Affine lov

En affin lov er en fysisk eller matematisk lov som forbinder to størrelser x og y i form av en affin funksjon  :

y = ƒ ( x )

med

ƒ ( x ) = øks + b

koeffisientene a (helling) og b (y-skjæringspunkt) er konstanter.

Når skjæringspunktet b er null,

ƒ ( x ) = øks

vi snakker om lineær lov eller proporsjonal lov .

Betydningen av affine lover

Tenk på to fenomener hvis intensitet varierer; betegne x intensiteten til den ene, og y intensiteten til den andre. Hvis x og y varierer samtidig, kan vi anslå at mengdene er relatert, og deres variasjoner sies å være korrelert  . det er da fristende å ønske å koble seg sammen med en lov av typen

y = ƒ ( x )

Den enkleste loven for å beskrive en korrelert variasjon er affineloven: det anslås at variasjonene av intensitetene er proporsjonale, eller til og med at intensitetene er proporsjonale (lineær lov).

Fire saker kan oppstå:

• i matematikk,
  • det er vist at to størrelser er forbundet med en affin eller lineær lov; dette er en eksakt lov;
    for eksempel er omkretsen p av en sirkel proporsjonal med dens radius r  : p = 2π r  ;
  • loven som forbinder de to størrelsene er mer kompleks, men som en første tilnærming kan vi redusere oss til en affin lov, typisk ved å utføre en utvidelse begrenset til ordre 1; dette gjør det i noen tilfeller mulig å trekke interessante konklusjoner på en enkel måte, se Asymptotisk sammenligning  ;
• i eksperimentelle vitenskaper  :
  • den utviklede teorien viser at to størrelser er forbundet med en affin eller lineær lov;
    for eksempel for en ensartet rettlinjet bevegelse på abscisseaksen, varierer posisjonen x på en affin måte med hensyn til tiden t  : x = x 0 + vt  ;
    observasjoner eller eksperimenter gjør det mulig å validere eller ugyldiggjøre denne loven;
  • teorien gir en sammensatt lov, men som, som i matematikk, kan betraktes som en første tilnærming som affin;
    for eksempel er Hookes lov en lineær lov for små stammer; i store deformasjoner blir det asymmetrisk;
  • teorien gir en såkalt “  kraft  ” -lov , av typen y = a⋅x α  ; plottet på en log-log diagram , får vi en lineær lov, ln ( y ) = ln ( en ) + α⋅ln ( x );
    se for eksempel pH i kjemi, eller begrepet desibel for filtre i elektronikk;
    globalt kan transformasjonen av en av variablene gjøre det mulig å redusere til en lineær studie;
  • vi har ikke en teori som gir en lov; affineloven er den første loven som blir testet.

Den store forskjellen mellom lovene i matematikk og lovene i de eksperimentelle vitenskapene er målefeilen . Den eksperimentelle bestemmelsen av koeffisientene gjøres ved lineær regresjon  ; verifiseringen av lovens relevans (er det legitimt å bruke en affin lov) gjøres ved å beregne den lineære korrelasjonskoeffisienten .

Affine lover er også av største betydning for interpolasjon eller ekstrapolering . Faktisk, når man ikke kjenner loven som forbinder to størrelser og at man har få poeng, er det "mest fornuftige" å anta at loven er raffinert lokalt. Feilen man begår er så moderat så lenge den virkelige loven er monoton i den sonen som blir vurdert, og desto mer som krumningen av loven er svak - enten som en første tilnærming at | ƒ | er svak.

Merk at begrepet linearitet avhenger av synspunktet. For eksempel, i elektrisitet, loven som gjelder intensiteten av strømmen til spenningen ved terminalene til en passiv dipol

Jeg = U / R

er lineær i U, og proporsjonalitetskoeffisienten er 1 / R; men det er en omvendt lov i R.

Eksempler på affin lov

Lineære lover i geometri

Beregning av omkretsen p av en ligesidig polygon  :

• ensidig trekant med side a  : p = 3 a  ;
• kvadrat av side a  : p = 4 a  ;
• vanlig polygon (og mer generelt ligesidig) med n sider av lengden a  : p = na .

Beregning av den utviklede lengden L av en bue av en sirkel med radius r og vinkel θ (i radianer ):

• L = θ r  ;
• sirkelens omkrets: P = L (2π) = 2π r .

Avgrens lover i mekanikk

Amplitude av en bevegelse i en galilensk referanseramme  :

• ensartet rettlinjet bevegelse (null akselerasjon) langs abscisseaksen: forholdet mellom posisjonen x og øyeblikkelig t '( konstant øyeblikkelig hastighet v )
  x = x 0 + vt  ;
• jevn rotasjonsbevegelse (null vinkelakselerasjon) rundt en fast akse: forholdet mellom orienteringen θ og øyeblikket t ( konstant vinkelhastighet ω)
  θ = θ 0 + ω t  ;
• sklisikkert lager: forholdet mellom kjøretøyets øyeblikkelige hastighet v og øyeblikkelig vinkelhastighet ω på eikerhjulet r
  v = r ω.

Elastisk deformasjon  :

• ideell lov om fjærer for trekkraft eller kompresjon, som relaterer kraften som utøves til forlengelsen Δ x , for en fjær av stivhet k
  F = k Δ x
• loven om strekkfjærene for små deformasjoner
  F = F 0 + k Δ x
• Hookes lov om relativ forlengelse ε til spenning (kraft per arealeenhet ) σ til et materiale med Youngs modul E (stivhet)
  σ = Eε

Lineære lover i elektrisitet

• Ohms lov

Lineære lover i termodynamikk

• forholdet mellom varmen dQ absorbert av et system med masse m og varmekapasiteten ved konstant trykk C p , som en funksjon av temperaturvariasjonen dT
  dQ = m C p dT
• charles lov
• Gay-Lussac lov

Affine lover i kjemi

Hvilken er den mest passende affine loven?

Foruten det faktum at det "representerer" oppførselen til visse systemer godt, er affineloven en lov som er lett å håndtere. Spesielt er det enkelt å reversere . Når du utfører komplekse beregninger, kan det være interessant å erstatte en funksjon med en affin funksjon for å komme frem til et resultat raskere og sikrere. Dette resultatet kan da tas som det er, ellers kan det brukes som grunnlag for en mer presis beregning.

Når den "virkelige" ƒ-loven tydeligvis ikke foredler, reiser dette spørsmålet: hvilken lov som foredler ƒ ble brukt i stedet for den faktiske loven?

Svaret på dette spørsmålet avhenger av konteksten til beregningen og forventet resultat.

Hvis vi jobber med en hel rekke [ x 1  ; x 2 ], vil den tilpassede affinefunksjonen trolig være den lineære regresjonen av den virkelige loven over dette intervallet. Dermed minimerer vi det kvadratiske avviket mellom det virkelige punktet y = ƒ ( x ) og det omtrentlige punktet y a = ƒ a ( x ) (ellers x a = ƒ a -1 ( y )).

Hvis vi har et "operasjonspunkt" ( x 0 , ƒ ( x 0 )), vil vi ha nytte av å jobbe med tangenten til kurven på dette punktet: dette gjør det mulig å minimere den absolutte forskjellen mellom det virkelige punktet og punktet nærmet seg. Derfor vil ƒ a være den første ordens begrensede utvidelse av ƒ i x 0 .

Hvis beregningen derimot består i å komme til driftspunktet fra et gitt startpunkt x d (typisk x d = 0), vil det være fordelaktig å ta ledningstilkoblingen ( x d , ƒ ( x d ) ) til ( x 0 , ƒ ( x 0 )). Dermed er vi sikre på at beregningene er nær virkeligheten rundt avgangs- og ankomstpunktene.