Eksperimentell matematikk

Den eksperimentelle matematikken er en tilnærming der beregninger (hovedsakelig gjøres av datamaskiner) brukes til å utforske egenskapene til objekter matematikk, og oppdage forhold og mønstre mellom disse objektene.

Historisk

Denne tilnærmingen til matematikk har alltid eksistert: De eldste tekstene, som de i Mesopotamisk matematikk , er vanligvis dannet av lister med numeriske eksempler som illustrerer algebraiske identiteter. Men fra XVII -  tallet har matematikere utviklet en formell presentasjon, abstrakt stil, og bringer eksempler som har ført til at formuleringen av den generelle teorien ikke lenger blir publisert, og blir vanligvis glemt (selv om vi kjenner noen unntak, ofte hentet fra korrespondansen. av matematikere seg imellom, slik som tilnærmingen som førte til at Gauss formulerte primtallsetningen ).

Som en separat fagområde, eksperimentelle matematikk dukket opp igjen i XX th  tallet oppfinnelsen av datamaskiner i betydelig grad å øke arealet av mulige beregninger, i tillegg til deres hastighet og nøyaktighet. Et betydelig eksempel på denne fremgangen er oppdagelsen i 1995 av BBP-formelen som gir (binære) sifre på π. Denne formelen ble oppdaget, ikke ved en teoretisk analyse, men ved numeriske undersøkelser, og et strengt bevis på dens gyldighet ble gitt først deretter.

Mål og bruksområder

Målet med eksperimentell matematikk er:

1. Forbedre intuisjonen.
2. Oppdag nye relasjoner og nye strukturer.
3. Bruk grafiske fremstillinger som klargjør begreper.
4. Test antagelser, spesielt for å tilbakevise dem.
5. Utforsk resultatene for å bygge en streng demonstrasjon.
6. Erstatt komplekse demonstrasjoner med beregninger som er i stand til automatisk bekreftelse.

Og mer generelt "å gjøre matematikk mer håndgripelig, livlig og munter, enten det er for profesjonelle eller for nybegynnere"

Verktøy og teknikker

Den numeriske analysen er det foretrukne feltet for eksperimentell matematikk; mange verktøy er utviklet for å bestemme (med mye større presisjon enn behovene til ikke-matematiske brukere) verdiene til løsninger av ligninger, integraler, serier eller uendelige produkter osv., spesielt ved bruk av multi-presisjonsregningen , disse verdier blir ofte bestemt med flere hundre signifikante sifre, eller til og med, for visse viktige konstanter, for eksempel flere milliarder. Av spesialiserte algoritmer (in) brukes deretter til å bestemme forholdet mellom tallene som er funnet og kjente konstanter; beregning med høy presisjon gjør sannsynligheten for å forveksle et sant forhold til en matematisk tilfeldighet ubetydelig . Vi prøver da å skaffe oss et grundig bevis på den relasjonen som er funnet, slik bevis er ofte lettere å oppnå når den eksakte formen for forholdet er kjent. Omvendt gjør disse beregningene det ofte mulig å ekskludere eksistensen av et slikt forhold med høy grad av sannsynlighet, og dermed forsterke antagelser som den algebraiske uavhengigheten av e og π. π{\ displaystyle \ pi} 

Søket etter moteksempler, samt etablering av demonstrasjoner ved uttømmende søk , kan føre til bruk av distribuerte databehandlingsmetoder for å distribuere beregningene på flere datamaskiner.

Computer algebra systemer som Mathematica blir ofte brukt , selv om spesialisert programvare er også ofte laget for studiet av spesialiserte problemer som krever optimalisering av beregninger (i begynnelsen av 1960-tallet, da andre generasjon datamaskiner var fortsatt veldig populære. Ineffektiv, det har til og med hendt at spesialiserte kretser er blitt bygget, for eksempel for å få fart på faktoriseringsberegninger av store heltall. Denne situasjonen kan sammenlignes med det nåværende søket etter kvantedatamaskiner som er i stand til å implementere Shors algoritme ). Denne programvaren inneholder vanligvis mekanismer for å oppdage og korrigere feil, for eksempel ved hjelp av korrigerende koder og overflødige beregninger, og minimerer risikoen for falske resultater på grunn av feil i maskinvaren eller feil i selve programvaren.

Til slutt tillater grafikkprogrammer visualisering av mange objekter (noen ganger bemerkelsesverdig abstrakte), noe som letter forståelsen av visse fenomener, for eksempel reversering av sfæren (dette var spesielt tilfelle for studiet av fraktale gjenstander , som hele Mandelbrot. ), eller til og med oppdagelsen av skjulte forhold (som i tilfelle Ulam-spiralen ).

Søknader og eksempler

Følgende liste (ikke uttømmende) gir en ide om mangfoldet av anvendelser av eksperimentell matematikk:

• Søk etter moteksempler
  • Roger Frye brukte disse teknikkene for å oppnå det minste moteksemplet til Eulers antagelser .
  • ZetaGrid- prosjektet prøver å beregne et moteksempel til Riemann-hypotesen .
  • På samme måte søker dette prosjektet på grunn av Tomás Oliveira e Silva (en) et moteksempel til Syracuse-antagelsen .

• Finne nye eksempler på tall eller objekter med bestemte egenskaper
  • The Great Internet Mersenne Prime Search søker etter nye Mersenne Prime- nummer .
  • OGR-27-prosjektet distribuerte.net ser etter optimale Golomb-regler .
  • Den skjermen Riesel  (i) er et forskningsprosjekt av de minste antall Riesel .
  • Seventeen eller Bust- prosjektet leter etter det minste antallet Sierpiński .
  • Vi kan også klassifisere konstruksjonene til enkle grupper i denne kategorien som førte til klassifiseringsteoremet , for eksempel den eksplisitte konstruksjonen av gruppen E 8 .

• Tilfeldig oppdagelse av nye strukturer
  • Den Lorenz attraktor , en av de første eksemplene på en kaotisk dynamisk system , ble oppdaget av Edward Lorenz da han ble interessert i anomalier i oppførselen til en numerisk modell av klimaet.
  • Den Ulams spiral ble tilfeldigvis oppdaget av Stanislaw Ulams (i dette tilfelle nøyaktig, forsøket ble først utført for hånd).
  • Eksistensen av Feigenbaum-tall ble først antatt av Mitchell Feigenbaum som et resultat av utilsiktede numeriske observasjoner, ti år før en tilfredsstillende teori som førte til en streng demonstrasjon dukket opp.

• Bruk av programmer for å verifisere et stort antall saker i datamaskinstøttede demonstrasjoner .
  • Utkastet til Thomas Hales- verifisering av bevis på Kepler-antagelsen ble gjort nødvendig ved avslag fra redaksjonene i settet.
  • De nåværende kjente bevisene for firefargesetningen krever kontroll av flere hundre saker; det er ennå ikke funnet noen forenkling som fører til en menneskelig verifiserbar demonstrasjon.
  • Demonstrasjonen av at det ikke eksisterte et endelig prosjektivt plan av orden ti, krevde kontroll av tusenvis av undertilfeller, tilsvarende den uttømmende utforskningen av et tre av muligheter som har omtrent en billion grener.

• Symbolverifisering (ved bruk av datamaskinalgebra ) av antagelser, motiverende søket etter en analytisk demonstrasjon.
  • Løsninger på et spesielt tilfelle av de tre kvantekroppsproblemet, dihydrogenkationen , ble funnet i serieform ved bruk av klassiske kvantekjemiske metoder, før symbolsk analyse viste at de alle tilsvarte en enkelt løsning av lukket form , ved hjelp av en generalisering av Lamberts W-funksjon . Dette arbeidet førte også til oppdagelsen av et tidligere uventet forhold mellom gravitasjonsteorien og kvantemekanikken: Flere detaljer finner du i dilatonartikkelen , så vel som i artiklene kvantegravitasjon og mer presis teori .
  • I studiet av den relativistiske N-legeme problem , nærmere bestemt den tidsmessig symmetrisk teori for Wheeler og Feynman , ekvivalensen mellom en avansert Liénard-Wiechert potensial av virkningen av partikkel j på partikkel i og at av partikkel jeg virker på j ble vist ved å beregne for å bestille før den ble demonstrert matematisk (denne teorien har nylig fått interesse igjen på grunn av arbeid på ikke-lokalitet ).1/vs.10{\ displaystyle 1 / c ^ {10}}
  • Inden for ikke-lineær optikk har verifisering av utviklingen i serie av konvolutten til det elektriske feltet som tilsvarer forplantningen av ultrakort lyspulser i et ikke-isotropisk medium vist at utviklingen som ble brukt til da var ufullstendig; tilleggsperioden er funnet å være i samsvar med erfaring.
• Evaluering av serier , uendelige produkter og integraler (se også om dette emnet artikkelen Risch-algoritme ), som ofte bruker høypresisjonsberegninger (flere hundre sifre), og søk  deretter algoritmer for relasjoner ( for eksempel Plouffe-inverteren ) for å relatere resultatet til kjent konstanter. Dermed ble følgende identitet antatt av Enrico Au-Yeung, som studerte under ledelse av Jonathan Borwein i 1993, ved bruk av PSLQ-algoritmen  (in)  : (men det var allerede kjent og bevist)∑k=1∞1k2(1+12+13+⋯+1k)2=17π4360{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {1} {2} } + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {k}} \ right) ^ {2} = {\ frac {17 \ pi ^ {4}} {360}} \ end {align}}}
• Grafiske utforskninger
  • De Julia sett og annet fraktal relatert til studiet av dynamiske systemer , ble undersøkt i begynnelsen av XX th  århundre av flere matematikere ( Julia , Fatou , Poincaré ) som ga noen egenskaper, men ga opp trekningen; i Fractal objekter , forklarer Benoît Mandelbrot hvordan de første grafiske fremstillingene fikk ham til å tro at disse objektene faktisk var allestedsnærværende i naturen, og deretter, rundt 1980, ble egenskapene til Mandelbrot-settet først antatt på bildene som ble produsert, bruk av fargespill en viktig rolle i visualiseringen av noen av disse egenskapene.
  • I Indra's Pearls  (in) ( Pearls of Indra ) analyserte David Mumford forskjellige egenskaper ved Möbius-transformasjoner og grupperte Schottky  (in) med bilder av disse gruppene bygget på datamaskin, som "ga overbevisende ledetråder til sannsynligheten til mange formodninger, og veier for videre utforskning ”.

Åpne problemer

Visse relasjoner er tro mot meget stor presisjon, men vi vet ennå ikke om en streng demonstrasjon; et eksempel (som ser ut til å generalisere BBP-formelen ) er:

∑ikke=0∞(1(7ikke+1)2+1(7ikke+2)2-1(7ikke+3)2+1(7ikke+4)2-1(7ikke+5)2-1(7ikke+6)2)=? 2477∫π/3π/2Logg⁡|solbrun⁡t+7solbrun⁡t-7|dt,{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {(7n + 1) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(7n + 2) ^ {2}}} - {\ frac {1} {(7n + 3) ^ {2}}} + {\ frac {1} {(7n + 4) ^ {2}}} - {\ frac {1} {(7n + 5) ^ {2}}} - {\ frac {1} {(7n + 6) ^ {2}}} \ høyre) \, {\ stackrel {?} { =}} \ {\ frac {24} {7 {\ sqrt {7}}}} \ int _ {\ pi / 3} ^ {\ pi / 2} \ log \ left | {\ frac {\ tan t + {\ sqrt {7}}} {\ tan t - {\ sqrt {7}}}} \ høyre | dt \ end {justert}},}

likhet som er sjekket for de første 20 000 desimalene (til sammenligning stopper tilfeldighetene i neste avsnitt etter mindre enn 50 signifikante sifre). Mange andre lignende formler har nylig blitt oppdaget; den mest overraskende er kanskje gjetningen til Boris Gourevitch (oppdaget i 2002, og fremdeles ikke demonstrert i 2020):

∑ikke=0∞(1+14ikke+76ikke2+168ikke3)(2ikke!)7220ikke(ikke!)14=? 32π3{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(1 + 14n + 76n ^ {2} + 168n ^ {3}) (2n!) ^ {7}} {2 ^ { 20n} (n!) ^ {14}}} {\ stackrel {?} {=}} \ {\ Frac {32} {\ pi ^ {3}}}}.

Guillera påpeker at denne typen formler i prinsippet kunne demonstreres mekanisk, men at slike demonstrasjoner (utført i en realistisk tid) er utenfor rekkevidden til nåværende datamaskiner og programvare. Imidlertid ser det ut til at nye teknikker, inspirert av strengteorimetoder i 2012, har gjort det mulig å demonstrere noen av disse formlene.

Villedende antagelser

Til tross for det ovennevnte, er noen sannsynlige forhold bekreftet med høy grad av nøyaktighet, men er likevel falske. For eksempel  ; de to elementer er lik den 42 th  desimal; et eksempel på litt annen karakter er gitt av Borwein-integralene . ∫0∞cos⁡(2x)∏ikke=1∞cos⁡(xikke)dx≈π8{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos (2x) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {x} {n}} \ right) dx \ approx {\ frac {\ pi} {8}}}

Et annet eksempel som ikke omfattes av numerisk sammentreff er at høyden av de (heltallige) faktorer av x n - 1 (dvs. den største absoluttverdi av koeffisientene) ser ut til å være mindre enn eller lik høyden av den n -te cyclotomic polynom . Dette resultatet (dessuten ganske naturlig) ble verifisert av datamaskinen for n <10000. Ytterligere undersøkelser viste imidlertid at for n = 14235 er høyden på det nte cyklotomiske polynomet 2, men at det er en faktor av høyde 3. Denne typen feil antagelse (ved å undersøke et utilstrekkelig antall tilfeller) er veldig gammel; Pierre de Fermat hadde allerede trodd å være i stand til å bekrefte at tallene alle var prime , noe som bare er sant opp til n = 4: Euler viste at det er delelig med 641. 22ikke+1{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}} + 1} 225+1{\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {5}} + 1}

Selv om grafiske fremstillinger noen ganger er mer overbevisende enn streng demonstrasjon, kan de også være misvisende, til det punktet at berømte grafiske paradokser lenge har vært en del av matematisk folklore. Dermed så de første representasjonene av Mandelbrot-ensemblet ut til å vise mange isolerte øyer; de nesten usynlige filamentene som mer presise (og fargede) representasjoner har gjettet, til slutt førte til antagelser om at den var koblet til , noe som ble demonstrert av Hubbard og Douady , men enda mer presise antagelser (som tetthetsformodninger hyperbolske komponenter ) synes vanskelig å bekrefte eller motbevise ved å bruke den eneste tilnærmede versjonen som datamaskiner viser, en versjon som det dessuten ikke er lett å bevise at den ikke er for langt fra objektet "Ekte".

Endret navn på brukere

Følgende matematikere og informatikere har gitt betydelige bidrag til feltet eksperimentell matematikk:

• Fabrice Bellard
• David H. Bailey
• Jonathan borwein
• David epstein
• Helaman Ferguson  (en)
• Ronald Graham
• Thomas hales
• Donald Knuth
• Oren Patashnik
• Simon plouffe
• Eric W. Weisstein
• Doron Zeilberger

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen "  Eksperimentell matematikk  " ( se listen over forfattere ) .

1. (in) Eric W. Weisstein , "  Experimental Mathematics  " på MathWorld
2. Den primtall teoremet ble antatt av Gauss i 1792 eller 1793 (da han var bare 15 eller 16) ved å observere Lambert er primtall bordet , ifølge hans egne senere påstander: se Brev fra Gauss til Encke, 1849 (fra)  ; dessuten lyktes ikke Gauss med å demonstrere denne teoremet, og formulerte dessuten en mer presis formodning ... som viste seg å være falsk
3. (in) The Quest for Pi av David H. Bailey , Jonathan M. Borwein , Peter B. Borwein og Simon Plouffe .
4. (in) Jonathan Borwein Bailey, David, Matematikk ved eksperiment: Plausibel resonnement i det 21. århundre , AK Peters,2004( ISBN  1-56881-211-6 ) , s.  2, side 2
5. idem, side vii
6. Pi ble beregnet med ti tusen milliarder (10 13 ) desimaler i oktober 2011 ( (i) Alexander J. Yee og Shigeru Kondo, "  Runde 2 ... 10 billioner sifre av Pi  " ,22. oktober 2011); konstanter som det gyldne tallet , e eller Eulers konstant er også kjent med flere milliarder desimaler; se Alexander J. Yee & Raymond Chan, Nagisa - Large Computations .
7. For eksempel har det blitt vist at en generalisering av beviset på Apérys setning til saken ζ (5) i det vesentlige var umulig, fordi hjelpetallet ξ 5 som var nødvendig for et slikt bevis ikke var roten til noe polynom med en grad mindre enn 25 og koeffisienter mindre enn 10 300 ...
8. (in) Clement WH Lam, "  The Search for a Finite Projective Plane of Order 10  " , American Mathematical Monthly , vol.  98, nr .  4,1991, s.  305-318 ( les online )
9. (i) Bailey, David, "  New Math Formulas Discovered With Supercomputers  " , NAS News , Vol.  2, n o  241997; se også denne artikkelen om ζ (4) av DJ Borwein (en) , som viser at denne identiteten faktisk var kjent allerede i 1991.
10. HF Sandham og Martin Kneser, Den amerikanske matematiske månedlige, Advanced problem 4305, Vol. 57, nr. 4 (apr. 1950), s. 267-268
11. David Mumford , Series, Caroline; Wright, David, Indras perler: The Vision of Felix Klein , Cambridge,2002, viii  s. ( ISBN  0-521-35253-3 )
12. David H. Bailey og Jonathan M. Borwein, Highly Parallel, High-Precision Numerical Integration , april 2008
13. David H. Bailey og Jonathan M. Borwein, Future Prospects for Computer-Assisted Mathematics , desember 2005
14. (no) Denne artikkelen av M. Guillera lister opp et stort antall av dem, i form som identitetene som ble oppdaget av Ramanujan .
15. Gert Almkvist og Jesus Guillera, Ramanujans lignende serie av og streng theorie 1/π2{\ displaystyle 1 / \ pi ^ {2}} (en) .
16. Mer presist er høyden på Φ 4745 3 og 14235 = 3 × 4745. Se fortsettelsene til OEIS A137979 og A160338 .  

Se også

Relaterte artikler

• Bevisassistent
• Eksperimentell matematikk (tidsskrift)

Eksterne linker

• Eksperimentell matematikk , en artikkel av Jean-Paul Delahaye i Pour la science i 2005.
• Eksperimentell matematikk, den eksisterer , en konferanse av François Guénard om Canal-U i 2013.
• (no) Eksperimentell matematikkwebside (lenker og ressurser)
• (en) Senter for eksperimentell og konstruktiv matematikk (CECM) , Simon Fraser University
• (en) Samarbeidsgruppe for forskning i matematikkopplæring , University of Southampton
• (no) Å anerkjenne numeriske konstanter av David H. Bailey og Simon Plouffe
• (en) Psykologi i eksperimentell matematikk
• (no) En algoritme for alderen: PSLQ, en bedre måte å finne helhetsforhold på
• (no) Eksperimentell algoritmisk informasjonsteori
• (no) Eksempel på problemer med eksperimentell matematikk av David H. Bailey og Jonathan M. Borwein
• (no) Ti problemer i eksperimentell matematikk av David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Vishaal Kapoor og Eric W. Weisstein
• (en) Institutt for eksperimentell matematikk ved Universitetet i Duisburg og Essen