Metrisk tensor
I geometri , og nærmere bestemt i differensialgeometri , er den metriske tensoren en tensor av rekkefølge 2 som gjør det mulig å definere det skalære produktet til to vektorer ved hvert punkt i et rom, og som brukes til måling av lengder og vinkler . Den generaliserer Pythagoras teorem . I et gitt koordinatsystem kan den metriske tensoren representeres som en symmetrisk matrise , generelt bemerket , for ikke å forvirre matrisen (i store bokstaver) og den metriske tensoren g .
G{\ displaystyle G}
I det følgende brukes Einsteins summeringskonvensjon .
Definisjon
Den metriske tensoren til et vektorrom med endelig dimensjon n er en kovariant tensor av rang 2 (dvs. en bilineær form ) definert på :
E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}
g:E×E→R(u,v)↦g(u,v){\ displaystyle {\ begin {align} g \ ,: \, & E \ ganger E & \ til & \, \, \, \ mathbb {R} \\ & (\ mathbf {u}, \ mathbf {v} ) & \ mapsto & \, \, \, g (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) \ end {aligned}}}
g{\ displaystyle g} er :
-
symmetrisk : ;∀u,v∈E×Eg(v,u)=g(u,v){\ displaystyle \ forall \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ in E \ times E \ quad g (\ mathbf {v}, \ mathbf {u}) = g (\ mathbf {u}, \ mathbf { v})}
-
ikke-degenererte : ;∀u∈E,[∀v∈E,g(u,v)=0]⇒u=0{\ displaystyle \ forall \ mathbf {u} \ i E, \ left [\ forall \ mathbf {v} \ i E, g (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = 0 \ høyre] \ Rightarrow \ matematikk {u} = 0}
-
positive : (unntatt pseudometrikker , se nedenfor). E , forsynt med denne tensoren, er da et euklidisk rom .∀u∈Eg(u,u)⩾0{\ displaystyle \ forall \ mathbf {u} \ i E \ quad g (\ mathbf {u}, \ mathbf {u}) \ geqslant 0}
Mer generelt er den metriske tensoren til en differensialmanifold utgangspunktet, ved hvert punkt i manifolden, til en metrisk tensor på rommet som er tangent til manifolden på dette punktet. Å tildele en metrisk tensor til denne manifolden gjør den til en Riemannian-manifold (eller en pseudo-Riemannian-manifold i tilfelle en pseudo-metrisk).
Vi betegner det skalære produktet av to vektorer, og der i = 1, ..., n, som følger:
uJegeJeg{\ displaystyle u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}vjej{\ displaystyle v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}}
g(u,v)=g(uJegeJeg,vjej)=uJegvjg(eJeg,ej)=uJegvjgJegj.{\ displaystyle g (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = g (u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}, v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}) = u ^ {i} v ^ {j} g (\ mathbf {e} _ {i}, \ mathbf {e} _ {j}) = u ^ {i} v ^ {j} g_ {ij}.}
Notasjonen brukes konvensjonelt for komponentene i metrisk tensor. I Begrenset relativitet, deretter General, er den metriske tensoren betegnet, ved konvensjon g μν hvor μ og ν er elementer i mengden {0,1,2,3}
gJegj{\ displaystyle g_ {ij}}
I det doble rommet av , er metrikken konjugert til den av , betegnet og kalt dual metrisk eller invers metrisk (matrisen som representerer komponentene er den inverse av den som representerer komponentene i metrikk ), er en kontravariant tensor . Den respekterer identiteten , som gjør det mulig å transformere kontravariant komponenter til kovariante komponenter og omvendt.
E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}gJegj{\ displaystyle g ^ {ij}}E{\ displaystyle E}gμνgνρ=δρμ{\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \, g _ {\ nu \ rho} \, = \, \ delta _ {\ rho} ^ {\ mu} \,}
Pseudo-metrisk
Når ikke alltid er positivt, kan vi snakke om pseudo-metrisk (dette er for eksempel tilfellet med Lorentzian-metriske (også kalt Minkowski-metriske ) i Minkowski-rommet ). I denne rammen representerer (som vi da betegner ) pseudonormen i kvadrat.
g(x,x){\ displaystyle g (x, x)}g(x,x){\ displaystyle g (x, x)}η(x,x){\ displaystyle \ eta (x, x) \,}
Minkowskian (eller Lorentzian) beregning
Vi betegner den Minkowskian avstanden mellom to punkter og definert ved:
s{\ displaystyle s}P1{\ displaystyle P_ {1}}P2{\ displaystyle P_ {2}}
s2=η(P1P2→,P1P2→)=ημν(x2μ-x1μ)(x2ν-x1ν){\ displaystyle s ^ {2} = \ eta {\ bigl (} {\ overrightarrow {P_ {1} P_ {2}}}, {\ overrightarrow {P_ {1} P_ {2}}} {\ bigr)} = \ eta _ {\ mu \ nu} (x_ {2} ^ {\ mu} -x_ {1} ^ {\ mu}) (x_ {2} ^ {\ nu} -x_ {1} ^ {\ nu })}
med som matrise av skalarproduktet:
(ημν)=(-1000010000100001){\ displaystyle (\ eta _ {\ mu \ nu}) = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}
og den kvadrerte Minkowskian-avstanden mellom to uendelig nærliggende punkter :
ds2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2}}
ds2=ημνdxμdxν{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} \, = \, \ eta _ {\ mu \ nu} \, \ mathrm {d} x ^ {\ mu} \, \ mathrm {d} x ^ { \ nu}}
For en vektor av et slikt rom har vi følgende definisjoner:
x{\ displaystyle x}
{η(x,x)>0⟺xer orientert i rommet.η(x,x)=0⟺xer isotrop.η(x,x)<0⟺xer tidsorientert.{\ displaystyle {\ begin {cases} \ eta (x, x)> 0 & \ iff & x \, {\ text {er orientert i rommet.}} \\\ eta (x, x) = 0 & \ iff & x \, {\ text {er isotropisk.}} \\\ eta (x, x) <0 & \ iff & x \, {\ text {er tidsrettet.}} \\\ end {cases}}}
En kurve for denne romtid beskrevet av ligningen , hvor er en parameter, innrømmer som en tangentvektor . Tegnet på pseudonormen i kvadrat av denne vektoren er uavhengig av valget av, og vi har følgende definisjoner (jf. Spesiell relativitet ):
(x0(τ),x1(τ),x2(τ),x3(τ)){\ displaystyle (x ^ {0} (\ tau), x ^ {1} (\ tau), x ^ {2} (\ tau), x ^ {3} (\ tau))}τ{\ displaystyle \ tau}dxμ/dτ{\ displaystyle \ mathrm {d} x ^ {\ mu} / \ mathrm {d} \ tau}τ{\ displaystyle \ tau}
{η(dxμdτ,dxμdτ)>0⟺Kurvenxμ(τ)er litt rom.η(dxμdτ,dxμdτ)=0⟺Kurvenxμ(τ)er av lystypen.η(dxμdτ,dxμdτ)<0⟺Kurvenxμ(τ)er slags vær.{\ displaystyle {\ begin {cases} \ eta ({\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}} {\ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}} {\ mathrm {d} \ tau}})> 0 & \ iff & {\ text {Kurven}} \, x ^ {\ mu} (\ tau) \, {\ text {er som mellomrom.}} \\\ eta ({\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}} {\ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu }} {\ mathrm {d} \ tau}}) = 0 & \ iff & {\ text {Kurven}} \, x ^ {\ mu} (\ tau) \, {\ text {er som lys.} } \\\ eta ({\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}} {\ mathrm {d} \ tau}}, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}} { \ mathrm {d} \ tau}}) <0 & \ iff & {\ text {Curve}} \, x ^ {\ mu} (\ tau) \, {\ text {er som tid.}} \ end {saker}}}
Rettlinjede koordinater
I koordinatsystemet til en hvilken som helst base i vektorområdet er den metriske tensoren på representert av komponentene i denne basen. Disse komponentene har form av en symmetrisk matrise hvis innganger blir transformert på en kovariant måte under en endring av basen:
(på→,b→,vs.→){\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E} G{\ displaystyle G}
G=(på→.på→på→.b→på→.vs.→b→.på→b→.b→b→.vs.→vs.→.på→vs.→.b→vs.→.vs.→){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} \, {\ vec {a}}. {\ vec {a}} &&& {\ vec {a}}. {\ vec {b}} &&& {\ vec {a }}. {\ vec {c}} \, \, \\\, {\ vec {b}}. {\ vec {a}} &&& {\ vec {b}}. {\ vec {b}} &&& {\ vec {b}}. {\ vec {c}} \, \, \\\, {\ vec {c}}. {\ vec {a}} &&& {\ vec {c}}. {\ vec {b}} &&& {\ vec {c}}. {\ vec {c}} \, \, \ end {pmatrix}}}
hvor betegner prikkproduktet til og av .
på→.b→{\ displaystyle {\ vec {a}}. {\ vec {b}}}på→{\ displaystyle {\ vec {a}}}b→{\ displaystyle {\ vec {b}}}
Hvis man kjenner en annen base, men som er ortonormal (sammenlignet med det aktuelle skalære produktet, dvs. den som er assosiert med metrisk tensor), vil det ved å uttrykke basisvektorene i henhold til denne basiske ortonormale, være lett å beregne disse prikkprodukter.
(på→,b→,vs.→){\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}
Tilfelle krøllete koordinater
Når det gjelder et krumlinjært koordinatsystem (på et differensialmanifold ℳ av dimensjonen ), kan vi ikke definere en global egen base der, fordi vektorene til den lokale (indre) basen varierer når det nåværende punktet (av koordinatene ) på ℳ varierer. blir da et tensorfelt . Den “-feltet av lokale baser” (kalt holonomic basen , basen av koordinater (i) eller glatte koordinatsystem ) som vi brukte referanser forsvinnende vektorer, derfor kan ses på som en “forsvinnende skalar produkt”. Vi vedtar deretter følgende skriving: (der angir lengden på den uendelige buen).
m{\ displaystyle m}eJeg{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}xJeg{\ displaystyle x ^ {i}}g{\ displaystyle g} g{\ displaystyle g}ds2=gJegjdxJegdxj{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = g_ {ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}ds{\ displaystyle \ mathrm {d} s}
Beregning fra ytre data
Hvis ℳ er nedsenket i et euklidisk rom (av dimensjon ), vil punktproduktet på dette euklidiske rommet indusere et punktprodukt på ℳ. Søking i feltet metriske tensor (indusert) på ℳ på dette skalarproduktet indusert. La være et ortonormalt grunnlag for dette euklidiske rommet (som derfor er et ytre grunnlag for ℳ). Legg merke til, i forbifarten, at komponentene i den metriske tensoren på en ortonormal basis er (jf. Kronecker delta ). La oss kalle den Jacobianske matrisen til koordinatene til det nåværende punktet til ℳ i basen (derfor er disse koordinatene ekstrinsiske) uttrykt i henhold til de krumlinjære koordinatene (iboende til variasjonen ℳ) av det samme punktet. Kolonnene til , beregnet i nærheten av et punkt på of, gir en lineær tilnærming av koordinatlinjene (krumlinjær) i nærheten av dette punktet , siden de gir komponentene på grunnlag av vektorer som tangerer koordinatlinjene og som utgjør den lokale basen i forbindelse med de aktuelle krøllete koordinatene. Det er da nok å beregne de mulige skalære produktene til vektorene til den lokale basen for å oppnå komponentene (i den lokale basen) til metrisk tensor i . Dette utgjør beregning i . La oss merke oss at denne matrisen, som dermed representerer komponentene til metrisk tensor i den lokale basen, og som en vil merke , er dens egen transponere, dvs. det er vel en symmetrisk matrise . Merk at det er en kvadratmatrise (m × m) , mens det generelt er en matrise (n × m) , ikke er (fordi dimensjonen til manifolden ℳ generelt er mindre enn det for det euklidiske rommet der den er nedsenket).
ikke≥m{\ displaystyle n \ geq m}B(e"1,e"2,...,e"ikke){\ displaystyle B \, (\ mathbf {e ''} _ {1}, \ mathbf {e ''} _ {2}, ..., \ mathbf {e ''} _ {n})}gJegj=δJegj{\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij}}J{\ displaystyle J}B{\ displaystyle B}J{\ displaystyle J}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}B{\ displaystyle B}M{\ displaystyle M}(e1,e2,...,em){\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, ..., \ mathbf {e} _ {m})}M{\ displaystyle M}m2{\ displaystyle m ^ {2}}M{\ displaystyle M}JTJ{\ displaystyle J ^ {\ mathsf {T}} J}M{\ displaystyle M}G{\ displaystyle G}J{\ displaystyle J}
G(M)=JT(M)J(M){\ displaystyle G (M) = J ^ {\ mathsf {T}} (M) \, J (M)}
eller, i indeksnotasjon:
gJegj(M)=JJegk(M)Jjk(M){\ displaystyle g_ {ij} (M) = J_ {i} ^ {k} (M) \, J_ {j} ^ {k} (M)}
Vekst og fall av ledetråder
Den metriske tensoren gjør det mulig å heve eller senke indeksene til komponentene i vektorene, differensialformene eller tensorene. Ta saken av vektoren . Denne vektoren gjør det mulig, ved formidling av metrisk tensor, å definere den lineære formen , elementet i det doble rommet , som, med en vektor , forbinder det virkelige . Som en funksjon av komponentene i de to vektorene og den metriske tensoren, uttrykkes denne virkeligheten i form:
x=xαeα{\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {\ alpha} \ mathbf {e _ {\ alpha}}}g(x,.){\ displaystyle g (\ mathbf {x} ,.)}y{\ displaystyle \ mathbf {y}}g(x,y){\ displaystyle g (\ mathbf {x}, \ mathbf {y})}
g(x,y)=xαgαβyβ{\ displaystyle g (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = x ^ {\ alpha} g _ {\ alpha \ beta} y ^ {\ beta}}I den dobbelte basen betyr det at den lineære formen har som komponenter . Med andre ord passerer man fra komponentene i en vektor til komponentene i den tilhørende lineære formen ved å " senke indeksene " ved hjelp av den metriske tensoren, transformere vektoren til covectoren .
eβ=(eβ)⋆{\ displaystyle \ mathbf {e ^ {\ beta}} = (\ mathbf {e _ {\ beta}}) ^ {\ star}}g(x,.){\ displaystyle g (\ mathbf {x} ,.)}xβ=xαgαβ{\ displaystyle x _ {\ beta} = x ^ {\ alpha} g _ {\ alpha \ beta}}xαeα{\ displaystyle x ^ {\ alpha} \ mathbf {e _ {\ alpha}}} xβeβ{\ displaystyle x _ {\ beta} \ mathbf {e ^ {\ beta}}}
Omvendt, hvis vi gir oss selv en lineær form , rekonstruerer vi vektoren som den oppstår fra ved å " gå opp indeksene " : komponenttensoren er den inverse metriske tensoren til .
φβeβ{\ displaystyle \ varphi _ {\ beta} \ mathbf {e ^ {\ beta}}}xα=gαβφβ{\ displaystyle \, \, x ^ {\ alpha} = g ^ {\ alpha \ beta} \ varphi _ {\ beta}}gαβ{\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}g{\ displaystyle g}
Vi har identiteten .
gμνgνρ=δρμ{\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \, g _ {\ nu \ rho} \, = \, \ delta _ {\ rho} ^ {\ mu} \,}
Avstander og vinkler
Den lengde av et segment av en kurve parametrisert ved , å gå ut fra det punkt på og ankommer ved det punkt ved defineres ved:
t{\ displaystyle t}på{\ displaystyle a}t1{\ displaystyle t_ {1}}b{\ displaystyle b}t2{\ displaystyle t_ {2}}
L=∫påbds2=∫påbgJegjdxJegdxj=∫t1t2gJegjdxJegdtdxjdtdt{\ displaystyle L \, = \, \ int _ {a} ^ {b} \, {\ sqrt {{\ mathrm {d} s ^ {2}} \,}} \, = \, \ int _ { a} ^ {b} \, {\ sqrt {g_ {ij} \, \ mathrm {d} x ^ {i} \, \ mathrm {d} x ^ {j} \,}} \, = \, \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \, {\ sqrt {g_ {ij} \, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {i}} {\ mathrm {d} t} } \, {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {j}} {\ mathrm {d} t}} \,}} \, \, {\ mathrm {d} t}}
hvor er ligningen som beskriver denne kurven i det lokale koordinatsystemet .
(x1(t),...,xikke(t)){\ displaystyle (x ^ {1} (t), ..., x ^ {n} (t))}
Vinkelen mellom to vektorer og tangenter på samme punkt er definert av:
θ{\ displaystyle \ theta} u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}
cosθ=gJegjuJegvj|gJegjuJeguj||gJegjvJegvj|{\ displaystyle \ cos \ theta \, = \, {\ frac {g_ {ij} \, u ^ {i} \, v ^ {j}} {\, \, {\ sqrt {\, \ left | \ , g_ {ij} \, u ^ {i} \, u ^ {j} \, \ right | \, \, \ left | \, g_ {ij} \, v ^ {i} \, v ^ {j } \, \ right | \,}} \, \,}}}
Kunnskap om metrisk tensor gjør det også mulig å bestemme geodesikken i rommet der denne tensoren er definert.
Baseendring
Under basisendring transformerer komponentene i metrisk tensor på en kovariant måte , det vil si:
gkl′=M kJegM lj gJegj{\ displaystyle g '_ {kl} = M _ {\ k} ^ {i} M _ {\ l} ^ {j} \ g_ {ij}}
hvor er matriksen for passering av en base der man kjenner komponentene til metrikken mot en annen base som man søker komponentene i denne samme metrikk.
M{\ displaystyle M}gJegj{\ displaystyle g_ {ij}}gJegj′{\ displaystyle g '_ {ij}}
Eller i matrise notasjon:
G′=MTGM {\ displaystyle G '= M ^ {T} GM ~}
Dobbeltkontraktert produkt med delvis derivat
Det dobbeltkontraherte produktet av metrisk tensor og dets delvise derivatendringer tegner seg når indeksene til den ene faktoren i produktet blir hevet og indeksene til den andre faktoren senkes:
gJegjgJegj,k=-gJegjgJegj,k{\ displaystyle g ^ {ij} g_ {ij, k} = - g_ {ij} g ^ {ij, k}}.
Demonstrasjon
Matrisen er den omvendte av den metriske tensormatrisen :
gJegj{\ displaystyle g ^ {ij}} gJegj{\ displaystyle g_ {ij}}
gJegjgjk=δkJeg{\ displaystyle g ^ {ij} \, g_ {jk} = \ delta _ {k} ^ {i}}.
Ved å ta , finner vi
k=Jeg{\ displaystyle k = i}
gJegjgjJeg=δJegJeg=ikke{\ displaystyle g ^ {ij} \, g_ {ji} = \ delta _ {i} ^ {i} = n}hvor er dimensjonen til det betraktede rommet.
ikke{\ displaystyle n}Ved å avlede medlem til medlem i henhold til indeksen , får vi
k{\ displaystyle k}
∂kikke=0=∂k(gJegjgjJeg)=(∂kgJegj)gjJeg+gJegj∂kgjJeg{\ displaystyle \ partial _ {k} \, n = 0 = \ partial _ {k} \, (g ^ {ij} \, g_ {ji}) = (\ partial _ {k} \, g ^ {ij }) \, g_ {ji} + g ^ {ij} \, \ delvis _ {k} \, g_ {ji}},
derfor
gJegj∂kgjJeg=-gjJeg∂kgJegj{\ displaystyle g ^ {ij} \, \ partial _ {k} \, g_ {ji} = - \, g_ {ji} \, \ partial _ {k} \, g ^ {ij}}.
Siden metrisk tensor er symmetrisk, tilsvarer dette
gJegj∂kgJegj=-gJegj∂kgJegj{\ displaystyle g ^ {ij} \, \ partial _ {k} \, g_ {ij} = - \, g_ {ij} \, \ partial _ {k} \, g ^ {ij}},
som er ønsket resultat.
-
gJegj,k{\ displaystyle g_ {ij, k}}er ikke en tensor (uten hvilken man ville ha tegnet ) +{\ displaystyle +} .
- På den annen side, når man beregner kovariantderivatet til den metriske tensoren, får man en tensor, men denne tensoren er null .gJegj;k{\ displaystyle g_ {ij; k}}
Noen eksempler
Eksempel 1
I et todimensjonalt euklidisk rom , ved å ta et ortonormalt kartesisk koordinatsystem, blir komponentene i den metriske tensoren gitt av:
G=(1001){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}
og lengden på en kurvet bue er:
L=∫påb(dx1)2+(dx2)2{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {(\ mathrm {d} x ^ {1}) ^ {2} + (\ mathrm {d} x ^ {2}) ^ { 2}}}}
Eksempel 2
Vi foreslår å beregne komponentene i metrisk tensor for det sfæriske koordinatsystemet til et euklidisk dimensjonsrom . Følgende ligninger gir oss koordinatene til et punkt i dette euklidiske rommet i forhold til et ortonormalt kartesisk koordinatsystem uttrykt som en funksjon av de sfæriske koordinatene til dette punktet :
3{\ displaystyle 3 \,}(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
{x=rsyndθcosϕy=rsyndθsyndϕz=rcosθ{\ displaystyle {\ begin {cases} x = r \ sin \ theta \ cos \ phi \\ y = r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ z = r \ cos \ theta \ end {cases}}}
Vi kan nå skrive den jakobiske matrisen for denne koordinatendringen:
J=(∂(rsyndθcosϕ)∂r∂(rsyndθcosϕ)∂θ∂(rsyndθcosϕ)∂ϕ∂(rsyndθsyndϕ)∂r∂(rsyndθsyndϕ)∂θ∂(rsyndθsyndϕ)∂ϕ∂(rcosθ)∂r∂(rcosθ)∂θ∂(rcosθ)∂ϕ)=(syndθcosϕrcosθcosϕ-rsyndθsyndϕsyndθsyndϕrcosθsyndϕrsyndθcosϕcosθ-rsyndθ0){\ displaystyle \ quad J = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial (r \ sin \ theta \ cos \ phi)} {\ partial r}} & {\ frac {\ partial (r \ sin \ theta) \ cos \ phi)} {\ partial \ theta}} & {\ frac {\ partial (r \ sin \ theta \ cos \ phi)} {\ partial \ phi}} \\ {\ frac {\ partial (r \ sin \ theta \ sin \ phi)} {\ partial r}} & {\ frac {\ partial (r \ sin \ theta \ sin \ phi)} {\ partial \ theta}} & {\ frac {\ partial (r \ sin \ theta \ sin \ phi)} {\ partial \ phi}} \\ {\ frac {\ partial (r \ cos \ theta)} {\ partial r}} & {\ frac {\ partial (r \ cos \ theta)} {\ partial \ theta}} & {\ frac {\ partial (r \ cos \ theta)} {\ partial \ phi}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & r \ cos \ theta \ cos \ phi & -r \ sin \ theta \ sin \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi & r \ cos \ theta \ sin \ phi & r \ sin \ theta \ cos \ phi \\\ cos \ theta & -r \ sin \ theta & 0 \ end {pmatrix}}}
Ved å anvende resultatene av §Beregning fra ytre data , vil komponentene til metrisk tensor i den lokale basen i forhold til det sfæriske koordinatsystemet bli gitt av produktet av transponeringen av denne jakobiske matrisen av denne jakobiske matrisen selv, derfor finner vi :
(gJegj)=JTJ=(1000r2000r2synd2θ){\ displaystyle (\, g_ {ij} \,) = J ^ {\ mathsf {T}} \, J = {\ begin {pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && r ^ {2} && 0 \ \ 0 && 0 && r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ end {pmatrix}}}
Detaljer
(gJegj)=JTJ=(syndθcosϕsyndθsyndϕcosθrcosθcosϕrcosθsyndϕ-rsyndθ-rsyndθsyndϕrsyndθcosϕ0)(syndθcosϕrcosθcosϕ-rsyndθsyndϕsyndθsyndϕrcosθsyndϕrsyndθcosϕcosθ-rsyndθ0){\ displaystyle (\, g_ {ij} \,) = J ^ {\ mathsf {T}} \, J = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi && \ sin \ theta \ sin \ phi && \ cos \ theta \\ r \ cos \ theta \ cos \ phi && r \ cos \ theta \ sin \ phi && - r \ sin \ theta \\ - r \ sin \ theta \ sin \ phi && r \ sin \ theta \ cos \ phi && 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi && r \ cos \ theta \ cos \ phi && - r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi && r \ cos \ theta \ sin \ phi && r \ sin \ theta \ cos \ phi \\\ cos \ theta && - r \ sin \ theta && 0 \ end {pmatrix}}}
g11=synd2θcos2ϕ+synd2θsynd2ϕ+cos2θ=synd2θ(cos2ϕ+synd2ϕ)+cos2θ=synd2θ+cos2θ=1g21=rcosθsyndθcos2ϕ+rcosθsyndθsynd2ϕ-rcosθsyndθ=rcosθsyndθ(cos2ϕ+synd2ϕ)-rcosθsJegikkeθ=rcosθsyndθ-rcosθsyndθ=0g31=-rsynd2θsyndϕcosϕ+rcosϕsynd2θsyndϕ+0=0g12=rsyndθcosθcos2ϕ+rsyndθcosθsynd2ϕ-rsyndθcosθ=rsyndθcosθ(cos2ϕ+synd2ϕ)-rsyndθcosθ=rsyndθcosθ-rsyndθcosθ=0g22=r2cos2θcos2ϕ+r2cos2θsynd2ϕ+r2synd2θ=r2cos2θ(cos2ϕ+synd2ϕ)+r2synd2θ=r2cos2θ+r2synd2θ=r2g32=-r2syndθsyndϕcosθcosϕ+r2syndθsyndϕcosθcosϕ+0=0g1. 3=-rsynd2θcosϕsyndϕ+rsynd2θsyndϕcosϕ+0=0g23=-r2syndθsyndϕcosθcosϕ+r2syndθsyndϕcosθcosϕ+0=0g33=r2synd2θsynd2ϕ+r2synd2θcos2ϕ+0=r2synd2θ(synd2ϕ+cos2ϕ)=r2synd2θ{\ displaystyle {\ begin {align} g_ {11} & = \ sin ^ {2} \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi + \ cos ^ {2} \ theta \\ & = \ sin ^ {2} \ theta \, (\ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) + \ cos ^ {2 } \ theta \\ & = \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta \\ & = 1 \\ g_ {21} & = r \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi + r \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi -r \ cos \ theta \, \ sin \ theta \\ & = r \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, (\ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) -r \, \ cos \ theta \, sin \ theta \\ & = r \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta -r \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \\ & = 0 \\ g_ {31} & = - r \, \ sin ^ {2 } \ theta \, \ sin \ phi \, \ cos \ phi + r \, \ cos \ phi \, \ sin ^ {2} \ theta \, \ sin \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ { 12} & = r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi + r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi -r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \\ & = r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \, (\ cos ^ {2} \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) -r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \\ & = r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta -r \, \ sin \ theta \, \ cos \ theta \\ & = 0 \\ g_ {22} & = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi + r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \\ & = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta \, (\ cos ^ {2 } \ phi + \ sin ^ {2} \ phi) + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \\ & = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \\ & = r ^ {2} \\ g_ {32} & = - r ^ {2} \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi \ , \ cos \ theta \, \ cos \ phi + r ^ {2} \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, \ cos \ theta \, \ cos \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ {13} & = - r \, \ sin ^ {2} \ theta \, \ cos \ phi \, \ sin \ phi + r \, \ sin ^ {2} \ theta \, \ sin \ phi \, \ cos \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ {23} & = - r ^ {2} \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, \ cos \ theta \, \ cos \ phi + r ^ {2} \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, \ cos \ theta \, \ cos \ phi +0 \\ & = 0 \\ g_ {33} & = r ^ {2} \ , \ sin ^ {2} \ theta \, \ sin ^ {2} \ phi + r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \, \ cos ^ {2} \ phi +0 \\ & = r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \, (\ sin ^ {2} \ phi + \ cos ^ {2} \ phi) \\ & = r ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ theta \\\ slutten {justert}}}
Eksempler på beregninger
Euklidisk plan, polare koordinater :(x1,x2)=(r,θ){\ displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}) = (r, \ theta)}
G=(100r2){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r ^ {2} \ end {pmatrix}}}ds2=dr2+r2dθ2 {\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta ^ {2} ~}
Euklidisk rom, sylindriske koordinater :(x1,x2,x3)=(r,θ,z){\ displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (r, \ theta, z)}
G=(1000r20001){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}ds2=dr2+r2dθ2+dz2 {\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ { 2} ~}
Euklidisk rom, sfæriske koordinater :(x1,x2,x3)=(r,θ,ϕ){\ displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (r, \ theta, \ phi)}
G=(1000r2000r2synd2θ){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && r ^ {2} && 0 \\ 0 && 0 && r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ end {pmatrix }}}
ds2=dr2+r2dθ2+r2synd2θdϕ2 {\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ mathrm {d} \ phi ^ {2} ~}
Minkowski- rom, flat romtid (spesiell relativitet ):(x0,x1,x2,x3)=(vs.t,x,y,z){\ displaystyle (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, x, y, z)}
G=(-1000010000100001){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix }}}ds2=-vs.2dt2+dx2+dy2+dz2 {\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ { 2} + \ mathrm {d} z ^ {2} ~}
Schwarzschild-metrisk (bestemt løsning av generell relativitet ; rommet er her buet):(x0,x1,x2,x3)=(vs.t,r,θ,ϕ){\ displaystyle (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, r, \ theta, \ phi)}
G=(-(1-2Gmrvs.2)0000(1-2Gmrvs.2)-10000r20000r2synd2θ){\ displaystyle G = {\ begin {pmatrix} - (1 - {\ frac {2Gm} {rc ^ {2}}}) && 0 && 0 && 0 \\ 0 && (1 - {\ frac {2Gm} { rc ^ {2}}} ^ {- 1} && 0 && 0 \\ 0 && 0 && r ^ {2} && 0 \\ 0 && 0 && 0 && r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ end {pmatrix}}}ds2=-(1-2Gmrvs.2)vs.2dt2+(1-2Gmrvs.2)-1dr2+r2dθ2+r2synd2θdϕ2{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {2Gm} {rc ^ {2}}} \ right) c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ { 2} + \ left (1 - {\ frac {2Gm} {rc ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d } \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ mathrm {d} \ phi ^ {2}}
Merknader og referanser
-
Strengt tatt på en differensial manifold, bør man snakke om en metriske tensor feltet , men ved misbruk av språket, snakker man ofte om en metriske tensor eller ganske enkelt av en beregning .
-
[PDF] Kurs i generell relativitetsteori, s. 10-15 , Bernard LINET, Laboratorium for matematikk og teoretisk fysikk, François Rabelais University, Tours .
-
Ved å ta signaturen (-, +, +, +) . Noen forfattere foretrekker signaturen (+, -, -, -) .
-
Her for signaturen (-, +, +, +) . For at signaturen (+, -, -, -) , er rom- orientert og tidsorienterte definisjoner skal stussen, samt plass typen og tid-type definisjoner .
-
(in) Online Dictionary of Crystallography .
-
(in) Matematikk for fysikk og fysikere, s. 455-459 , Walter CALL
-
I rettlinjede koordinater ( se § Rettlinjede koordinater og §Fall kurvlinære koordinater ) identifiserer tangentområdet ved et punkt i differensialmanifolden som er et euklidisk rom, med dette euklidiske rommet.
Se også
Bibliografi
- Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Introduksjon til tensor calculus, Applications to physics , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">