Drap vektor

I matematikk er en Killing-vektor , eller Killing- felt , et vektorfelt på en (pseudo-) Riemannian-manifold som bevarer metrikken til denne manifolden og fremhever dens kontinuerlige symmetrier.

Intuitivt kan en drapsvektor sees på som et " forskyvningsfelt " , det vil si å assosiere med et punkt M i manifolden punktet M ' definert av forskyvningen av M langs kurven som går gjennom M og er tangensvektoren. Den grunnleggende egenskapen er at dette feltet representerer en isometri , det vil si at det bevarer avstandene. Dermed er avstanden mellom to punkter M og N lik avstanden mellom bildene M ' og N' ved handlingen av . $\ xi$ $\ xi$ $\ xi$

Påført en overflate (manifold av dimensjon 2) sett på som nedsenket i et tredimensjonalt rom, gjør et slikt felt det mulig for eksempel å få det til å "gli" på seg selv, uten at det rives eller rynker.

Den matematiske formuleringen av denne egenskapen kalles Killing-ligningen . Den sier at Lie-derivatet av den Riemanniske metriske med hensyn til drapsvektoren er null, det vil si i et hvilket som helst koordinatsystem , $\ xi$

{\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b} + D_ {b} \ xi _ {a} = 0}

D er kovariantderivatet assosiert med beregningen.

Fra dette trekker vi ut et visst antall egenskaper tilknyttet Killing-vektorer.

Historie

Den eponym av vektoren er Wilhelm KJ Killing (1847-1923), en tysk matematiker som introduserte den i 1892.

Eiendommer

Divergens

Ved å trekke Killing-ligningen med beregningen får vi umiddelbart:

{\ displaystyle D_ {a} \ xi ^ {a} = 0}

En drapsvektor er alltid null divergens .

Konstant bevegelse

Den punkt-produkt av en killing vektor med tangentvektoren av et geodetisk er konstant langs en bane. Hvis vi betegner denne tangentvektoren, har vi derfor ${\ displaystyle u ^ {a}}$

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = 0}

operatøren som representerer derivatet med hensyn til en affineparameter for geodesikken. ${\ displaystyle D / d \ tau}$

Demonstrasjon

Operatøren kan omskrive seg selv, i henhold til definisjonen av en geodesic, ${\ displaystyle D / d \ tau}$

{\ displaystyle D / d \ tau = u ^ {b} D_ {b}}

Så det har vi gjort

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = u ^ {b} D_ {b} (u ^ {a} \ xi _ {a} )}

Ved å bruke Leibnizs regel om derivater får vi deretter

{\ displaystyle u ^ {b} D_ {b} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = u ^ {b} u ^ {a} D_ {b} \ xi _ {a} + u ^ { b} \ xi _ {a} D_ {b} u ^ {a}}

Den andre begrepet likhet er null. Faktisk er selve definisjonen av en geodesikk at dens tangentvektor holdes langs geodesikken, dvs.

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} u ^ {a} = u ^ {b} D_ {b} u ^ {a} = 0}

Den første begrepet likhet er også null. Faktisk indikerer Killing-ligningen at tensoren er antisymmetrisk. Dets sammentrekning med en symmetrisk tensor er derfor null. Så det har vi gjort ${\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b}}$

{\ displaystyle {\ frac {D} {d \ tau}} (u ^ {a} \ xi _ {a}) = 0}

Denne egenskapen er spesielt nyttig for å integrere ligningen av geodesikk. Faktisk gjør eksistensen av et tilstrekkelig antall drapsvektorer det mulig å vise et tilstrekkelig antall bevegelseskonstanter som tillater umiddelbar og eksplisitt oppløsning av den geodesiske ligningen . Et enkelt eksempel er Schwarzschild-beregningen , som er både sfærisk og statisk symmetrisk . Den første egenskapen tillater å vise to drapsvektorer og den andre en ekstra drapsvektor. Konstantene til bevegelsen er assosiert med vinkelmomentets standard , projeksjonen langs en akse, og en mengde der en tilnærming som ikke er relativ kan identifiseres med partikkelens energi . Dermed blir de vanlige lovene for bevaring av energi og vinkelmomentet til klassisk mekanikk oversatt til generell relativitet ved eksistensen av drapsvektorer.

Forholdet til Riemann-tensoren

Ved å ta derivatet av Killing-ligningen og bruke koblingsegenskapene til de kovariante derivatene, får vi en ligning som relaterer det andre derivatet av en Killing-vektor til Riemann-tensoren . Dette forholdet er skrevet:

{\ displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} = - R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

. Demonstrasjon

Fra Killing-ligningen utfører vi en ekstra avledning. Vi får derfor:

{\ displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {cb} \ xi _ {a} = 0}

Kovariantderivatene pendler ikke generelt, men kan pendles hvis vi legger til en ekstra term ved bruk av Riemann-tensoren (dette er til og med definisjonen av Riemann-tensoren):

{\ displaystyle D_ {cb} \ xi _ {a} = D_ {bc} \ xi _ {a} -R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Vi oppnår dermed

{\ displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {bc} \ xi _ {a} = R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Vi kan omskrive denne ligningen ved å utføre permutasjoner på indeksene a , b og c :

{\ displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} + D_ {ca} \ xi _ {b} = R _ {\; bac} ^ {d} \ xi _ {d}}

{\ displaystyle D_ {bc} \ xi _ {a} + D_ {ab} \ xi _ {c} = R _ {\; cba} ^ {d} \ xi _ {d}}

Ved å ta summen av disse tre likhetene oppnår vi

{\ displaystyle 2D_ {ca} \ xi _ {b} + 2D_ {bc} \ xi _ {a} + 2D_ {ab} \ xi _ {c} = (R _ {\; acb} ^ {d} + R_ {\; bac} ^ {d} + R _ {\; cba} ^ {d}) \ xi _ {d}}

I kraft av Bianchis første identitet avbryter vilkårene for det høyre medlemmet hverandre. Så det har vi gjort

{\ displaystyle D_ {ca} \ xi _ {b} + D_ {bc} \ xi _ {a} + D_ {ab} \ xi _ {c} = 0}

Ved å trekke dette fra den første likheten som involverer Riemann-tensoren, kommer den

{\ displaystyle D_ {ab} \ xi _ {c} = - R _ {\; acb} ^ {d} \ xi _ {d}}

Dette forholdet har en rekke interessante konsekvenser:

Ved å trekke det sammen på a og b , får vi et forhold mellom feltets alembertian og Ricci-tensoren : ${\ displaystyle D_ {a} D ^ {a} \ xi _ {c} = - R _ {\; c} ^ {d} \ xi _ {d}}$ .
Dette er en ligning som er ganske lik vektorpotensialet i elektromagnetisme i Lorentz-måleren (spesielt siden akkurat som vektorpotensialet har null divergens i Lorentz-måleren, er også Killing-vektoren konstruert av null divergens). Den eneste forskjellen kommer fra tegnet på Ricci-tensoren, som er det motsatte av det som finnes i elektromagnetisme. I tilfelle hvor Ricci-tensoren forsvinner, er analogien mellom Killings vektor og vektorpotensial enda større (begge adlyder nøyaktig samme ligning).
Denne ligningen, anvendt langs en geodesikk, innebærer at drapsvektoren langs denne geodesikken helt bestemmes av verdien og dens derivater på et punkt. I forlengelse blir Killing-vektoren i hele manifolden helt bestemt av verdiene og dens derivater på et enkelt punkt.
Følgelig, hvis dimensjonen til manifolden er n , bestemmes drapningsvektorens datum av n tall (dets komponenter), og dets derivater av n ( n - 1) / 2 komponenter (på grunn av antisymmetrien til l 'Killing ligning ). Maksimalt antall drapsvektorer som kan eksistere på en manifold med dimensjon n er derfor n ( n + 1) / 2. En manifold som har sitt maksimale antall Killing-vektorer sies å ha maksimal symmetri . De Sitter-rommet er et eksempel på et rom med maksimal symmetri.
Mer generelt er det praktisk å klassifisere de gitte dimensjonsmanifoldene i henhold til deres drapsvektorer. Denne klassifiseringen, brukt på en viss kategori av romtid av dimensjon 4 ( homogene rom ), kalles Bianchi-klassifiseringen .

Forholdet til Noethers teorem

Sammentrekningen av en Killing-vektor med energimomentstensoren gjør det mulig å vise en vektor med null divergens. $T ^ {{ab}}$

Demonstrasjon

Faktisk divergensen av mengden gir ${\ displaystyle T ^ {ab} \ xi _ {b}}$

{\ displaystyle D_ {a} (T ^ {ab} \ xi _ {b}) = T ^ {ab} D_ {a} \ xi _ {b} + \ xi _ {b} D_ {a} T ^ { ab}}

Det første begrepet er null, fordi det er sammentrekningen av en symmetrisk tensor ( ) og en antisymmetrisk tensor ( , ifølge Killing-ligningen). Det andre begrepet er også null fordi energitensormomentet per definisjon er null divergens ( ). Så det har vi gjort $T ^ {{ab}}$ ${\ displaystyle D_ {a} \ xi _ {b}}$ ${\ displaystyle D_ {a} T ^ {ab} = 0}$

{\ displaystyle D_ {a} (T ^ {ab} \ xi _ {b}) = 0}

Eksistensen av denne vektoren med null divergens gjør det da mulig å definere konserverte størrelser ved hjelp av Noethers teorem .

I Minkowski-rommet og kartesiske koordinater er vektoren , betegnet , en Killing-vektor, som ganske enkelt sier at Minkowski-rommet er overgangsevariant over tid. Dette innebærer da bevaring av energi . På samme måte er vektorene også Killing-vektorer. Det innebærer bevaring av fart . Ingen av disse vektorene er imidlertid en Killing-vektor i et ekspanderende univers . Dette er grunnen til at energien til elektromagnetisk stråling ikke bevares over tid: det er fenomenet rødforskyvning . Generelt er det ikke nødvendigvis drepende vektorer i noe tid . Dette innebærer at generelt relativitet er det ingen bevaring av energi, bortsett fra i spesielle tilfeller, som for asymptotisk flate rom . ${\ displaystyle \ partial / \ partial t}$ $\ delvis _ {t}$ ${\ displaystyle \ partial _ {x ^ {i}}}$

Også i Minkowski plass, vektorene , , er også Killing vektorer. Eksistensen av disse vektorene innebærer bevaring av vinkelmomentet . På samme måte er vektorene tre Killing-vektorer. I nonrelativistic grense, de svarer til den mengde , det vil si verdien av den i th koordinaten i øyeblikket . Disse vektorene, 10 i antall, danner alle drapsvektorene lineært uavhengig av Minkowski-rommet. ${\ displaystyle x \ partial _ {y} -y \ partial _ {x}}$ ${\ displaystyle y \ partial _ {z} -z \ partial _ {y}}$ ${\ displaystyle z \ partial _ {x} -x \ partial _ {z}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ partial _ {t} + t \ partial _ {x_ {i}}}$ ${\ displaystyle x ^ {i} -v ^ {i} t}$ $t = 0$

Løg algebra av drapvektorer

Den Lie krok av to Killing vektorer og er også en vektor Killing $\ xi$ $\ zeta$

Demonstrasjon

Lie kroken av par er skrevet, når det gjelder komponenter, $\ xi$ $\ zeta$

{\ displaystyle \ zeta ^ {b} D_ {b} \ xi ^ {a} - \ xi ^ {b} D_ {b} \ zeta ^ {a}}

For at denne vektoren skal være en Drepingsvektor, må den og være tilstrekkelig at den tilfredsstiller Drapligningen. Vi beregner derfor

{\ displaystyle D_ {a} \ left (\ zeta ^ {c} D_ {c} \ xi _ {b} - \ xi ^ {c} D_ {c} \ zeta _ {b} \ right) -D_ {b } \ left (\ zeta ^ {c} D_ {c} \ xi _ {a} - \ xi ^ {c} D_ {c} \ zeta _ {a} \ right)}

{\ displaystyle = \ zeta ^ {c} \ left (D_ {ac} \ xi _ {b} -D_ {bc} \ xi _ {a} \ right) + \ xi ^ {c} \ left (D_ {bc } \ zeta _ {a} -D_ {ac} \ zeta _ {b} \ right) + D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {b} -D_ {c} \ zeta _ {b} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {a} + D_ {c} \ zeta _ {a } \; D_ {b} \ xi ^ {c}}

Betegnelser som inneholder produkter av to første derivater kan manipuleres ved å bruke Killing-ligningen for og , slik at indeksen c ikke er relatert til det kovariante derivatet, men til vektoren. Dermed har vi $\ xi$ $\ zeta$

{\ displaystyle D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {b} -D_ {c} \ zeta _ {b} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ {c} \; D_ {c} \ xi _ {a} + D_ {c} \ zeta _ {a} \; D_ {b} \ xi ^ {c} = - D_ {a} \ zeta ^ {c} \; D_ {b} \ xi _ {c} + D_ {b} \ zeta _ {c} \; D_ {a} \ xi ^ {c} -D_ {b} \ zeta ^ { c} \; D_ {a} \ xi _ {c} + D_ {a} \ zeta _ {c} \; D_ {b} \ xi ^ {c} = 0}

fordi vilkårene avbryter hverandre to og to. For termer som inkluderer andre derivater, brukes Killings ligninger også for å fjerne c- indeksen fra samvarianderivater. Vi har

{\ displaystyle \ zeta ^ {c} \ left (D_ {ac} \ xi _ {b} -D_ {bc} \ xi _ {a} \ right) + \ xi ^ {c} \ left (D_ {bc} \ zeta _ {a} -D_ {ac} \ zeta _ {b} \ right) = \ zeta ^ {c} \ left (-D_ {ab} \ xi _ {c} + D_ {ba} \ xi _ { c} \ høyre) + \ xi ^ {c} \ venstre (D_ {ba} \ zeta _ {c} -D_ {ab} \ zeta _ {c} \ høyre).}

Vi kjenner igjen kommutatoren for de kovariante derivatene, som vi kan omskrive ved hjelp av Riemann-tensoren :

{\ displaystyle \ zeta ^ {c} \ left (-D_ {ab} \ xi _ {c} -D_ {ba} \ xi _ {c} \ right) + \ xi ^ {c} \ left (D_ {ba } \ zeta _ {c} -D_ {ab} \ zeta _ {c} \ right) = \ zeta ^ {c} R _ {\; cab} ^ {d} \ xi _ {d} - \ xi ^ { c} R _ {\; cba} ^ {d} \ zeta _ {d}}

Ved å til slutt bruke antisymmetri-forholdet på de to par indeksene til Riemann-tensoren og ved å invertere de stille indeksene c og d på et av de to medlemmene av resultatet, oppnår vi

{\ displaystyle \ zeta ^ {c} R _ {\; cab} ^ {d} \ xi _ {d} - \ xi ^ {c} R _ {\; cba} ^ {d} \ zeta _ {d} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {dcab} - \ xi ^ {c} \ zeta ^ {d} R_ {dcba} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {dcab } - \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} R_ {cdba} = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} (R_ {dcab} -R_ {cdba}) = \ zeta ^ {c} \ xi ^ {d} (R_ {dcab} -R_ {dcab}) = 0}

. Så Lie-kroken til to drapsvektorer er også en drapsvektor.

Dette gjør det mulig å utstyre rommet til drapvektorer med en Lie-algebra- struktur . Generell relativitet er det gjennom dette at visse klassifiseringer av romtider blir utført, for eksempel Bianchi-klassifiseringen nevnt ovenfor, som er relatert til firedimensjonale romtider hvis romlige seksjoner er homogene .

Overensstemmende transformasjon

Under en konform transformasjon mister en Killing-vektor sin grunnleggende eiendom og tilfredsstiller ikke lenger Killing-ligningen. Imidlertid tilfredsstiller den en annen ligning som i visse tilfeller kan vise seg å være interessant. Vi snakker da om en konform konjunkturvektor .

Statisk romtid

I den generelle relativitets , en rom-tid (eller et område av dette) sies å være statisk hvis det medgir en tid-type Killing vektor som kan ses på som den normalt å hypersurfaces. For dette, i tillegg til Killing-ligningen, må Killing-vektoren være proporsjonal med en gradient (overflater kan sees på som regioner der en bestemt parameter er konstant). Denne siste tilstanden er skrevet i form

{\ displaystyle \ xi _ {[a} D_ {b} \ xi _ {c]} = 0}

som vi beviser takket være en teorem om Frobenius . I en firedimensjonal romtid tilsvarer denne tilstanden den på den tilhørende doble formen ,

{\ displaystyle \ epsilon ^ {dabc} \ xi _ {[a} D_ {b} \ xi _ {c]} = 0}

hvor er en helt antisymmetrisk tensor i alle dens indekser. $\ epsilon$

Den Schwarz metrisk er et eksempel på en statisk rom-tid i området utenfor den radius Schwarz . Den Reissner-Nordström metriske har den samme eiendommen. Beregningen av slike mellomrom kan skrives i et bestemt koordinatsystem i skjemaet ${\ displaystyle (t, x ^ {i})}$

{\ displaystyle {\ mathrm {d}} s ^ {2} = V ^ {2} (x ^ {k}) - \ sum _ {ij} h_ {ij} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d}} x ^ {i} \; {\ mathrm {d}} x ^ {j}}

Statisitet kan sees:

Ved at beregningen ikke er avhengig av koordinaten t (Killing ligning)
Av det faktum at det ikke er noen vilkår i (ortogonalitet til overflater) ${\ displaystyle {\ mathrm {d}} t \; {\ mathrm {d}} x ^ {i}}$

Stasjonær romtid

En romtid sies å være stasjonær hvis den innrømmer en tidstypende drapsvektor, uten at sistnevnte har egenskapen til ortogonalitet til overflater. I det foregående koordinatsystemet er den tilknyttede beregningen mer generell:

{\ displaystyle {\ mathrm {d}} s ^ {2} = V ^ {2} (x ^ {k}) - \ sum _ {ij} h_ {ij} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d}} x ^ {i} \; {\ mathrm {d}} x ^ {j} + \ sum _ {i} N_ {i} (x ^ {k}) \; {\ mathrm {d} } t \; {\ mathrm {d}} x ^ {i}}

Aksisymmetrisk romtid

En romtid sies å være aksymetrisk hvis den er stasjonær (den har derfor en tidstypedrapningsvektor , se ovenfor) og har en annen romtypedrapningsvektor hvis strømning danner lukkede kurver og som pendler med tidligere: $\ xi$ $\ eta$

{\ displaystyle [\ xi, \ eta] = 0}

Den Kerr metrisk og den Kerr-Newman metrisk er kjente eksempler på aksesymmetriske beregninger. Det sa bivector , av åpenbare grunner, av Killing spiller en viktig rolle i bevisene Singularity teoremer . ${\ displaystyle \ xi _ {[a} \ eta _ {b]}}$

Romtid ved maksimal symmetri

En romtid sies å være på maksimal symmetri - eller maksimalt symmetrisk - hvis den har et maksimalt antall drapsvektorer, nemlig :, hvor er antall dimensjoner av romtid. ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} n \ venstre (n + 1 \ høyre)}$ $ikke$

Generaliseringer

En ligning av typen Killing ligning kan generaliseres til høyere ordens tensorer . Man snakker da, ifølge den valgte generaliseringen, om tensor of Killing eller tensor of Killing-Yano . I rammen av teoremene om singulariteter introduserer vi noen ganger begrepet Killing bivector , dannet ved hjelp av to Killing-vektorer.

Merknader og referanser

Merknader

Begrepet vektoren er et misbruk av klassisk språk i fysikk, som lett assimilerer element og sett, vektor og felt av vektorer .
Den konserverte størrelsen er Lorentz-faktoren γ, som er en konstant lik i den ikke-relativistiske grensen til summen av masseenergien og den kinetiske energien .
I det relativistiske tilfellet er den konserverte størrelsen posisjonen multiplisert med Lorentz-faktoren , som i seg selv er en konservert størrelse fordi den er en Killing-vektor (se ovenfor). $\ delvis _ {t}$

Referanser

Alkseevskiĭ 1995 , s. 391, kol. 2 .
Penrose 2007 , kap. 14 , § 14.7 , s. 312.
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Killing (vektor av), s. 411, kol. 1 .
Hawkins 2000 , kap. 4 , § 4.5 , s. 128, n. 20 .
Hawkins 2000 , s. 530.
Misner, Thorne og Wheeler 1973 , kap. 25 , § 25.2 , s. 650, n. histor. .
Misner, Thorne og Wheeler 1973 , s. 1238, kol. 1 .
Drap 1892 , s. 167.
Peter og Uzan i 2012 , 2 e hånd. , kap. 3 , sek. 3.6 , § 3.6.1 , s. 176.
Barrau og Grain 2016 , kap. 7 , sek. 7.1 , § 7.1.2 , s. 129.
Heyvaerts 2012 , kap. 10 , sek. 10.2 , § 10.2.1 , s. 142.
Carroll 2019 , kap. 3 , § 3.9 , s. 140.
Hawking og Ellis 1973 , kap. 2 , § 2.6 , s. 44.

Se også

Bibliografi

(en) Robert M. Wald , General Relativity , University of Chicago Press ,1984, 498 s. ( ISBN 0226870332 ), side 119, 120, 312 til 324 og 441 til 443.
(no) D. Kramer , Hans Stephani , Malcolm Mac Callum og E. Herlt , Nøyaktige løsninger av Einsteins feltligninger , Cambridge, Cambridge University Press ,1980, 428 s. ( ISBN 0521230411 ), kapittel 6 (s. 76 og 77), kapittel 8 (s. 94 til 97 og 99 til 102), og kapittel 17 (s. 192).
[Hawking and Ellis 1973] (no) SW Hawking and GFR Ellis , The large scale structure of space-time ["The large-scale structure of space-time"], Cambridge, CUP , al. “ Cambridge Monogr. Matte. Phys. ",1973, 1 st ed. , 1 vol. , XI -391 s. , syk. , 15,1 × 22,7 cm ( ISBN 978-0-521-20016-5 og 978-0-521-09906-6 , EAN 9780521099066 , OCLC 299342801 , merknad BnF n o FRBNF37358308 , DOI 10.1017 / CBO9780511524646 , Bibcode 1973lsss .book .. ... H , SUDOC 004735110 , online presentasjon , les online ).
[Hawkins 2000] (no) Th. Hawkins , Fremveksten av teorien om løgnegrupper : et essay i matematikkens historie,1869-1926 ["Fremveksten av teorien om løgngrupper: et essay i matematikkens historie, 1869-1926 »], New York, Springer , koll. “ Stud kilder. Hist. Matte. Phys. Sci. ",Jul. 2000, 1 st ed. , 1 vol. , XIII -564 s. , syk. , 24 cm ( ISBN 0-387-98963-3 , EAN 9780387989631 , OCLC 468567740 , merknad BnF n o FRBNF37734028 , DOI 10.1007 / 978-1-4612-1202-7 , SUDOC 058886435 , online presentasjon , les online ).
[Lachièze-Rey 2006] M. Lachièze-Rey , “Space and observers in cosmology” , i M. Lachièze-Rey ( dir. ), Fysisk rom mellom matematikk og filosofi , Les Ulis, EDP Sci. , koll. "Tenker med vitenskapene",Mars 2006, 1 st ed. , 1 vol. , 362 s. , syk. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-86883-821-6 , OCLC 469695981 , merknad BnF n o FRBNF40034776 , SUDOC 103231013 , online presentasjon ) , kap. 15 , s. 325-344.
[Misner, Thorne og Wheeler 1973] (en) Ch. W. Misner , KS Thorne og JA Wheeler , Gravitation ["Gravitation"], San Francisco, WH Freeman , hors coll. ,1973, 1 st ed. , 1 vol. , XXVI -1279 s. , syk. , 26 cm ( ISBN 0-7167-0334-3 og 0-7167-0344-0 , EAN 9780716703440 , OCLC 300307879 , merknad BnF n o FRBNF37391055 , Bibcode 1973grav.book ..... M , SUDOC 004830148 , les online ).
[Penrose 2007] R. Penrose ( oversatt fra engelsk av C. Laroche ), Discovering the Laws of the Universe: the Astonishing History of Mathematics and Physics [" The road to reality: a complete guide to the Laws of the Universe "], Paris, O. Jacob , koll. "Vitenskap",august 2007, 1 st ed. , 1 vol. , XXII -1061 s. , syk. og fig. , 15,5 × 24 cm ( ISBN 978-2-7381-1840-0 , EAN 9782738118400 , OCLC 209307388 , merknad BnF nr o b41131526q , SUDOC 118177311 , online presentasjon , les online ).

Kurshåndbøker

[Barrau og Grain 2016] A. Barrau og J. Grain , generell relativitet (kurs og korrigerte øvelser), Malakoff, Dunod , koll. "Sciences Sup. ",august 2016, 2 nd ed. ( 1 st ed. august 2011), 1 vol. , VIII -231 s. , 17 x 24 cm ( ISBN 978-2-10-074737-5 , EAN 9782100747375 , OCLC 958,388,884 , varsel BNF n o FRBNF45101424 , SUDOC 195,038,134 , elektronisk presentasjon , lese på nettet ).
[Carroll 2019] SM Carroll , Romtid og geometri : en introduksjon til generell relativitet [" Romtid og geometri : en introduksjon til generell relativitet"], Cambridge, CUP , hors coll. ,august 2019, 3 e ed. ( 1 st ed. Sep 2003), 1 vol. , XIV -513 s. , syk. , 19,2 × 25,2 cm ( ISBN 978-1-108-48839-6 , EAN 9781108488396 , OCLC 1101387240 , merknad BnF n o FRBNF45756876 , DOI 10.1017 / 9781108770385 , SUDOC 237699117 , online presentasjon , les online ).
[Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts , Astrofysikk: stjerner, univers og relativitet (kurs og korrigerte øvelser), Paris, Dunod , koll. "Sciences Sup. ",August 2012, 2 nd ed. ( 1 st ed. Sep 2006), 1 vol. , X -384 s. , syk. og fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-10-058269-3 , EAN 9782100582693 , OCLC 816556703 , merknad BnF n o FRBNF42740481 , SUDOC 163817030 , online presentasjon , les online ).
[Peter og Uzan 2012] P. Peter og J.-Ph. Uzan ( pref. Of Th. Damour ), Primordial Cosmology , Paris, Belin , koll. "Stiger",Feb. 2012, 2 nd ed. ( 1 st ed. Sep 2005), 1 vol. , 816 s. , syk. , 17 x 24 cm ( ISBN 978-2-7011-6244-7 , EAN 9782701162447 , OCLC 793,482,816 , varsel BNF n o FRBNF42616501 , SUDOC 158,540,697 , elektronisk presentasjon , lese på nettet ).

Ordbøker og leksika

[Alkseevskiĭ 1995] (en) DV Alkseevskiĭ , “ Killing vector ” , i M. Hazewinkel ( red. ), Encyclopaedia of mathematics , t. III : Hea - Mom , Dordrecht and Boston, Kluwer Academic ,1995, 1 st ed. , 1 vol. , 950 s. , syk. , 30 cm ( ISBN 1-556-08010-7 , EAN 9781556080104 , OCLC 36916612 , DOI 10.1007 / 978-1-4899-3793-3 , SUDOC 030252288 , online presentasjon , les online ) , sv Killing vector ["vector of Killing ”], S. 391-392.
[Taillet, Villain and Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain and P. Febvre , Dictionary of physics , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , unntatt koll. ,Jan 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Mai 2008), 1 vol. , X -956 s. , syk. og fig. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224228161 , online presentasjon , les online ) , sv Killing (vektor av), s. 411, kol. 1.

Original artikkel

[Killing 1892] (de) W. Killing , “ Über die Grundlagen der Geometrie ” , J. queen angew. Matte. , vol. 109,Des. 1892, s. 121-186 ( Bibcode 1892JRAM..109 ..... K , les online ).

Relaterte artikler