K -topologi

I matematikk er K -topologien , eller Smirnov- topologien til den undertrykte sekvensen , en spesiell topologi på mengden ℝ av reelle tall , finere enn den vanlige topologien, og for hvilken settet K av inversene til ikke-null naturlige heltall er lukket (mens for den vanlige topologien er 0 , som ikke tilhører K , et akkumuleringspunkt for K ). Andre bemerkelsesverdige egenskaper ved dette rommet gjør det til et nyttig moteksempel i generell topologi .

Definisjon

La K = {1 / n | n ∈ ℕ *}. Den familie av alle åpne virkelige intervaller ] et , b [og av alle settene i form ] en , f [\ K danner en topologi basis . Den topologi generert av denne familien kalles K -topologie på ℝ og dette topologisk rom er notert her ℝ K .

Eiendommer

• Denne topologien er finere enn den vanlige topologien på ℝ (er derfor atskilt og til og med fra Urysohn som den), men er ikke sammenlignbar med topologien til Sorgenfrey-linjen .
• Det har et tellbart grunnlag (kan derfor skilles , med tellbare baser av nabolag og Lindelöf ).
• Rommet ℝ K er koblet sammen , men ikke forbundet med buer fordi det har to komponenter forbundet med buer: ] −∞, 0] og ] 0, + ∞ [ .
• Den er derfor ikke lokalt forbundet med buer .
• Videre er det ikke engang lokalt koblet til 0 (men er på et hvilket som helst annet punkt).
• Delen K er uendelig og uten akkumuleringspunkt, derfor er K ikke tellbar kompakt (derfor heller ikke sekvensielt kompakt , siden den har et tellbart grunnlag).
• På samme måte er intet underområde som inneholder K (som segmentet [0, 1]) talt kompakt.
• Den kvotient plass ℝ K / K blir ikke skilt fra hverandre.
• ℝ K er ikke vanlig (den lukkede K og punktet 0 er ikke atskilt  (in) av to usammenhengende åpninger ), men det er et mellomrom G δ .
• Det er ikke parakompakt (siden det ikke er normalt ), men bare metakompakt  (en) .

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen "  K-topology  " ( se listen over forfattere ) .

1. (en) James Munkres , Topology , Prentice Hall ,2000, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1975), 537  s. ( ISBN  978-0-13-181629-9 , leses online ) , s.  82 : "  The topologien generert av ℬ" vil bli kalt Utløpt K-topologi er ℝ. Når ℝ gis denne topologien, vi betegner det ved ℝ K .  "
2. (in) Lynn Arthur Steen og J. Arthur Seebach, Jr. , moteksempler i topologi , Dover ,1995( 1 st  ed. Springer , 1978), 244  s. ( ISBN  978-0-486-68735-3 , les online ), Moteksempel 64: "  Smirnovs slettede sekvens topologi  "
3. Det er faktisk den eneste.