I matematikk , spesielt i geometri , er problemet med kontakter , også kalt problem med Apollonius eller problem med de tre sirkler , et av de store problemene i den greske antikken . Det er et spørsmål om å finne en sirkel tangent til tre gitte sirkler med forskjellige radier.
Dette problemet ble presentert av Pappus som den tiende og vanskeligste av avhandlingen om kontakter , et av Apollonius 'tapte verk. Det vil faktisk være nødvendig å vente til 1600 på oppløsningen av François Viète, som viser at han innrømmer maksimalt åtte løsninger. For det i Apollonius Gallus vil han løse de ti problemene som presenteres nedenfor (uten å behandle de spesifikke tilfellene).
Den Treatise on Kontakter , en tapt arbeid av Apollonius , foreslått å bestemme kretser begrenset til tre tilstander tatt fra blant dem som består av å passere gjennom et gitt punkt, eller for å være tangent til en gitt linje eller en sirkel, som tilsvarer ti. Problemer utpekt ved symbolene PPP, DDD, PPD, PPC ... ved å representere et punkt ved P, en linje ved D og en sirkel ved C.
Denne traktaten er nevnt i IV th århundre etter Pappus av Alexandria i den sjuende boken om hans Mathematical Collection som gir bare delvis oppløsning.
Problemet studeres av matematikerne fra middelalderens islam, Ibn al-Haytham og Ibrahim ibn Sinan som behandler det til slutt, uten å gjøre en uttømmende studie av alle tilfellene (på størrelsen på sirklene eller deres innretting). Men disse studiene er ikke kjent i Europa på 1500 - tallet.
På 1500 - tallet er europeiske matematikere også interessert i oppløsningen uten å klare å gi en løsning euklidisk (dvs. konstruerbar med linjal og kompass ). For Regiomontanus , for eksempel, kan ikke en løsning på det siste problemet (for de tre sirkler) gjøres uten bruk av konisk.
På en vitenskapelig krangel om eksistens eller ikke av franske matematikere av kvalitet på slutten av XVI th århundre, Francois Vieta bevise første som er i stand til å løse en komplisert ligning som Adrien Romain hadde sendt et sett matematikere fra Europa. Be deretter Adrien Romain om gjensidighet å gi ham en løsning på det siste problemet med Apollonius, en oppgave som Adrien Romain utfører ved kryss av hyperbole.
Faktisk, tilstanden slik at to sirkler med sentrene C og C 1 og midt r og r en er tangent er at CC 1 = r + r 1 eller | r - r 1 | . For at sirkelen med sentrum C skal være tangent til to sirkler, trengs to slike likheter. Ved subtraksjon og eliminering av sakene som ikke gir noe, blir betingelsen slik at sirkelen med sentrum C er tangent til sirklene med sentre C 1 og C 2 skrevet i form | CC 1 - CC 2 | = r 2 + r 1 eller | r 2 - r 1 | som refererer til bifokal definisjon av hyperbola .François Viète, som ikke var fornøyd med å se en ikke- konstruerbar løsning på herskeren og kompasset , publiserte deretter sin Apollonius gallius ( Den franske Apollonius ) for å demonstrere at en franskmann er verdt like mye som en belgier eller en romer. Den tilbyr en fullstendig løsning på de 10 problemene, men uten diskusjon om eksistens eller analyse av alle konfigurasjonene.
Oppløsningen fra Viète stopper ikke forskningen. René Descartes i 1643 foreslår i sin korrespondanse med Elisabeth av Böhmen en algebraisk oppløsning, før han gir sin Descartes-setning i tilfelle der de tre sirkler er tangente. Det er også den algebraiske og trigonometriske banen som Leonhard Euler gikk i sin Solutio facilis problematis, quo quaeritur circulus, som daterer sirkulos tangat fra 1790
Utviklingen av geometriske verktøy med tanken om radikale aksen av stang og polar , for inversjon og den eksplisitte definisjon av kraften i et punkt ved Jakob Steiner ledet Gergonne i begynnelsen av XIX th århundre med en svært kortfattet vedtak: Det er 6 sentre av homøtheti som forvandler en av kretsene til en annen, består resolusjonen som Gergonne foreslår fra de seks sentrene for homøtitet å ta deres pol i forhold til de to berørte kretsene, som gir 12 polarer, disse 12 polene tegner parallellogrammer som vi tar diagonalene. De 12 oppnådde diagonalene har alle tangenspunktene til sirkel-løsningene på problemet. Vi kan lette konstruksjonen, som foreslått av Hadamard i hans geometriske leksjoner, ved å merke seg at de seks sentrene for homøtitet er justert tre og tre på fire rette linjer. For hver linje konstruerer vi de tre polene i linjen i forhold til de tre sirkler. Ved hver pol fører vi en linje som går gjennom det radikale sentrum av de tre sirkler, skjæringspunktene (hvis de eksisterer) på denne linjen med sirkelen assosiert med polen er tangenspunktene til paret sirkler-løsninger med den aktuelle sirkelen.
Målet, på slutten av XIX E århundre, er å foreslå metoder som også kan integrere de spesielle sakene og å klassifisere konfigurasjonene i henhold til antall løsninger. Denne klassifiseringen innsats fortsetter i XX th og XXI th århundrer.
Dette problemet, som nå ser ut til å bli studert bare for pedagogiske formål, skjuler noen ganger overraskende utviklinger som oppdagelse av fiendens våpen under krigen 14-18 og gir opphav til utvidelser som Apollonius 'badernefraktal .
Denne delen beskriver klassiske linjal- og kompasskonstruksjoner av kontaktpunkter eller etterspurte sentre, ved hjelp av konfigurasjoner som involverer sirkelens egenskaper, homøtheten og kraften til et punkt i forhold til en sirkel . Det begynner med å huske konstruksjonene til tangenter (som kan sees på som spesielle tilfeller av kontaktproblemer, ved å betrakte linjene som sirkler med uendelig radius).
Tangenter til en sirkel Tangent ved et punkt av sirkelenFra et punkt A plassert på en sirkel med sentrum O kan vi føre en tangens til denne sirkelen ved å trekke vinkelrett i A til radien [OA]. Diagrammet viser en metode: med utgangspunkt i punktet B symmetrisk av O sammenlignet med A, konstruerer man den vinkelrette halveringen av [BO], som er tangent til sirkelen.
Tangenter til en sirkel som går gjennom et gitt punktFra et punkt M utenfor en sirkel kan vi føre to tangenter til denne sirkelen; de berører sirkelen ved A og B, og vi har MA = MB. Linjen (OM) er en symmetriakse for figuren, den er halveringslinjen til vinkelen AMB. Konstruksjon av euklid : gitt en sirkel ( c ) av sentrum O og et punkt M utenfor sirkelen, er kontaktpunktene A og B for tangensene fra M skjæringspunktene mellom sirkelen ( c ) og diameteren sirkelen [ MO].
Kraften til et punkt i forhold til en sirkelDet underliggende prinsippet består i å observere at hvis M er et punkt i en tangens ved et punkt T til en sirkel, så for enhver sekant til sirkelen ved A og B som går gjennom M, har vi MA.MB = MT²
Sirkel som går gjennom to gitte punkter og tangerer til en gitt linjeLa M 1 og M 2 være to gitte punkter og (d) linjen, det er et spørsmål om å finne tangenspunktet T for sirkelen for å finne med linjen (d). I dette eksemplet velger vi M 1 og M 2 i samme halvplan og med (M 1 M 2 ) som skjærer (d) ved I.
Vi vet at IT² må være lik IM 1. IM 2 . Lengden IT blir deretter beregnet ved hjelp av et trekant IM 1 H-rektangel H hvorav M 2 er foten av høyden som følge av H. Vi vet faktisk ved egenskapen til den rette trekanten at IH² = IM 1. IM 2 . Det er tilstrekkelig å utsette denne avstanden IH på linjen (d) for å finne en punkt T-løsning. Vi merker at det i virkeligheten er et annet punkt T 'i riktig avstand fra I, symmetrisk fra punkt T med hensyn til I som gir den andre løsningen på problemet.
Det er andre mulige konstruksjoner som å jobbe med egenskapene til den innskrevne vinkelen eller arbeide ved justering: antar vi at den vinkelrette halveringen av [M 1 M 2 ] møter linjen i J, konstruerer vi en sirkel hvis senter er på den loddrett halveringslinjen og som er tangent til (d), vil en homote med sentrum J gjøre det mulig å forstørre eller redusere sirkelen slik at den passerer gjennom M 1 og M 2 (2 løsninger generelt).
Sirkel som går gjennom to gitte punkter og tangerer til en gitt sirkelLa M 1 og M 2 være to gitte punkter og (c) sirkelen, vi må finne tangenspunktet T for sirkelløsningen med sirkelen. I dette eksemplet velger vi punkter utenfor sirkelen og ikke symmetriske med hensyn til sirkelenes radius (c).
Målet består i først å lete etter et punkt I som har samme kraft med hensyn til de to sirkler. Vi konstruerer en hjelpesirkel som går gjennom M 1 og M 2 og møter sirkelen (c) ved P og P '. Linjene (PP ') og (M 1 M 2 ) møtes ved I. Tangensene fra I gir løsningspunktene T. Faktisk:
IT² = IP.IP '= IM 1 .IM 2 . Sirkel tangens til to gitte sirkler som går gjennom et gitt punktTanken er å erstatte begrensningen på en sirkel med en begrensning på et punkt. For dette studerer vi egenskapene til en sirkel som tangenserer til to sirkler.
Vi gir to sirkler ( c 1 ), ( c 2 ) med sentre O 1 , O 2 , med forskjellige radier r 1 og r 2 og en sirkel ( c ) som berører disse to sirkler.
Det er to homotese H (S, r 2 / r 1 ) og H (S ', - r 2 / r 1 ) som transformerer ( c 1 ) til ( c 2 ).
Punktene S og S 'sentre for homøthet i sirklene er punktene som deler segmentet [O 1 O 2 ] i forholdet ± r 1 / r 2 .
Hvis en sirkel ( c ) er tangent til sirklene ( c 1 ) og ( c 2 ) i T og T ', passerer linjen (TT') som forbinder kontaktpunktene gjennom et sentrum for homøthet. Faktisk eksisterer det en homøthet av sentrum T som transformerer ( c 1 ) til ( c ) og en homotety av sentrum T 'som transformerer ( c ) til ( c 2 ), som når det er kombinert, gir en av de foregående utvidelsene. Sentrene for disse tre homotetiene er derfor justert. Den kraft p for sentrum av homothety med hensyn på den variable krets ( c ) er konstant.
p = ST × ST '= ST × ST 1 × ST' / ST 1 = ST × ST 1 × r 2 / r 1 .Vi får kraften til punktet S i forhold til sirkelen ( c 1 ) multiplisert med forholdet mellom radiene.
Hvis U og U 'er skjæringspunktene til ( c 1 ) og ( c 2 ) med linjen til sentrene, er kraften til punktet S i forhold til sirkelen med diameter [UU'] p = SU × SU '.
Hvis vi nå ser etter en sirkel som går gjennom et punkt M 1 og tangens til de to sirkler, vil vi konstruere et punkt M 2 som vi vil vite å tilhøre riktig sirkel. Det søkes som skjæringspunktet for sirkelen som søkes med linjen (SM 1 ). Vi vet at dette punktet må verifisere p = SM 1 .SM 2 = SU.SU '. Dette punktet er derfor skjæringspunktet mellom sirkelen UU'M 1 og (SM 1 ).
Det gjenstår bare å finne sirkelen som tangerer til ( c 1 ) og passerer gjennom M 1 og M 2 . Det andre homothetsenteret vil føre til bygging av et annet punkt.
Sirkel som går gjennom et gitt punkt og tangerer til en gitt linje og en gitt sirkelSom før er ideen å erstatte sirkelen med et punkt ved å studere egenskapene til en sirkel (c) som berører en sirkel og en linje.
I eksemplet motsatt, der (c) og (c 1 ) er tangente på utsiden, er punktene S og S 'endene av diameteren på (c 1 ) vinkelrett på (d). Målet er å vise at kraften p av S i forhold til den sirkel (c) er uavhengig av (c). Vi betegner ved H den ortogonale projeksjonen av S på (d), T tangenspunktet til de to sirkler og T 'det for linjen og sirkelen (c). Punktene S, T og T 'er justert fordi sirklene er homotetiske med sentrum T.
Kraften til S med hensyn til (c) er p = ST.ST '.
Trianglene STS 'og SHT' er like fordi rektangler som deler samme vinkel, derfor ST / SH = SS '/ ST'. Ved kryssprodukt p = ST.ST '= SH.SS'.
Hvis vi nå ser etter en sirkel som går gjennom et punkt M 1 og tangerer sirkelen og til linjen, vil vi først konstruere et punkt M 2 som vi vet å tilhøre riktig sirkel. Det søkes som skjæringspunktet for sirkelen som søkes med linjen (SM 1 ). Vi vet at dette punktet må verifisere p = SM 1 .SM 2 derfor SM 1 .SM 2 = SH.SS '. Dette punktet er derfor skjæringspunktet mellom sirkelen HS'M 1 og (SM 1 ). Et lignende resonnement kan gjøres med internt tangente sirkler ved bruk av S '.
Vi kommer dermed tilbake til problemet med å finne en sirkel som går gjennom to punkter og tangerer en gitt linje.
Viètes "parallelle oversettelse"Viètes idé er å legge merke til at hvis vi vet hvordan vi skal tegne en sirkel som går gjennom et punkt, og tangent til to objekter (linje eller sirkel), ved å øke eller redusere radiusen til sirkelløsningen med verdien r, kan vi finne en sirkel som tangerer en sirkel med radius r og tangerer to andre sirkler eller rette gjenstander som har flyttet tangenspunktet lenger eller nærmere.
Så for å tegne en sirkel tangent eksternt til 2 sirkler og til en linje, betrakter vi den minste sirkelen, vi reduserer størrelsen til null mens vi reduserer radiusen til den andre sirkelen med r og flytter linjen lenger borte, vi ser etter sirkelen -løsning av den nye konfigurasjonen. Det vil være tilstrekkelig å redusere radiusen til sirkelløsningen til r for å finne sirkelløsningen til det opprinnelige problemet. Hvis vi vil at sirkelløsningen og den lille sirkelen skal berøre på innsiden, må vi tvert imot bringe linjen nærmere og øke radiusen til den store sirkelen, finne løsningen på det nye problemet og deretter øke radiusen.
|
I det følgende vil problemene bli identifisert ved deres forkortelse.
Ved hjelp av lemmaene han setter opp (parallell oversettelse - erstatning av et PCX-problem til et PPX-problem), foreslår Viète problemforenklingsalgoritmer som gjør det mulig å komme til PPP-problemet (sirkel begrenset til tre punkter). Gir følgende tre:
Maksimalt antall løsninger beregnes ved å observere at sirkelløsningen kan være tangent internt eller eksternt til de andre sirkler, og at det maksimale antall løsninger i PPD-konfigurasjonen er to.
I XIX th århundre, er diskusjonen om antall løsninger, Hadamard, circa 1898, har 11 konfigurasjoner for problemet med de tre sirklene unntatt grensetilfeller:
I 2013 foreslo Roger Tchangang Tambekou en klassifisering som tar hensyn til eksistensen eller ikke av en skillesirkel og i henhold til det totale antall skjæringspunkter mellom sirklene. Han snakker om et dobbelt skjæringspunkt for et punkt som er felles for de tre sirkler. Deretter foreslås 17 konfigurasjoner som kan føre til et antall løsninger lik 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8 eller en uendelig mengde løsninger.
Antall kryss ▶ ▼ Konfigurasjonen inneholder: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
en strengt skille sirkel | 0 sol. | ||||||
ingen skillesirkel, tangensirkel eller dobbeltpunkt |
8 sol. | 4 sol. | 4 sol. | 8 sol. | |||
verken skille sirkel eller dobbelt punkt 1 eller 2 tangens sirkler |
6 sol. | 5 sol. | 4 sol. | 5 sol. | 6 sol. | ||
tre punkter av tangens | 5 sol. | ||||||
en skillesirkel, tangensirkler uten doble punkter |
2 sol. | 3 sol. | |||||
doble poeng | ∞ | 2 sol. | 3 sol. | 5 sol. |
og presenterer inventaret for PCC- og PPC-saker
Antall kryss ▶ ▼ Konfigurasjonen inneholder | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
en strengt skille sirkel | 0 sol. | |||
ingen skillesirkel, tangensirkel eller dobbeltpunkt |
4 sol. | 2 sol. | 2 sol. | 2 sol. |
verken skille sirkel eller dobbeltpunkts tangens sirkler |
3 sol. | 2 sol. | ||
sirkel som skiller tangens | 1 etasje. | |||
et dobbelt punkt | ∞ | 1 etasje. |
PPC-saken har bare tre konfigurasjoner: Hvis sirkelen skiller seg, er det ingen løsning, hvis et punkt er på sirkelen, er det bare en løsning, ellers er det 2.