis C ( X ) er adskillbar da X er metrizable . Faktisk, for ethvert separerbart, normert vektorrom E , er enhetskulen til den doble E ' , utstyrt med den svake topologien *, metrisk , eller for E = C ( X ), er X naturlig identifisert med et underområde av denne kulen .
Se også
Relaterte artikler
Bibliografi
(en) Allan Pinkus, “ Weierstrass and approximation theory ” , J. Ca. Teori , vol. 107, n o 1,2000, s. 1-66 ( DOI 10.1006 / jath.2000.3508 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">