Aksial symmetri

I elementær euklidisk geometri er en aksial symmetri eller refleksjon en geometrisk transformasjon av planet som modellerer en "folding" eller en "speileffekt": to figurer er symmetriske i forhold til en linje når de er lagt over hverandre etter folding langs denne linjen. Dette er et spesielt tilfelle av symmetri .

Den aksiale symmetrien til aksen linjen d transformerer et hvilket som helst punkt M til det unike punktet M 'slik at d er den vinkelrette bisektoren av segmentet [MM']. Med andre ord: den etterlater alle punktene til d invariant og transformerer ethvert punkt M som ikke er plassert på d til punktet M 'slik at:

• linjen (MM ') er vinkelrett på symmetriaksen d  ;
• i midtpunktet av delen [MM '] hører til symmetriaksen d .

Punktet M 'blir da kalt symmetrisk for M med hensyn til symmetriaksen d .

Med hensyn til d sies to figurer av planet å være symmetriske når den ene er bildet av den andre av denne applikasjonen , og en figur sies å være symmetrisk når den er symmetrisk av seg selv, det vil si - si globalt invariant ved denne transformasjonen. Linjen d blir da kalt figurens symmetriakse .

Eiendommer

Involusjon

Aksial symmetri er - som enhver symmetri - en involusjon , det vil si at vi finner utgangspunktet eller figuren hvis vi bruker den to ganger . Spesielt er det en sammenheng .

Bevaring

Aksial symmetri er en affin isometri  ; Det holder:

• justering (det symmetriske av en rett linje er en rett linje),
• den parallellitet (de symmetriske to parallelle linjer er parallelle),
• de avstander ,
• de vinkler geometriske (symmetriske til en vinkel er et mål på den samme vinkel),
• de utkant (symmetrien av en figur er et tall med samme omkrets),
• de områder (den symmetriske av en figur er en figur av samme område).

Men det holder ikke orienteringen (heller ikke de orienterte vinklene ): når punktet M dreier rundt O "i retning mot urviseren  ", roterer dets symmetriske M 'rundt O' i motsatt retning.

Eksempler

• Hvis en linje er sekant til symmetriaksen d i M, vil den være den samme for symmetrien.
• Hvis en linje er parallell med symmetriaksen d , vil den være den samme for symmetrien.
• Hvis en linje er vinkelrett på symmetriaksen d , er den sin egen symmetri.
• Den symmetriske med hensyn til d av en sirkel med sentrum O er sirkelen med samme radius og med sentrum O ' , den symmetriske av O med hensyn til d .

Konstruksjon av det symmetriske for et punkt M med hensyn til en linje d

Vi antar at tegnet et punkt M og en linje d som ikke går gjennom M.

Med uteksaminert linjal og et firkant

• Tegn linjen som går gjennom M og vinkelrett på linjen d og merk I skjæringspunktet mellom de to linjene.
• Plasser punktet M 'symmetrisk til M i forhold til linjen d slik at MI = IM' på linjen (MI) .

Bare med kompasset

• Plasser to forskjellige punkter A og B på linjen d .
• Tegn buen til en sirkel med sentrum A og radius AM.
• Tegn buen til en sirkel med sentrum B og radius BM.
• De to buene i en sirkel krysser seg ved et punkt M 'symmetrisk med M med hensyn til d .

Merknader og referanser

Se også

Relaterte artikler

• Sentral symmetri

Eksterne linker

• Myndighetsregistreringer  :
  • Gemeinsame Normdatei
• Legg merke til i en ordbok eller generell leksikon  : Gran Enciclopèdia Catalana