K-teori

I matematikk er K-teori et verktøy som brukes i flere fagområder. I algebraisk topologi , det K-teori topologisk (i) tjener teori cohomology . En variant brukes i algebra under navnet algebraisk K-teori .

De første resultatene av K-teorien var innenfor rammen av algebraisk topologi, som en ekstraordinær kohomologiteori (den verifiserer ikke dimensjonsaksiomet). Deretter ble disse metodene brukt i mange andre felt som algebraisk geometri, algebra, tallteori, operatørteori, etc.

Historie

Det var Alexandre Grothendieck som laget den første konstruksjonen av en gruppe K-teorier i sitt arbeid med teoremet, nå kjent som Grothendieck-Riemann-Roch-teoremet . Han introduserte fullføringen av additivkategorien ( isomorfismeklasser av) skiver av abeliske grupper (utstyrt med den direkte summen ) ved hjelp av formelle inverser . Denne ideen ble tatt opp av Michael Atiyah og Friedrich Hirzebruch for å definere gruppen K ( X ) i et topologisk rom , ved å gjøre den samme konstruksjonen for vektorbunter . Denne konstruksjonen var den første "ekstraordinære kohomologiske teorien" innen algebraisk topologi . Bruken av den var grunnleggende for demonstrasjonen av den berømte " indekssetningen " til Michael Atiyah og Isadore Singer , et verk som vant den første forfatteren Fields Medal i 1966, og begge Abelprisen i 2004.

Videre stolte Jean-Pierre Serre på analogien mellom vektorpakker og projiserende moduler på en ring for å finne den algebraiske K-teorien i 1959. Dette førte til at han påpekte et åpent problem som vi kalte til tross for seg selv " Serre-gjetningen " : Enhver prosjektiv modul på en ring av polynomer i et legeme er en fri modul. Denne antagelsen ble bevist i 1976, av Daniel Quillen og Andrei Suslin ved hjelp av algebraiske K-teorimetoder. Quillen ga et tilfredsstillende definisjon av den funktorer K n , ved hjelp av homotopic teori.

I tillegg til matematikerne som allerede er nevnt, er Max Karoubi en av grunnleggerne av K-teorien.

Bott frekvens

$K ( X \times S 2 ) = K ( X ) \otimes K (S 2 )$ og $K (S 2 ) = ℤ [ H ] / ( H - 1) 2$ , hvor $H$ er klassen for bunten i tautologiske linjer på $S 2 = ℂP 1$ .
$\ tilde K ^ {n + 2} (X) = \ tilde K ^ n (X).$
$\ Omega ^ 2 \ mathrm {BU} \ simeq \ mathrm {BU} \ times \ Z.$

K-teorien av et Banachs algebra A (enhetlig eller ikke) og dens unitarized A 1 er relatert:

K 0 ( A 1 ) = K 0 ( A ) ⊕ ℤ og K 1 ( A 1 ) = K 1 ( A ).

K-teorien til C * -algebra for kontinuerlige funksjoner på et kompakt rom Y blir således utledet fra subalgebraen til null kontinuerlige funksjoner ved et fast punkt y , med andre ord, av algebra C 0 ( X ) kontinuerlige funksjoner null ved uendelig på det lokalt kompakte underområdet X = Y \ { y } (for Y = S n , X = ℝ n ).

Vi har også følgende katalog:

$PÅ$	$K_ {0} (A)$	$K_ {1} (A)$
${\ mathbb K}$	$\ mathbb {Z}$	${\ displaystyle 0}$
${\ mathbb B}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0}$
${\ mathbb B} / {\ mathbb K}$	${\ displaystyle 0}$	$\ mathbb {Z}$
$C_ {0} (\ mathbb {R} ^ {{2n}})$	$\ mathbb {Z}$	${\ displaystyle 0}$
$C_ {0} (\ mathbb {R} ^ {{2n + 1}})$	${\ displaystyle 0}$	$\ mathbb {Z}$
$A _ {\ theta}$	$\ mathbb {Z} ^ {2}$	$\ mathbb {Z} ^ {2}$
$C_ {r} ^ {*} (F_ {n})$	$\ mathbb {Z}$	$\ mathbb {Z} ^ {n}$
${\ mathcal T}$	$\ mathbb {Z}$	${\ displaystyle 0}$
${\ mathcal O} _ {n}$	$\ mathbb {Z} / (n-1) \ mathbb {Z}$	${\ displaystyle 0}$
${\ mathcal O} _ {\ infty}$	$\ mathbb {Z}$	${\ displaystyle 0}$

eller

${\ mathbb K}$ er C * -algebra for kompakte operatører av et Hilbert-rom som ikke er null (av endelig eller uendelig dimensjon);
${\ mathbb B}$ er C * -algebra av avgrensede operatører av et uendelig dimensjonalt Hilbert-rom;
$A _ {\ theta}$ er den ikke-kommutative torusen til dimensjon 2 assosiert med et irrasjonelt tall ; $\ theta$
$C_ {r} ^ {*} (F_ {n})$ er den reduserte C * -algebra (en) for den frie gruppen over n elementer; $F_ {n}$
${\ mathcal T}$ er Toeplitzs algebra ;
${\ mathcal O} _ {n}$ og er Cuntz-algebraene (en) generert henholdsvis av n elementer og en uendelig av elementer. ${\ mathcal O} _ {\ infty}$

Begrepet ikke-kommutativ torus blir lett generalisert til høyere dimensjoner. Disse ikke-kommutative toriene har samme K-teori som deres kommutative analoger .

La A og B være to C * -algebraer med A i klassen til Universell koeffisientsteori , derav kjernefysisk (de) . Det eksisterer da en nøyaktig kort sekvens av abelske grupper ℤ 2- studenter :

$0 \ rightarrow K _ * (A) \ otimes K _ * (B) \ rightarrow K _ * (A \ otimes B) \ rightarrow {\ rm Tor} ^ {\ Z} _1 (K _ * (A), K _ * (B)) \ høyre pil 0,$

der det første ikke-trivielle kartet er av grad 0 og det andre av grad 1. Tor-funksjonen gjør det således mulig å uttrykke den mulige mangelen på surjectivity av den injiserende morfismen .

For eksempel, siden K 0 (C (S 1 )) = K 1 (C (S 1 )) = ℤ (uten torsjon ), har algebraen C (S 1 ) ⊗ n av kontinuerlige funksjoner på torusen til dimensjonen n for K-teori: K 0 ⊕ εK 1 = (ℤ ⊕ εℤ) ⊗ n (med ε 2 = 1), det vil si ℤ 2 n –1 ⊕ εℤ 2 n –1 .

K-teori og fysikk

I strengteori har K-teori gitt en god beskrivelse av tillatte ladninger av D-braner .

Merknader og referanser

"Vi vet ikke om det er endelige prosjektive A-moduler som ikke er gratis. " " Sammenhengende algebraiske skiver ", matematikkannaler , 1955.
For andre eksempler, se (i) " Eksempler på K-teorigrupper " på PlanetMath og (i) DO Wegge-Olsen (i) , K-teori og C * -algebras , Oxford Science Publications, 1993.
(i) Mr. Pimsner og , DV Voiculescu , “ K-grupper med reduserte kryssprodukter av frie grupper ” , J. Operator Theory , vol. 8, n o 1,1982, s. 131-156 ( les online ), horn. 3.2.
(in) Bruce Blackadar (of) , Operator algebras ( ISBN 978-3-540-28486-4 , les online ) , s. 417, teorem V.1.5.10.

Se også

Relaterte artikler

Eksterne linker

(no) Allen Hatcher , Vector Bundles & K-Theory , i PDF og PostScript
(no) " K-theory Preprint Archives "
(no) " K-theory " , på PlanetMath
(no) " K- homology " , på PlanetMath