Identitet (matematikk)

I matematikk brukes ordet "identitet" i flere betydninger: det kan for eksempel betegne et veldefinert objekt som spiller en bestemt rolle i en familie av objekter (man snakker altså om funksjonsidentiteten blant funksjonene, av elementets identitet. i en gruppe , av matriseidentiteten blant matriser , etc.).

Denne artikkelen er viet til en annen betydning: en identitet er en likhet mellom to uttrykk som er sanne uansett verdiene til de forskjellige variablene som brukes; ved språkbruk misbruker vi noen ganger også "identitet" en likhet mellom konstante vilkår , som man anser som grunnleggende eller overraskende. Identiteter brukes vanligvis til å transformere ett matematisk uttrykk til et annet, for eksempel for å løse en ligning , eller for å uttrykke et viktig forhold mellom visse elementer i en teori.

Eksempler

• I trigonometri brukes mange identiteter til å utføre beregninger.
  For eksempel,synd2⁡(x)+cos2⁡(x)=1{\ displaystyle \ sin ^ {2} (x) + \ cos ^ {2} (x) = 1}er en identitet i riktig forstand, uansett verdien av det virkelige (og til og med komplekse ) tallet .x{\ displaystyle x}
• Den identitet Vandermonde , i kombinatorikk , gjelder for alle verdier av de tre naturlige tall som griper inn der.
• Eulers berømte identiteteJegπ+1=0{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi} + 1 = 0}lenker på en enkel og slående måte grunnleggende konstanter for matematisk analyse  : 0  ; 1  ; jeg  ; π  ; og e .

Bemerkelsesverdige identiteter

Noen algebraiske identiteter er kvalifisert som "bemerkelsesverdige" i videregående opplæring . De letter beregning eller faktorisering av polynomiske uttrykk.

For eksempel gir den bemerkelsesverdige identiteten , som er sant uansett elementene og en kommutativ ring (som for de relative heltallene eller feltet for de reelle tallene ...) en beregningsmetode for å utføre en multiplikasjon hvis man har enkel lister over firkanter: bruker (på+b)2=på2+2påb+b2{\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}på{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}

påb=(på+b)2-på2-b22{\ displaystyle ab = {\ dfrac {(a + b) ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2}}}

påb=(på+b)2-(på-b)24{\ displaystyle ab = {\ dfrac {(a + b) ^ {2} - (ab) ^ {2}} {4}}}

beregningen av produktet kommer ned til beregninger av summer eller divisjoner med 2, og å lese listen over firkanter. påb{\ displaystyle ab}

Identiteter som definerer matematiske forestillinger

Noen matematiske strukturer er definert ved hjelp av identiteter.

• Et vektorrom med et antisymmetrisk bilinært kart er per definisjon en Lie-algebra når Jacobi-identiteten er tilfreds:V{\ displaystyle V \,} [⋅,⋅]:V×V→V{\ displaystyle \ left [\ cdot, \ cdot \ right]: V \ ganger V \ rightarrow V \,}∀x,y,z∈V,[x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0{\ displaystyle \ forall x, y, z \ i V, \ qquad \ venstre [x, \ venstre [y, z \ høyre] \ høyre] + \ venstre [z, \ venstre [x, y \ høyre] \ høyre ] + \ venstre [y, \ venstre [z, x \ høyre] \ høyre] = 0}
• En algebra over en feltkommutativ er per Jordan-algebra per definisjon når den interne multiplikasjonsoperasjonen er kommutativ og bekrefter identiteten til Jordan .(x,y)→(x⋅y){\ displaystyle (x, y) \ rightarrow (x \ cdot y)}(x⋅y)⋅(x⋅x)=x⋅(y⋅(x⋅x)){\ displaystyle (x \ cdot y) \ cdot (x \ cdot x) = x \ cdot (y \ cdot (x \ cdot x))}

Merknader

1. N. Bourbaki snakker om "polynomiske identiteter" til de virkelige forholdene til formen Q ( P 1 , ..., P n ) = 0 med Q , P 1 , ..., P n av polynomer med koeffisienter hele . Den bemerkelsesverdige identiteter på college er spesielle tilfeller, se N. Bourbaki , Elementer av matematikken. Algebra , Paris, CCLS,1970, kap.  3, s.  27.

Eksterne linker

• Encyclopedia of Equation Online leksikon med matematiske identiteter