Lemma av Hensel
I matematikk er Hensels lemma et resultat som gjør det mulig å utlede eksistensen av en rot av et polynom fra eksistensen av en omtrentlig løsning . Den er oppkalt etter matematikeren fra det tidlige XX - tallet Kurt Hensel . Demonstrasjonen er analog med Newtons metode .
Begrepet Henselian ring grupperer ringene der Hensels lemma gjelder. De vanligste eksemplene er ℤ p (ringen av p -adiske heltall , for p et primtall ) og k [[ t ]] (ringen av formell serie over et felt k ) eller mer generelt, ringene med fullstendig diskret verdivurdering .
Uttalelser
Vi betrakter et polynom P med koeffisienter i ℤ p (ringen av p -adiske heltall , med p prime ).
Hensels lemmaversjon 1.
Hvis det er slik
α0∈Zs{\ displaystyle \ alpha _ {0} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(α0)≡0(mods)etP′(α0)≢0(mods),{\ displaystyle P (\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p}} \ quad {\ rm {et}} \ quad P '(\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}},}
da eksisterer den slik at
α∈Zs{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(α)=0etα≡α0(mods).{\ displaystyle P (\ alpha) = 0 \ quad {\ rm {and}} \ quad \ alpha \ equiv \ alpha _ {0} {\ pmod {p}}.}
Mer generelt, hvis en Noetherian-ring A er komplett for I -adisk topologi for et bestemt ideal I, og hvis P er et polynom med koeffisienter i A , vil ethvert element α 0 av A slik at, modulo I , P (α 0 ) er null og P ' (α 0 ) er inverterbar , stiger unikt i en rot av P i a .
Tilstanden er viktig. Dermed har ligningen ingen løsning i (en slik løsning skal være kongruent til 2 modulo 5 ; posering , vi ville derfor ha , noe som er absurd, siden 30 ikke er delelig med 25), mens den har en i , siden den er delbar med 5; dette er forklart fordi det er identisk null i .
P′(α0)≢0(mods){\ displaystyle P '(\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}}}
X5=2{\ displaystyle X ^ {5} = 2}
Z5{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {5}}
på{\ displaystyle a}
på=2+5x{\ displaystyle a = 2 + 5x}
2=(2+5x)5=32+5×16×5x+10×8×(5x)2+...{\ displaystyle 2 = (2 + 5x) ^ {5} = 32 + 5 \ ganger 16 \ ganger 5x + 10 \ ganger 8 \ ganger (5x) ^ {2} + \ prikker}
Z/5Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}
25-2{\ displaystyle 2 ^ {5} -2}
P′(X){\ displaystyle P '(X)}
Z/5Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}
Hensels lemma versjon 2.
Hvis det eksisterer slik, for noen heltall N , har vi det
α0∈Zs{\ displaystyle \ alpha _ {0} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}P′(α0)≡0(modsIKKE),P′(α0)≢0(modsIKKE+1)etP(α0)≡0(mods2IKKE+1),{\ displaystyle P '(\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {N}}}, \ quad P' (\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {N + 1}}} \ quad {\ rm {and}} \ quad P (\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {2N + 1}}},}
da eksisterer den slik at
α∈Zs{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {p}}P(α)=0etα≡α0(modsIKKE+1).{\ displaystyle P (\ alpha) = 0 \ quad {\ rm {and}} \ quad \ alpha \ equiv \ alpha _ {0} {\ pmod {p ^ {N + 1}}}.}
Hensels lemma versjon 3.
La K være et komplett felt som ikke er arkimedisk verdsatt , | ∙ | en absolutt verdi på K assosiert med verdsettelsen, O K dens ring av heltall , f ∈ O K [ X ] og x et element av O K slik atvs.: =|f(x)f′(x)2|<1.{\ displaystyle c: = \ left | {\ frac {f (x)} {f '(x) ^ {2}}} \ right | <1.}
Så:
- sekvensen definert av og gjentakelsesformelen: er veldefinert og tilfredsstiller(xikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
x0: =x{\ displaystyle x_ {0}: = x}
xikke+1: =xikke-f(xikke)f′(xikke){\ displaystyle x_ {n + 1}: = x_ {n} - {\ frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {n})}}}
|f(xikke)|⩽vs.2ikke|f′(x0)|2et|xikke+1-xikke|⩽vs.2ikke|f′(x0)| ;{\ displaystyle \ vert f (x_ {n}) \ vert \ leqslant c ^ {2 ^ {n}} \ vert f '(x_ {0}) \ vert ^ {2} \ quad {\ rm {and}} \ quad \ vert x_ {n + 1} -x_ {n} \ vert \ leqslant c ^ {2 ^ {n}} \ vert f '(x_ {0}) \ vert ~;}
- den konvergerer i O K til en rot ξ av f og∀ikke∈IKKE|ξ-xikke|⩽|f(x)f′(x)|2ikke ;{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ vert \ xi -x_ {n} \ vert \ leqslant \ left | {\ frac {f (x)} {f '(x)}} \ right | ^ {2 ^ {n}} ~;}
-
ξ er den eneste roten til f i den åpne kulen til O K med senter x og radius | f ( x ) / f '( x ) | .
Hensels lemma versjon 4.
Enhver fullstendig lokal ring er Henselian (i) , det vil si A betegner denne ring og k dets restfelt , at hvis en enhet polynom f ∈ A [ X ] er for bildet i k [ X ] et produkt av to polynomer g og h prim mellom dem , så g og h er hevet inn i to polynomer av A [ X ] av produkt f .
Dette " Hensel " -lemmaet ble demonstrert av Theodor Schönemann i 1846.
applikasjoner
Hensels lemma kan brukes i mange forskjellige situasjoner.
Familie med ortogonale idempotenter
La A være en lokal eterisk ring, komplett for M- adic topologi assosiert med dens maksimale ideelle M , og B en kommutativ A- algebra , av endelig type som A- modul . Så hver familie av idempotents "ortogonale" av B / MB stiger, unikt, i en familie av ortogonale idempotents av B .
Faktisk er idempotentene røttene til polynomet P ( X ): = X 2 - X , og hvis P ( e ) er null, er P ' ( e ) sin egen invers. Nå B er fullført (i) for topologien MB -adic, slik at, takket være den lemmaet av Hensel (versjon 1 ovenfor) for å møte hverandre idempotent av B / MB i en idempotent av B . Til slutt, hvis to idempotenter av B er ortogonale modulo MB , så er de i det absolutte: deres produkt x er null fordi (av fullstendighet) 1 - x er inverterbar, eller x (1 - x ) = 0.
Faktorisering av polynomer med heltallskoeffisienter
Algoritmene for faktorisering av polynomer med heltallskoeffisienter i irredusible faktorer, bruker først en faktorisering i et endelig felt som deretter må settes sammen igjen i ringen for et visst k av . Denne gjenopprettingen gjøres takket være et spesielt tilfelle av Hensels lemma, angitt nedenfor:
Fs{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}
Z/s2kZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}}
IKKE{\ displaystyle \ mathbb {N}}
La p være et primtall, og P et polynom med heltallskoeffisienter, enhetlig, spaltet til et produkt av to polynomer med koeffisienter i .
G0H0{\ displaystyle G_ {0} H_ {0}}
Z/sZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}
Vi antar og primer innbyrdes av Bézout-koeffisienter i .
G0{\ displaystyle G_ {0}}
H0{\ displaystyle H_ {0}}
U0,V0{\ displaystyle U_ {0}, V_ {0}}
Z/sZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}
Så for alt er det en unik firdobling av polynomer som:
k∈IKKE{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}
Z/s2kZ,(Gk,Hk,Uk,Vk){\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}, (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}
- forXk+1=Xk[s2k]{\ displaystyle X_ {k + 1} = X_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}]}![{\ displaystyle X_ {k + 1} = X_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3cf84fa23d1d23372f5fb42eb1ae8cbc07c829e)
X∈{Gk,Hk,Uk,Vk}{\ displaystyle X \ in \ lbrace G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k} \ rbrace}
- er førsteklasses innbyrdes, enhetlige, med Bézout-koeffisienter iGk,Hk{\ displaystyle G_ {k}, H_ {k}}
Uk,Vk{\ displaystyle U_ {k}, V_ {k}}
Z/s2kZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}}
- P=GkHk{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k}}
Demonstrasjon
La oss fortsette med induksjon på .
k{\ displaystyle k}
Initialiseringen er gitt av hypotesen.
For arvelighet antar vi eksistensen av for en viss rang . Vi prøver å bygge .
(Gk,Hk,Uk,Vk){\ displaystyle (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}
k⩾0{\ displaystyle k \ geqslant 0}
(Gk+1,Hk+1){\ displaystyle (G_ {k + 1}, H_ {k + 1})}
Vi har, etter hypotese, at det derfor eksisterer slik at .
P=GkHk [s2k]{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k}}]}![{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfde7c628c3ae0aa82ad6cbae7bbf5353dace572)
Rk∈Z/s2kZ[X]{\ displaystyle R_ {k} \ in \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}} [X]}![{\ displaystyle R_ {k} \ in \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3349636b43f2aad976a8c3971260ae3827954ab)
P-GkHk=s2kRk [s2k+1]{\ displaystyle P-G_ {k} H_ {k} = p ^ {2 ^ {k}} R_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}![{\ displaystyle P-G_ {k} H_ {k} = p ^ {2 ^ {k}} R_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a543b4b47f1369b8b6c8c484454234e22795f81d)
Vi kaller og de respektive restene av den euklidiske inndelingen av par og par .
hk{\ displaystyle h_ {k}}
gk{\ displaystyle g_ {k}}
UkRk{\ displaystyle U_ {k} R_ {k}}
Hk{\ displaystyle H_ {k}}
VkRk{\ displaystyle V_ {k} R_ {k}}
Gk{\ displaystyle G_ {k}}
Vi stiller {Gk+1=Gk+s2kgkHk+1=Hk+s2khk{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} + p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} + p ^ {2 ^ {k}} h_ {k} \\\ end {array}} \ right.}
La oss sjekke at det passer:
Ved bygging, {Gk+1=Gk[s2k]Hk+1=Hk[s2k]{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\\ end {array}} \ right.}![{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\\ end {array}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b983be24a6e53ae8f96e7390a00bbf0dbb91ea)
De dominerende koeffisientene og er de av og fordi , og resultatet fra en euklidsk divisjon. Så og er enhetlige, og vi bekrefter ved en enkel beregning at .
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}
Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}
Gk{\ displaystyle G_ {k}}Hk{\ displaystyle H_ {k}}gk{\ displaystyle g_ {k}}hk{\ displaystyle h_ {k}}Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}P=Gk+1Hk+1 [s2k+1]{\ displaystyle P = G_ {k + 1} H_ {k + 1} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}![{\ displaystyle P = G_ {k + 1} H_ {k + 1} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17d5ad36bfb9b3f8163bbf9936da18498fd85d7)
Til slutt viser vi, ved å vise Bézout-koeffisienter, at og er coprime.
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}
Vi stiller {Uk+1=2Uk-Gk+1Uk2 mod Hk+1Vk+1=2Vk-Hk+1Vk2 mod Gk+1{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} U_ {k + 1} = & 2U_ {k} -G_ {k + 1} U_ {k} ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1} \\ V_ {k + 1} = & 2V_ {k} -H_ {k + 1} V_ {k} ^ {2} ~ mod ~ G_ {k + 1} \\\ end {array}} \ right .}
Vi har: .
Uk+1Gk+1=1-(UkGk+1-1)2 mod Hk+1{\ displaystyle U_ {k + 1} G_ {k + 1} = 1- (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1}}
Og som fullfører beviset.
(UkGk+1-1)2=(Uks2kgk-HkVk)2 modHk+1=(Uks2kgk-(Hk+1-skhk)Vk)2 modHk+1=0{\ displaystyle (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} -H_ {k} V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} - (H_ {k + 1} -p ^ {k} h_ {k}) V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = 0}
Følgende algoritme gjør det mulig å konstruere polynomene og lemmaet.
Gk,Hk,Uk,{\ displaystyle G_ {k}, H_ {k}, U_ {k},}
Vk{\ displaystyle V_ {k}}
Entrée : p un nombre premier, k un entier,
P,G,H,U,V{\displaystyle P,G,H,U,V}
des polynômes avec
P=GH [p]{\displaystyle P=GH~[p]}![{\displaystyle P=GH~[p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9444bce91e86153b2f562db7735c64f585ca3cc0)
et
GU+HV=1 [p]{\displaystyle GU+HV=1~[p]}![{\displaystyle GU+HV=1~[p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024d8eb8462b685f9c919609b395f30fb08bacac)
Sortie :
G,H,U,V{\displaystyle G,H,U,V}
tels que
P=GH [p2k]{\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}![{\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b164bb35a11322eeb8afff355f575f5d70d9acce)
et
GU+HV=1 [p2k]{\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}![{\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9612a2e376a23d0ad1399993e3ceb1cf3475d81d)
Pour i = 1 à k-1
R←P−GHpi{\displaystyle R\leftarrow {\dfrac {P-GH}{p^{i}}}}
G←H+pi{\displaystyle G\leftarrow H+p^{i}}
*Div_Euclide
(UR,H){\displaystyle (UR,H)}
H←G+pi{\displaystyle H\leftarrow G+p^{i}}
*Div_Euclide
(VR,G){\displaystyle (VR,G)}
U←{\displaystyle U\leftarrow }
Div_Euclide
(2U−U2G,H){\displaystyle (2U-U^{2}G,H)}
V←{\displaystyle V\leftarrow }
Div_Euclide
(2V−V2H,G){\displaystyle (2V-V^{2}H,G)}
retourne
(G,H,U,V){\displaystyle (G,H,U,V)}
Merknader og referanser
-
(i) Akhil Mathew, " Fullføringer " på cring-prosjekt .
-
(i) David Eisenbud , kommutativ algebra: med utsikt mot algebraisk geometri , Springer al. " GTM " ( n o 150)1995, 785 s. ( ISBN 978-0-387-94269-8 , leses online ) , s. 189-190indikerer at den "lokale" hypotesen ikke er nødvendig (utsagnet er da gyldig for ethvert ideal M av A ), og utvider beviset på eksistens (uten unikhet) til tilfellet hvor A ikke er kommutativ, men bare for en familie til mest tellbare .
-
Det vil si hvis produkter to og to er null.
-
Abuaf Roland og Boyer Ivan, " Faktorisering iZ[X]{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}
![{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
", mestertale foreslått av François Loeser ,20. juni 2007( les online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">