Lokalt integrerbar funksjon

I matematikk , spesifikt integrasjonsteori Lebesgue , sies en funksjon til verdier av kompleks som er satt til en åpen $Ω$ på $inte n$ lokalt integrerbar hvis begrensningen til all kompakt av $Ω$ er integrerbar med Lebesgue-målet $λ n$ . Den vektorrommet av disse funksjonene er betegnet $ℒ en loc (Ω)$ og dens kvotient av den underrom av null funksjoner nesten overalt er betegnet med $L 1 loc (Ω)$ .

Tilsvarende definisjoner

For enhver funksjon $f : Ω \to ℂ$ er følgende egenskaper ekvivalente:

$f$ er lokalt integrerbar (i betydningen ovenfor);
$f$ er Lebesgue - målbar og for hvilken som helst kompakt $K$ på $Ω$ , ${\ displaystyle \ int _ {K} | f | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n} <+ \ infty \,;}$
for en hvilken som helst testfunksjon $φ$ på $Ω$ (dvs. en hvilken som helst funksjon C ∞ med en kompakt støtte av $Ω$ i ℂ), $f φ$ er Tsjebysjov-polynomer;
$f$ er Lebesgue-målbar og for enhver testfunksjon $φ$ på $Ω$ , ${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | f \ varphi | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n} <+ \ infty.}$

Enhver integrerbar funksjon er lokalt integrerbar.
Mer generelt $L 1 loc$ (Ω) inneholder $L p (Ω)$ for alle $p \in [1, + \infty]$ .
Enhver lokalt avgrenset målbar funksjon (spesielt en kontinuerlig funksjon ) er lokalt integrerbar.
Funksjonen $f$ definert (nesten overalt) av $f ( x ) = 1 / x$ - som derfor hører til $L 1 loc$ (ℝ *) - hører ikke til $L 1 loc$ (ℝ).

$L 1 loc (Ω)$ er et Fréchet-rom , for sin lokalt konvekse romstruktur assosiert med familien, indeksert av kompakter $K$ av $Ω$ , av semi-normer $║ ║ K$ definert av:

{\ displaystyle \ | f \ | _ {K} = \ int _ {K} | f | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n}.}