Avgrenset del av et topologisk vektorrom

I funksjonell analyse og i relaterte matematiske felt , sies det at en del av et topologisk vektorrom er avgrenset (i betydningen von Neumann) hvis noe nabolag av nullvektoren kan utvides for å inneholde denne delen. Dette konseptet ble introdusert av John von Neumann og Andrei Kolmogorov i 1935.

Avgrensede deler er en naturlig måte å definere polære (en) ( lokalt konvekse ) topologier på de to vektorområdene til et dobbeltpar .

Definisjon

En del B i et topologisk vektorrom E sies å være avgrenset hvis det for noe nabolag V av nullvektoren eksisterer en skalar α slik at B er inkludert i settet, betegnet α V , av vektorer med formen α x med x i V .

Eksempler og moteksempler

Enhver begrenset del er avgrenset.
Betegnelsene for en Cauchy-sekvens danner en avgrenset del, men ikke de av en generalisert Cauchy- sekvens .
Enhver relativt kompakt del av en evt er avgrenset. Hvis rommet har en svak polartopologi, er det omvendte sant.
Et underområde som ikke tegner et separat, er aldri begrenset.

Eiendommer

Hvis det grunnleggende topologiske feltet er verdsatt og ikke diskret (vanligvis: hvis det er feltet med reelle tall ), er en del B av E avgrenset hvis og bare hvis:

for en hvilken som helst sekvens (λ n ) av skalarer som har en tendens mot 0 og en hvilken som helst sekvens ( x n ) av elementene i B, har sekvensen (λ n x n ) en tendens mot nullvektoren.

Hvis e.vt E er lokalt konveks, dvs. hvis topologien er definert av en familie ( p i ) i ∈ I av semi-normer , er en del B av E avgrenset i ovennevnte forstand hvis og bare hvis den er avgrenset til hver p i , det vil si hvis det av indeksen i , eksisterer det et reelt M jeg slik at ${\ displaystyle \ forall x \ i B, \ quad p_ {i} (x) \ leq M_ {i}}$ .Spesielt hvis E er et normert vektorrom , er B avgrenset i betydningen ovenfor hvis og bare hvis det er avgrenset for normen.
Enhver forhåndskompakt del av en separat evt er avgrenset.
Den tilslutning av en avgrenset del er begrenset.
I et lokalt konveks rom er den konvekse konvolutten til en avgrenset del avgrenset. (Uten den lokale konveksitetsforutsetningen er dette feil: for eksempel har mellomrommene L p for 0 < p <1 ikke ikke-trivielle konvekse åpninger.)
Alle homotetiske , oversatte , endelige gjenforeninger og endelige summer av avgrensede deler er avgrenset.
Hvis en lineær operator er kontinuerlig, er den avgrenset , det vil si at den sender en hvilken som helst avgrenset del over en avgrenset del. Det omvendte er sant hvis startrommet er pseudometrisk .
Et lokalt konvekst rom er semi-normabelt hvis og bare hvis det er lokalt avgrenset, dvs. hvis det har et avgrenset nabolag på 0.
Den polare sett av en avgrenset del er helt konveks (en) og absorbent .

Bornologisk rom

Ikke forveksles med et bornologisk vektorrom .

Definisjon

Et lokalt konvekst rom E på feltet av realer eller komplekser sies å være bornologisk hvis noen balansert konveks del M av E som absorberer de avgrensede delene B av E (dvs. som er slik at det eksisterer α> 0 slik at λ M ⊃ B for | λ | ≥ α) er et nabolag fra 0 i E .

En tilsvarende definisjon er som følger:

La være et lokalt konveks rom (hvor betegner den lokale konvekse topologien til dette rommet) og betrakte den fineste lokalt konvekse topologien som har samme avgrensning i E som . Da er bornologisk hvis (og bare hvis) . ${\ displaystyle E [{\ mathfrak {T}}]}$ ${\ mathfrak T}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ prime}}$ ${\ mathfrak T}$ ${\ displaystyle E [{\ mathfrak {T}}]}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} = {\ mathfrak {T}} ^ {\ prime}}$

Eiendommer

En induktiv grense for bornologiske rom er et bornologisk rom.
Et kvotientrom i et bornologisk rom er bornologisk (på den annen side er ikke et lukket underrom av et bornologisk rom nødvendigvis bornologisk).
Et semi-normert vektorrom er bornologisk.
Et lokalt konveks metiserbart rom er bornologisk.
En semi-komplett bornological plass er en induktiv grense av banachrom (fordi det er ultrabornological: se nedenfor ). Spesielt er et Fréchet-rom en induktiv grense for Banach-rom.
Et tellbart produkt av bornologiske rom er bornologisk.
Den sterke dualiteten til et refleksivt Fréchet- rom er bornologisk (og tøylet ).
Den sterke dualiteten til et bornologisk rom er fullført.
Et lokalt konvekst rom E er bornologisk hvis og bare hvis noen avgrenset lineær operator av E i et annet lokalt konveks rom er kontinuerlig.
Enhver sekvensielt kontinuerlig lineær operatør av et bornologisk rom i et annet lokalt konveks rom er avgrenset.

Eksempler

Den Schwartz plass S (ℝ n ) med avtagende funksjoner på ℝ n er et Fréchet plass, derfor er bornological.
La Ω være en ikke-åpen åpning for ℝ n, eller mer generelt, en differensialmanifold med endelig dimensjon parakompakt , og ℰ (Ω) funksjonsrommet uendelig differensierbart i Ω. Dette rommet er bornologisk, fordi det er et Fréchet-rom.
La Ω være som ovenfor, og rommet til uendelig differensierbare funksjoner med kompakt støtte inkludert i Ω, utstyrt med den vanlige strenge induktive grensetopologien til en sekvens av Fréchet-mellomrom. Dette rommet er bornologisk. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ left (\ Omega \ right)}$
La K en ℂ kompakt undersett av n og den plass av bakterier av analytiske funksjoner i en åpen nabolag av K . Dette rommet er bornologisk, fordi det er en induktiv grense for Fréchet-rom. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right)}$

Ultrabornologisk rom

Definisjon

En Hausdorff lokalt konveks plass E på feltet av reelle eller komplekse sies ultrabornological hvis noen del av konveks E som absorberer de konvekse partier, balansert, avgrenset og semi-full av E er et nabolag av 0 i E .

Eiendommer

Et ultrabornologisk rom er bornologisk og tønne.

Et bornologisk og halvfullstendig rom er ultrabornologisk. Spesielt er et Fréchet-rom ultrabornologisk.

For at et separat lokalt konveks rom skal være ultrabornologisk, er det nødvendig og tilstrekkelig for at det skal være den induktive grensen til en familie av Banach-rom. Følgelig (ved transitivitet av de induktive grensene) er den induktive grensen atskilt fra en familie av ultrabornologiske rom ultrabornologisk.

Generalisering

Hvis M er et topologisk modulus (i) på en topologisk ring R , del B av M er kalt avgrenset hvis for hver området V av nullvektoren av M , eksisterer det et nabolag w skalar null av R som wB inkluderes i V .

Referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Bounded set (topological vector space) " ( se listen over forfattere ) .
N. Bourbaki , topologiske vektorområder , Springer ,2006, 364 s. ( ISBN 3-540-34497-7 )
(en) AP Robertson og WJ Robertson , Topological vector spaces , CUP ,1980, 2 nd ed. ( les online ) , 44–46
(en) Helmut H. Schaefer (de) og Manfred P. Wolff , Topological Vector Spaces , Springer, koll. " GTM " ( n o 3)1970( ISBN 0-387-05380-8 , leses online ) , 25–26
Laurent Schwartz , Distribusjonsteori , Paris, Hermann ,1966, 418 s. ( ISBN 2-7056-5551-4 )