Transponert søknad

I matematikk og mer presist i lineær algebra er det transponerte kartet over et lineært kart u : E → F mellom to vektorrom kartet t u : F * → E * mellom deres dualer definert av:

\ forall \ ell \ i F ^ {*}, \ qquad ^ {\ operatorname {t}} \! u (\ ell) = \ ell \ circ u

eller igjen, hvis er kroken til dualiteten til E : ${\ displaystyle \ langle \ ;, \ \ rangle}$

\ forall x \ i E, \ forall \ ell \ i F ^ {*}, \ qquad \ langle ^ {\ operatornavn {t}} \! u (\ ell), x \ rangle = \ langle \ ell, u ( x) \ rangle.

Den resulterende lineære formen kalles transponert kartet over langs . ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! u (\ ell) \ in E ^ {*}}$ $\ Ell$ $u$

Denne definisjonen generaliserer til K- moduler til høyre på en ring (ikke nødvendigvis kommutativ ), og husk at doble av et K- modul til høyre er et K- modul til venstre, eller en høyre modul på l ' motsatt ring K op .

Eiendommer

Kartet t u som dermed er assosiert med u er, som det, lineært.
Kartet som knytter transponering til et lineært kart kalles transposisjon. Det er i seg selv et lineært kart, fra L ( E , F ) til L ( F *, E *).
Transposisjonssøknaden er kompatibel med sammensetningen : hvis u er lineær fra E til F og v lineær fra F til G , $^ {\ operatorname {t}} \! (v \ circ u) = ^ {\ operatorname {t}} \! u \ circ ^ {\ operatorname {t}} \! v.$ (Spesielt hvis u er en isomorfisme, så er det inverse av transponeringen av u lik transponeringen av det inverse av u .)
For alle delene A av E og B av F har vi [ u ( A )] ⊥ = ( t u ) −1 ( A ⊥ ), og u ( A ) ⊂ B ⇒ t u ( B ⊥ ) ⊂ A ⊥ .
Hvis E og F er endelige dimensjonale vektorrom på et kommutativt felt , med respektive baser B og C , så er matrisen til transponeringen av u , i de doble basene C * og B *, transponeringen av matrisen til u i databaser B og C : $mat_ {C ^ {*}, B ^ {*}} (^ {\ operatorname {t}} \! u) = ^ {\ operatorname {t}} \! (mat_ {B, C} (u)).$ Faktisk, hvis B = ( e 1 ,…, e n ) og C = ( f 1 ,…, f m ), er elementet til indeksene i, k i matrismatemat C *, B * ( t u ) 〈t u ( f k *), e i > og elementet av indeksene k, i i matrisen matten B , C ( u ) er < f k *, u ( e i )>.
Gitt det faktum at grunnmassen av et kompositt er produktet av matrisene , en funn, fra de to foregående punkter, med formelen T ( AB ) = t B . t A .

Søknad transponert generelt

Begrepet transponert spiller inn på en mye mer generell måte. Hvis vi har en applikasjon mellom to sett: $f$

$f: X \ høyre pil Y$ .

Vi trekker for ethvert sett en søknad : $Z$ $f ^ {*}$

${\ displaystyle f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {Set} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {Set} (X, Z)}$

definert av hvor betegner settet med tilordninger av in . $f ^ {*} (g) = g \ circ f$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {Ensemble} (A, B)}$ $B ^ A$ $PÅ$ $B$

Hvis , og er grupper , kan vi bruke nøyaktig samme definisjon for å konstruere $X$ $Y$ $Z$

$f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {Group} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {Group} (X, Z)$

hvor denne gangen angir settet med morfismer av grupper av in . $\ mathrm {Hom} _ {Group} (A, B)$ $PÅ$ $B$

Den tran Man kan også definere en ring homomorfi , av topologiske rom , av topologiske vektorrom , etc.

Denne konstruksjonen faller derfor innenfor den generelle rammen for kategoriteori .

Hvis er en kategori , er objekter av, og er et element av . Så for ethvert objekt av , er det en applikasjon som heter transponering av : ${\ mathfrak {C}}$ $X$ $Y$ ${\ mathfrak {C}}$ $f$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (X, Y)}$ $Z$ ${\ mathfrak {C}}$ $f ^ {*}$ $f$

${\ displaystyle f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (X, Z)}$ .

Det er bildet av den funktor Hom kontravariante av de kategorisett . ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (f, Z)}$ $f$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (\ cdot, Z)}$ ${\ mathfrak {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ens}}$

Merknader

Ved å sette (λμ) y * = y *. (Μ.λ) hvor (μ, y *) ↦ μ y * er handlingen av K på F *, (μ, y *) ↦ y * .μ er virkningen av K op på F *, (λ, μ) ↦ λμ er produktet i K , (λ, μ) ↦ μ.λ er produktet i K op , etc.
Å bli tatt i "ℤ-lineær" forstand, dvs. morfisme av abeliske grupper , hvis ringen ikke er kommutativ.
Dette er tilfellet for K -modules rett fri finitely på en ring K ikke nødvendigvis er kommutativ, den transponerte av en matrise med koeffisienter i K deretter å være en matrise med koeffisienter i K op .

Relatert artikkel

Assistent operatør