Relativt heltall

I matematikk er et relativt heltall et tall som vises som et naturlig tall som vi har lagt til et positivt eller negativt tegn som indikerer dets posisjon i forhold til 0 på en orientert akse. Positive heltall (større enn null) identifiseres med naturlige heltall  : 0, 1, 2, 3 ... mens negative heltall er deres motsetninger  : 0, −1, −2, −3 ... Heltallet 0 i seg selv er derfor det eneste tallet som er både positive og negative.

Et reelt tall er et helt tall hvis det ikke har noen brøkdel , det vil si hvis desimaltegnet ikke inkluderer et siffer (annet enn null ) "etter desimaltegnet".

Relative heltall brukes til å uttrykke forskjellen mellom to naturlige tall. Blant andre betydninger av forskjellen kan vi sitere posisjonen på en akse orientert i forhold til et referansepunkt (en akse med diskrete posisjoner , det vil si diskontinuerlig); beveger seg fra en opprinnelig posisjon, i begge retninger; eller variasjonen av et heltall, telles derfor i enheter (positiv variasjon for gevinst, negativ for tap).

Den sett av heltall betegnes "  Z  ", bokstav fett av teksten skrevet gradvis fortrengt av den håndskrevne manus med en skråstrek perforert  "ℤ". Tilstedeværelsen av en stjerne i overskrift ("  Z *") betegner vanligvis settet med relative heltall som ikke er null, selv om denne notasjonen noen ganger brukes for settet med inverterbare elementer av Z , det vil si paret av heltall {−1, 1}.  Betegnelsen "  Z - " betegner settet med negative heltall. Det er sjeldnere å finne betegnelsen "  Z +  ", erstattet av betegnelsen "  N  " av naturlige tall ved identifikasjon.

Dette settet er ( totalt ) bestilt for den vanlige sammenligningsforholdet arvet fra naturlige tall. Den er også utstyrt med operasjonene av addisjon og multiplikasjon som danner grunnlaget for forestillingen om ring i algebra .

Relative heltall kalles også noen ganger rasjonelle heltall , et navn som ikke skal forveksles med rasjonelle tall eller brøker. Dette navnet kommer fra det engelske rasjonelle heltallet , og betegner et bestemt tilfelle av algebraiske heltall , bygget på tallfeltet med rasjonelle tall . Vi finner dette navnet i Nicolas Bourbaki og visse matematikere som er en del av bevegelsen av moderne matematikk , inkludert Georges Papy .

Motivasjon

Hovedårsaken til innføringen av negative tall er evnen til å løse alle ligninger av skjemaet:

a + x = b , der x er det ukjente og a og b er parametere.

I settet med naturlige tall er det bare noen av disse ligningene som har en løsning.

5 + x = 8 hvis og bare hvis x = 3 9 + x = 4 har ingen løsning i settet med naturlige tall. Den har en løsning i settet med relative heltall som er -5.

Fragmenter av historien

Den første hentydningen til negative tall vises i indiske tekster som Arybhatiya til den indiske matematikeren Âryabhata (476-550) der reglene for addisjon og subtraksjon er definert. De negative tallene vises da som representerende gjeld og de positive tallene som kvitteringer. Noen hundre år senere, i skriftene til den persiske matematikeren Abu l-Wafa (940-998), vises produkter med negative tall med positive tall. Imidlertid forblir tallet fortsatt knyttet til fysiske størrelser, og det negative tallet har liten juridisk status . Al Khuwarizmi (783-850) foretrekker for eksempel i sitt arbeid Transposisjon og reduksjon å håndtere 6 typer kvadratiske ligninger i stedet for å vurdere subtraksjoner.

I Europa de relative tallene vises sent, vi vanligvis tillegger Simon Stevin (1548-1620) berømte regelen tegn for produktet av to relative tall. D'Alembert (1717-1783) selv i Encyclopedia ser relativt antall som en farlig idé.

“Vi må innrømme at det ikke er lett å fikse ideen om negative mengder, og at noen få smarte mennesker til og med har bidratt til å forvirre det med de upresise forestillingene de har gitt dem. Å si at den negative mengden er under ingenting, er å fremme noe som ikke kan unnfanges. De som hevder at 1 ikke kan sammenlignes med −1, og at forholdet mellom 1 & −1 er forskjellig fra forholdet mellom −1 & 1, er i en dobbel feil [...] Det er derfor egentlig ingen & absolutt isolert negativ mengde : −3 tatt abstrakt gir ingen tanker for sinnet. "

- D'Alembert, Reasoned Dictionary of Sciences, Arts and Crafts, vol. 11

Vi må vente i flere århundrer og fremveksten av formalismen for å se utseendet til en formell konstruksjon av settet med relative heltall fra ekvivalensklasser av par av naturlige heltall.

Det er til Richard Dedekind (1831-1916) vi skylder denne konstruksjonen. Selv brukte han bokstaven K for å betegne settet med relative heltall. Flere andre konvensjoner ble brukt, til Nicolas Bourbaki populariserte bruken av brevet , initialen til den tyske Zahlen (tall).

Driftsregler

I et relativt tall skiller vi tegnet (+ eller -) og den absolutte verdien  : −3 har den absolutte verdien 3.

Addisjon

Summen av to heltall med samme tegn oppnås ved å legge til de to absolutte verdiene og beholde det vanlige tegnet:

(−3) + (−5) = −8, som skrives som forkortet −3 - 5 = −8, og fjerner det operative tegnet +.

Summen av to relative heltall med motsatte tegn oppnås ved å beregne forskjellen mellom de to absolutte verdiene og tildele det heltallet med den største absolutte verdien:

(+3) + (−5) = −2, og skriver at vi forkorter til 3 - 5 = −2.

Multiplikasjon

Resultatet av en multiplikasjon kalles et produkt. Produktet av to relative tall med samme tegn er alltid positivt (+) og oppnås ved å ta produktet av de absolutte verdiene:

(+3) × (+4) = +12 som vi forkorter til 3 × 4 = 12 (−3) × (−7) = + 21 = 21

(+ er ikke obligatorisk hvis produktet ikke er negativt)

Produktet av to relative tall med forskjellige tegn er alltid negativt (-) og oppnås ved å ta produktet av de absolutte verdiene

(+7) × (−4) = −28

Tegnregel

mer multiplisert med mer , gir produktet mer . mindre ganget med mindre , gir produktet mer mindre ganget med mer eller mer multiplisert med mindre gir produktet mindre

Sett med heltall

Konstruksjon

Settet Z av relative heltall kan sees på som symmetrisering av halvringen N av naturlige heltall.

Struktur

Settet med relative heltall, utstyrt med dets lover for addisjon og multiplikasjon, er prototypen til forestillingen om ring . Det er til og med en euklidisk ring , med referanse til den euklidiske divisjonen . Det er derfor også hoved og faktoriell .

Den kan forsynes med den diskrete topologien assosiert med den vanlige avstanden indusert av den absolutte verdien av forskjellen, noe som gjør det til et komplett metrisk rom . De eneste andre avstandene som er kompatible med ringstrukturen, er p -adiske avstander , der p er et primtall .

Den additive gruppe struktur ( Z , +) er et vridnings fri monogent gruppe , dvs. en fri abelsk gruppe av rang 1.

Settet Z er fullstendig bestilt for den vanlige ordrerelasjonen.

De relative heltallene danner et uendelig tellbart sett .

Utvidelser

Settet Z med heltall stuper inn i alle desimaltall , betegnet D , som selv er en del av settet av rasjonale tall bemerket Q .

Begrepet heltall utvides med definisjonen av algebraiske heltall , som er til forskjellige tallfelt hva relative heltall er til feltene med rasjonelle tall . De rasjonelle heltallene, det vil si de algebraiske heltallene i feltet med rasjonelle tall, er derfor nøyaktig de relative heltallene.

For hver av de avstandene p -adic, av det ferdige Z er en ring med heltallene p -adic bemerket Z p , fraksjonen av legemet er hoveddelen av tallene p -adic, betegnet Q p og som inneholder Q .

Vanlige bruksområder

Relative tall er tall som har blitt relativt kjent. De er funnet:

Merknader og referanser

  1. Fra denne posisjonen i forhold til null kommer adjektivet "relativ" brukt på disse heltallene.
  2. I henhold til visse forskjellige konvensjoner, spesielt i angelsaksiske land, er heltallet null verken positivt eller negativt ( jf (en) null ).
  3. Fra tyske Zahlen , "tall".
  4. Forvirring unngås ved bruk av multiplikasjonskorset av eksponenten: "  Z ×  ".
  5. GH Hardy og EM Wright ( oversatt  fra engelsk av François Sauvageot, pref.  Catherine Goldstein ), Introduksjon til tallteorien [“  En introduksjon til teorien om tall  ”] [ detalj av utgaven ], kapittel 12.
  6. Men det offisielle programmet for aggregering av matematikk , og de tilsvarende fagene , bruker det vanligste navnet i Frankrike "relative tall".
  7. Jf. For eksempel N. Bourbaki, Elements of mathematics , Algebra , kap. I, § 2, nr .  5 ( s.  28 i en gammel versjon tilgjengelig online ) eller Roger Godement , Cours d'Algèbre , § 5, nr .  8.
  8. Klassisk paradoks: hvis -1 <1, så vil omvendt av disse to tallene være arrangert i omvendt rekkefølge: det inverse av -1 er -1 og det inverse av 1 er 1 derfor -1> 1. av den ufullstendige setningen " omvendt av disse to tallene ville være arrangert i omvendt rekkefølge ", ville det være nødvendig å spesifisere" omvendt av to tall av samme tegn er ordnet i omvendt rekkefølge ". Se artikkelen omvendt funksjon for mer informasjon.
  9. (no) Tidligste bruk av symboler for tallteori .

Se også

Heltall (IT)