Compliant Killing Vector

I Riemannsk geometri , et konformt killing vektor eller et konformt killing vektorfelt eller et konformt felt er et vektorfelt som svarer til en forsvinnende variant av et konformt isotopy for en pseudoriemannian metrisk . I fravær av periodiske baner, etter en konform transformasjon som er riktig valgt på beregningen, blir vektorfeltet et Killing-vektorfelt ; dette kan gjøres i det minste lokalt. Uten å nødvendigvis drepe, har et konformt felt lignende egenskaper.

Drapvektorer er spesielt involvert i generell relativitet .

I symplektisk geometri er utvidelsesfeltene ekvivalenter.

Definisjon

Gitt en pseudoriemannian metrisk g over en differensial manifold M , et konformt kart over M er et diffeomorphism slik at der f er et strengt positiv funksjon. Målingen sies å være i samsvar med g . Den isometriske Riemannian er spesielle tilfeller av kompatible applikasjoner. Alle egnede applikasjoner danner en undergruppe av gruppen av diffeomorphisms av M . Med de rette strukturene er det en Lie-undergruppe . ${\ displaystyle \ Phi: M \ rightarrow M}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {*} g = fg}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {*} g}$

Vi definerer en konform drepningsvektor som et felt av vektorer X hvis strømning består av konforme kart. Her er flyten bare lokalt definert: X er ikke nødvendigvis fullført. Denne egenskapen tilsvarer at Lie-derivatet er proporsjonalt med g . Killing-vektorene er derfor per definisjon de første variasjonene av konforme isotopier (isotopi av konform applikasjoner). Mer nøyaktig, hvis det er en konform isotopi, da ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g}$ $g_t$

{\ displaystyle X_ {t} = {\ frac {dg_ {t}} {dt}} \ circ g_ {t} ^ {- 1}}

er et felt med drapvektorer avhengig av en reell parameter t . Ovennevnte identitet gir en en-til-en korrespondanse mellom konforme isotopier og konforme drapvektorfelt avhengig av en reell parameter.

Settet med konforme drapsvektorer er stabilt ved addisjon og multiplikasjon med funksjoner. Det danner en undermodul av vektorfeltområdet. Den Lie krok av to samsvar Killing vektorer er en konform Killing vektor. Derfor danner settet med drapsvektorer en Lie- subalgebra av vektorfeltalgebraen. Denne Lie-subalgebraen kan sees på som Lie-algebraen til Lie- gruppen av konforme kartlegginger av . Denne gruppen har uendelig dimensjon. $(M, g)$

Ligning i et lokalt kart

En drapsvektor ξ er definert av ligningen

{\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b} + D_ {b} \ xi _ {a} = 0}

hvor D er det avvikende derivatet assosiert med metrikken. Under en konform transformasjon transformeres metrisk g i henhold til

{\ displaystyle g_ {ab} \ til {\ bar {g}} _ {ab} = \ Omega ^ {2} g_ {ab}}

der Ω er en ikke-avbrytende funksjon. Ved å bruke disse definisjonene er det mulig å beregne ekvivalenten til Killing-ligningen som vektoren ξ adlyder, men ved å bruke kovariantderivatet assosiert med den nye beregningen . Vi finner dermed ${\ displaystyle {\ bar {D}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {g}} _ {ab}}$

{\ displaystyle {\ bar {D}} _ {a} \ xi _ {b} + {\ bar {D}} _ {b} \ xi _ {a} = {\ frac {2} {n}} \ venstre ({\ bar {D}} _ {c} \ xi ^ {c} \ høyre) g_ {ab}}

hvor n er dimensjonen til det betraktede rommet.

Demonstrasjon

Fra den nye beregningen er det mulig å beregne de nye Christoffel-symbolene , som er skrevet: ${\ bar g}$

{\ displaystyle {\ bar {\ Gamma}} _ {ab} ^ {c} = \ Gamma _ {ab} ^ {c} + {\ frac {\ partial ^ {c} \ Omega} {\ Omega}} g_ {ab}}

Den nye Killing-ligningen omskrives derfor

{\ displaystyle {\ bar {D}} _ {a} \ xi _ {b} + {\ bar {D}} _ {b} \ xi _ {a} = D_ {a} \ xi _ {b} + D_ {b} \ xi _ {a} + 2g_ {ab} {\ frac {D ^ {c} \ Omega} {\ Omega}} \ xi _ {c}}

Ved å ta spor av denne ligningen, og huske at divergensen til en drapsvektor er null, kommer det til

{\ displaystyle 2 {\ bar {D}} _ {c} \ xi ^ {c} = 0 + 2n {\ frac {D ^ {c} \ Omega} {\ Omega}} \ xi _ {c}}

Høyre side av den nye Killing-ligningen kan dermed endres til

{\ displaystyle {\ bar {D}} _ {a} \ xi _ {b} + {\ bar {D}} _ {b} \ xi _ {a} = {\ frac {2} {n}} \ venstre ({\ bar {D}} _ {c} \ xi ^ {c} \ høyre) g_ {ab}}

Eiendom

Hvis v og w er to vektorer som er tangente i p og ortogonale for den metriske g som tidligere ble introdusert, har vi for ethvert felt av samsvarende drapsvektorer:

{\ displaystyle g (\ nabla _ {v} X, w) + g (v, \ nabla _ {w} X) = 0}

Hvis X er et felt med drapvektorer, forblir den foregående identiteten mer vanlig for alle vektorer v og w tangent til p .

Forklaringer Faktisk har vi rett til å betrakte to vektorfelt V og W henholdsvis lik v og w i p . Siden Levi-Civita-forbindelsen per definisjon er metrisk, kan derivatet av g ( V , W ) i retning av X skrives:

{\ displaystyle X \ cdot g (V, W) = g (\ nabla _ {X} V, W) + g (V, \ nabla _ {X} W)}

. Beregningen av dette derivatet kan fås ved hjelp av Lie-derivatet . Siden forbindelsen er vridningsfri, finner vi:

{\ displaystyle X \ cdot g (V, W) = {\ mathcal {L}} _ {X} g (V, W) + g (\ nabla _ {X} V- \ nabla _ {V} X, W ) + g (\ nabla _ {X} W- \ nabla _ {W} X, V)}

Ved å kombinere de to identitetene ovenfor får vi:

{\ displaystyle g (\ nabla _ {V} X, W) + g (V, \ nabla _ {W} X) = {\ mathcal {L}} _ {X} g (V, W)}

Denne identiteten kan evalueres på punkt p . Siden X er en konform dødningsvektor, er proporsjonal med g p . Vektorene v og w er ortogonale for g , vi har :, og derfor:

{\ displaystyle \ left [{\ mathcal {L}} _ {X} g \ right] _ {p}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g (v, w) = 0}

{\ displaystyle g (\ nabla _ {v} X, w) + g (v, \ nabla _ {w} X) = 0}

Spesielt hvis v er en isotrop vektor , er v ortogonal mot seg selv. For ethvert X- samsvarende Killing-vektorfelt har vi: ${\ displaystyle g (v, v) = 0}$

{\ displaystyle g (v, v) = 0 \ Rightarrow g (\ nabla _ {v} X, v) = 0}

Spesielt hvis c er en geotetisk isotrop hastighetsvektor, er skalarproduktet til X med hastighetsvektoren konstant:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} g (X (c (t)), c '(t)) = g (\ nabla _ {c' (t)} X, c '(t)) + g (X, \ nabla _ {c '(t)} c' (t)) = 0 + g (X, 0) = 0}

Denne bevaringsegenskapen griper spesielt inn i Lorentzian geometri for å behandle geodesikk av lystypen.

Her er en annen måte å få det til ved å bruke uttrykket for samsvarende Killing-vektorfelt i lokale kater. Hvis vi betegner tangensvektoren til en geodetisk assosiert med metrikk , så får vi ved å trekke sammen ligningen som drapsvektorene samsvarer med . ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {a}}$ ${\ bar g}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {a} {\ bar {u}} ^ {b}}$

{\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {a} {\ bar {D}} _ {a} \ left ({\ bar {u}} ^ {b} \ xi _ {b} \ right) = { \ frac {1} {n}} \ left ({\ bar {D}} ^ {c} \ xi _ {c} \ right) {\ bar {u}} ^ {d} {\ bar {u}} _ {d}}

Når det gjelder en geodesikk av tidstypen, er normen ikke-null og mengden er generelt ikke konservert. På den annen side, når det gjelder en lysgeodetisk geodesikk, hvor , da blir mengden konservert. ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {d} {\ bar {u}} _ {d}}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {b} \ xi _ {b}}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {d} {\ bar {u}} _ {d} = 0}$ ${\ displaystyle {\ bar {u}} ^ {b} \ xi _ {b}}$

Se også

Overensstemmelse med drepeligning (in)
Drap vektor
Overensstemmende transformasjon

Henvisning

(en) Robert M. Wald , General Relativity , University of Chicago Press ,1984, 498 s. ( ISBN 0226870332 ), side 443 og 444.