Gauss-Codazzi ligninger
I Riemannian-geometri er Gauss-Codazzi-Mainardi- ligningene grunnleggende ligninger innenfor rammen av teorien om overflater nedsenket i et euklidisk rom , og mer generelt undermanifold av en Riemann-manifold . Det er også anvendelser i tilfelle av overflater nedsenket i en pseudo-Riemannian manifold .
I klassisk overflate geometri består Gauss-Codazzi-Mainardi ligningene av et par ligninger. Den første ligningen, noen ganger kalt Gaussisk ligning, knytter overflatens indre krumning (eller Gaussisk krumning ) til derivatene av det Gaussiske kartet , via den andre grunnleggende formen . Denne ligningen er selve grunnlaget for Gauss teorem egregium . Den andre ligningen, noen ganger kalt Codazzi-Mainardi-ligningen , er en strukturell tilstand på de andre derivatene av Gauss-kartet. Denne ligningen involverer overflatens ytre krumning (eller gjennomsnittlig krumning ). Disse ligningene viser at komponentene i den andre grunnleggende formen og dens derivater helt klassifiserer overflaten til en euklidisk transformasjon , som utgjør en av teoremene til Pierre-Ossian Bonnet .
Formell uttalelse
La i: M ⊂ P være en n -dimensjonal undervariasjon nedsenket i en Riemannsk manifold P med dimensjon n + p . Det eksisterer en naturlig inkludering av tangentbunten til M i den av P , og kokernelen er den normale bunten av M :
0→TxM→TxP|M→Tx⊥M→0.{\ displaystyle 0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ perp} M \ rightarrow 0.}Metrikken gir følgende eksakte effekt :
TP|M=TM⊕T⊥M.{\ displaystyle TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ perp} M.}Etter denne sekvensen brytes Levi-Civita-forbindelsen ∇ ′ av P ned i en tangentiell komponent og en normal komponent. For hvert X ∈ T M og vektorfelt Y på M ,
∇X′Y=⊤(∇X′Y)+⊥(∇X′Y).{\ displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ top (\ nabla' _ {X} Y) + \ bot (\ nabla '_ {X} Y).}Er
∇XY=⊤(∇X′Y),α(X,Y)=⊥(∇X′Y).{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ top (\ nabla '_ {X} Y), \ quad \ alpha (X, Y) = \ bot (\ nabla' _ {X} Y).}Gauss formel sørger så for at ∇ X er Levi-Civita tilkobling for M , og α er et symmetrisk vektor differensial skjema med verdier i det normale bunten.
En umiddelbar følge er Gauss-ligningen. For X , Y , Z , W ∈ T M ,
⟨R′(X,Y)Z,W⟩=⟨R(X,Y)Z,W⟩+⟨α(X,Z),α(Y,W)⟩-⟨α(Y,Z),α(X,W)⟩{\ displaystyle \ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ langle \ alpha (X, Z), \ alpha (Y, W) \ rangle - \ langle \ alpha (Y, Z), \ alpha (X, W) \ rangle}hvor R er krumn tensor P og R er M .
Den Weingarten ligning er en analog av Gauss formel for en forbindelse i den normale bunten. La X ∈ T M og ξ være et felt med normale vektorer. Deretter spaltes det kovariantderivatet av ξ på X til normale og tangentielle komponenter:
∇Xξ=⊤(∇Xξ)+⊥(∇Xξ)=-PÅξ(X)+DX(ξ).{\ displaystyle \ nabla _ {X} \ xi = \ top (\ nabla _ {X} \ xi) + \ bot (\ nabla _ {X} \ xi) = - A _ {\ xi} (X) + D_ {X} (\ xi).}Så
-
Weingarten ligninger :⟨PÅξX,Y⟩=⟨α(X,Y),ξ⟩{\ displaystyle \ langle A _ {\ xi} X, Y \ rangle = \ langle \ alpha (X, Y), \ xi \ rangle}
-
D X er en metrisk forbindelse (en) i den normale pakken.
Det er derfor et par forbindelser: ∇, definert på tangentbunten til M ; og D , er satt til den normale bunt av M . Disse to kombineres for å gi en forbindelse på et hvilket som helst tensorprodukt av T- M og T ⊥ M . Spesielt definerer de fullstendig det kovariante derivatet av α:
(∇~Xα)(Y,Z)=DX(α(Y,Z))-α(∇XY,Z)-α(Y,∇XZ).{\ displaystyle ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) = D_ {X} \ left (\ alpha (Y, Z) \ right) - \ alpha (\ nabla _ { X} Y, Z) - \ alpha (Y, \ nabla _ {X} Z).}Den Codazzi-Mainardi ligningen gir
⊥(R′(X,Y)Z)=(∇~Xα)(Y,Z)-(∇~Yα)(X,Z).{\ displaystyle \ bot \ left (R '(X, Y) Z \ right) = ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) - ({\ tilde {\ nabla} } _ {Y} \ alpha) (X, Z).}
Uttalelse av klassiske ligninger
I klassisk differensialgeometri uttrykkes Codazzi-Mainardi-ligningene generelt med den andre grunnleggende formen:
ev-fu=eΓ121+f(Γ122-Γ111)-gΓ112{\ displaystyle e_ {v} -f_ {u} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f (\ Gamma _ {12} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {1}) - g \ Gamma _ {11} ^ {2}}
fv-gu=eΓ221+f(Γ222-Γ121)-gΓ122{\ displaystyle f_ {v} -g_ {u} = e \ Gamma _ {22} ^ {1} + f (\ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ {12} ^ {1}) - g \ Gamma _ {12} ^ {2}}
Bevis på klassiske ligninger
De andre derivatene av en parameterisert overflate (in) kan uttrykkes i basen så vel som Christoffel-symbolene og den andre grunnleggende formen.
(Xu,Xv,IKKE){\ displaystyle (X_ {u}, X_ {v}, N)}
Xuu=Γ111Xu+Γ112Xv+eIKKE{\ displaystyle X_ {uu} = \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {v} + eN}
Xuv=Γ121Xu+Γ122Xv+fIKKE{\ displaystyle X_ {uv} = \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {v} + fN}
Xvv=Γ221Xu+Γ222Xv+gIKKE{\ displaystyle X_ {vv} = \ Gamma _ {22} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {22} ^ {2} X_ {v} + gN}
De Schwarz teorem angir at de følgende partielle deriverte pendle:
(Xuu)v=(Xuv)u{\ displaystyle \ left (X_ {uu} \ right) _ {v} = \ left (X_ {uv} \ right) _ {u}}Hvis vi skiller med hensyn til v og med hensyn til u, får vi:
Xuu{\ displaystyle X_ {uu}}Xuv{\ displaystyle X_ {uv}}
(Γ111)vXu+Γ111Xuv+(Γ112)vXv+Γ112Xvv+evIKKE+eIKKEv=(Γ121)uXu+Γ121Xuu+(Γ122)uXv+Γ122Xuv+fuIKKE+fIKKEu{\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {11} ^ {1} \ right) _ {v} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {uv} + \ left (\ Gamma _ { 11} ^ {2} \ høyre) _ {v} X_ {v} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {vv} + e_ {v} N + eN_ {v} = \ left (\ Gamma _ {12} ^ {1} \ høyre) _ {u} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {uu} + \ venstre (\ Gamma _ {12} ^ {2} \ høyre) _ {u} X_ {v} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {uv} + f_ {u} N + fN_ {u}}Hvis vi erstatter de ovennevnte uttrykk for andre derivater og tilsvarer koeffisientene til N:
fΓ111+gΓ112+ev=eΓ121+fΓ122+fu{\ displaystyle f \ Gamma _ {11} ^ {1} + g \ Gamma _ {11} ^ {2} + e_ {v} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f \ Gamma _ {12 } ^ {2} + f_ {u}}ved å omorganisere vilkårene, finner vi den første Codazzi-Mainardi-ligningen.
Merknader og referanser
(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på
engelsk med tittelen
" Gauss-Codazzi ligninger " ( se listen over forfattere ) .
-
(La) Carl Friedrich Gauss , " Disquitiones Generales circa Superficies Curvas " , Comm. Soc. Gott. , vol. 6,1828
-
til ære for Gaspare Mainardi (de) (1856) og Delfino Codazzi (1868-1869), som uavhengig fant dette resultatet. Jf. (No) Morris Kline (en) , Mathematical Thought from Ancient to Modern Times: Volume 3 , OUP ,1972, 399 s. ( ISBN 978-0-19-506137-6 , leses online ) , s. 885.
-
Ossian Bonnet , “ Memoir on the theory of overflates applicable to a given surface ”, JEP , vol. 25,1867, s. 31-151
-
Terminologi (in) Michael Spivak , (A Comprehensive Introduction to) Differential Geometry [ detaljutgaver ], flygning. 3
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">