Tallsystem

Et nummereringssystem er et sett med regler som styrer en eller flere gitt nummereringer . Mer eksplisitt er det et sett med regler for bruk av tegn , ord eller bevegelser som gjør det mulig å skrive, oppgi eller etterligne tall , sistnevnte blir født, i sin skriftlige form, samtidig som å skrive , av behovet til organisere innhøsting, handel og dating . Det hindu-arabiske tallsystemet er nå det mest utbredte i verden.

Grunnleggende prinsipp

Det eldste nummereringssystemet, kalt unary , viser seg upraktisk, spesielt når det gjelder håndtering av store mengder. For å avhjelpe denne mangelen består løsningen i å gruppere enhetene i pakker hver gang den samme verdien blir nådd, som kalles tallbase . På samme måte er disse pakkene gruppert i høyere ordrepakker og så videre. Vanligvis er antall elementer i hver pakke, som gir grunnlaget for tellingen, det samme. Det er imidlertid unntak, for eksempel i vår notasjon av timer: seksti sekunder i et minutt, seksti minutter i en time, tjuefire timer i en dag, tjueåtte til trettien dager i en måned. Likeledes er mayatallingen , med vigesimal karakter, uregelmessig for å nærme seg kalenderen. Det babyloniske tallet , med en seksagesimal karakter , presenteres som en kombinasjon av systemer.

Mange systemer har blitt brukt av forskjellige mennesker og tider.

• Et binært system (base 2) som brukes på språk i Sør-Amerika og Oseania , ligner på tallsystemet som brukes i informatikk (1 strømmer, 0 strømmer ikke)
• Et ternært system (base 3)
• En quinary (base 5), hvis spor igjen inntil XX th  tallet på språk afrikanske , men også delvis i rangeringer tsjuvansk , Suzhou , romerske og Maya . Navnet på tallene 6, 7, 8 og 9 på mange språk vitner om dette quinarsystemet: De sies å være 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3 og 5 + 4 i Wolof (språket i Niger -Kongolesisk familie ), på Khmer (østerriksk-asiatisk språk), på Nahuatl (uto-aztekisk språk), og på mange austronesiske språk som Lote eller Ngadha (delvis). Kvarinærbasen vises som en underbase av desimalbasen og den vigesimale basen.
• Et senarysystem (base 6) brukes i Ndom- og Kómnzo-språkene i Papua Ny-Guinea , så vel som i terninger . Den bruker seks sifre fra 0 til 5, finger teller med "multipler av tre" baser, det mest praktiske.
• Et oktalt system (base 8) brukes på Northern Pame- språket , i Mexico og på Yuki- språket , i California , så vel som innen informatikk.
• Et ikke-system (base 9) er i strid med heksadesimale, "kraften til tre" baser. Den inkluderer to ternære sifre i ett siffer.
• Et desimalsystem (base 10) har blitt brukt av mange sivilisasjoner, som kinesere fra tidlige tider, og sannsynligvis proto-indo-europeere . I dag er det den aller mest utbredte.
• Et duodecimalt system (base 12) brukes i Nepal av Chepang-folket. Det er funnet, på grunn av dens fordeler i form av deleligheten (med 2, 3, 4, 6), for et visst antall valutaer og aktuelle konto enheter i Europa i middelalderen , delvis i anglo-saksiske land. I keiser enhetssystem , og i handel. Den brukes også til å telle måneder, timer, blomster, østers og egg.
• Et heksadesimalt system (base 16), veldig ofte brukt i elektronikk så vel som innen informatikk. Dens interesse ligger i trivielle konverteringer med base 2, samtidig som det tillates en mer kompakt skriving av tall.
• Et vigesimal (eller vicesimalt, base 20) -system eksisterer i Bhutan på Dzongkha-språket, og var i bruk blant aztekerne og, selv om det var uregelmessig, for Maya-tall . Vi finner det igjen på grunn av fordelene når det gjelder delbarhet (med 2, 4, 5, 10). Noen mener at den også ble brukt av gallerne eller baskerne i de tidlige dager, men det er ikke kjent om tallene deres var desimal eller vigesimal.
• Et sexagesimalt system (base 60) ble brukt til babylonisk numerering , så vel som indianere og arabere i trigonometri . Den brukes for tiden til å måle tid og vinkler.

Visse antall baser brukes innen vitenskapelige felt, spesielt innen digital elektronikk og innen informatikk. Se artikkelen Basic (aritmetikk) for mer informasjon.

Uttalelsessystemer

Noen tall har utelukkende nytte av et enkelt navn, for eksempel mille på fransk. Ellers gjør flere prinsipper det mulig å komponere dem.

• Den tillegg  : i fransk sytten (10 + 7), sytti (60 + 10);
• det multiplikasjon  : 4-20 (4x20), to hundre (2x100) på fransk;
• den subtraksjon  : atten sies duodeviginti i klassisk latin (to-av-tyve, 20-2);
• den divisjon  : femti kalles hater-kant i Breton (halv [de-] hundre, 100/2);
• den protraction (betegnelsen introdusert av Claude Hagège ) trettifem av de nevnte holhu ca KAL i Yucatec (fem for å 1002 åtti, 15, 2 x 20 15 til 2 x 20 eller 15 fra tyve foregående 2 x 20, dvs. 15 + 20). I uttrykket av 35 (som i det på tretti) er det tilrådelig å gjenopprette en underforstått (eller fjernes) Relator som var tu (i virkeligheten ti + u med ti = Lokativ 'mot' og u = personlig indeks på 3 rd  person ' hans 'som i denne sammenhengen tjente til å utlede ordinæren fra kardinalen, slik at uttrykket 35 skulle analyseres som "15 mot andre tjueår".

Noen ganger brukes et hjelpesystem. Sammenlignet med hovedsystemet kan dette være:

• senk  : den wolof nummer er desimal men anvender et hjelpe quinary system , tjueseks sies å være Naar fukk ak juroom benn i wolof (to tiere og fem ett, 2 x 10 + 5 + 1);
• øvre  : det baskiske tallet er desimalt, men bruker et hjelpemessig vicesimalt system , hundre og femti-to sies i ehunta berrogeita hamabi på baskisk (hundre og to-tjueto og ti-to, 100 + 2 × 20 + 10 + 2 ). På samme måte i fransk i Frankrike og i kanadisk fransk (Quebec) vedvarer åtti og nitti (i stedet for åtti i Sveits og sytti og nitti i Sveits og Belgia), som kommer fra middelalder vicesimal system. , Brukt som et hjelpe til hoved desimal system av latinsk opprinnelse.

Til slutt, noen tall drar nytte av en konstruksjon uavhengig av basen som brukes. Således, for tiden på bretonsk , sies atten å være triwecʼh (tre-seks, 3 × 6). Det var også tidligere daounav (to-ni, 2 × 9), og henholdsvis for førtifem og førti-ni, pemp nav (fem ni, 5 × 9) og seizh-seizh (sju syv, 7 × 7). Det sier seg selv at denne siste formen ikke kommer fra en base syv, men fra den symbolske verdien av dette tallet.

Mime-systemer

Folk bruker tradisjonelt deler av kroppen til å telle. For en desimal- eller quinartelling er fingrene generelt involvert. Den Yukis , under anvendelse av en oktal , bruke mellomrom mellom fingrene for å telle. De Chepang mennesker , som benytter en duodecimal system , bruker tommelen til å stole på phalanges av fingrene . Mange andre metoder har også blitt benyttet.

Vurderingssystemer

Symbolene som brukes til å skrive tallene er sifrene . Reglene for bruk av disse tallene gjør det mulig å skjematisk skille mellom tre hovedfamilier med scoringssystem: additiv-, hybrid- og posisjonssystemer.

Tilsetningssystemer

Disse systemene bruker tall for å representere kreftene til basen, og muligens delmultipler av disse maktene. De andre tallene oppnås ved å plassere disse symbolene ved siden av hverandre. Leseren er så ansvarlig for å legge til verdiene til symbolene for å finne ut tallet. Dette er tilfelle med de egyptiske , greske , romerske , gotiske nummereringssystemene , eller enklere det unariske systemet eller skognummereringen .

Det er også både additive og subtraktive systemer. Dermed kjenner det romerske tallet , additiv, en senere additiv og subtraktiv variant.

Hybrid-systemer

Disse systemene bruker tall for enheter og for basiskrefter. Tallene som representerer en kraft av basen som brukes, blir om nødvendig kombinert med et tall som representerer en enhet, og tallene blir således representert ved å legge til multipler av krefter til basen. Dette er tilfelle med de kinesiske og japanske tallsystemene . Det kan bemerkes at et slikt notasjonssystem har en sterk analogi med systemet for å snakke tall på de fleste språk. (For eksempel, på fransk, blir tallet to tusen åtte hundre og sytten også dannet ved å legge til multipler av krefter for basen 10: 2 × 10³ + 8 × 10² + 1 × 10¹ + 7.)

Posisjonelle systemer

Disse systemene bruker sifre, hvor tallet i skrivingen av tallet indikerer vekten som er tildelt dem (vekt n 0 = 1, vekt n 1 = n, vekt n 2 , ... for en base n). Dette er tilfelle med maya- og babylonske tallsystemer , samt de indiske og arabiske tallsystemene som er opprinnelsen til moderne matematikk . Disse lar deg nå skrive tall ganske enkelt uavhengig av basen, ved å bruke posisjons null .

I et slikt system krever en basis β sifre for å representere alle heltall. Vanligvis varierer verdien av disse tallene fra 0 til β-1; men det finnes også typer ikke-standard representasjoner:

• k-adiske systemer, uten 0, som bruker, for en base β, sifre fra 1 til β (dette er bijektive systemer );
• balanserte systemer som bruker, for en merkelig base β, sifre fra - (β-1) / 2 til (β-1) / 2;
• overflødige systemer, og bruker for en base β et antall sifre som er strengt større enn β.

Noen systemer er ufullstendige fordi de ikke kan representere alle tallene. Dette er for eksempel tilfellet med basesystemer β som bruker et antall sifre som er strengt mindre enn β.

Flere systemer har applikasjoner innen elektronikk og databehandling. Disse systemene har det spesielle å representere tall over et definert antall posisjoner, og kan derfor bare representere heltall opp til en viss grense. For eksempel,

• i binær: negabinært system  ;
• i ternær: balansert ternært system  ;
• i β-base: Avizienis-system .

Andre systemer

Det er også alternative systemer for antall representasjoner, enten avledet fra posisjonssystemet, eller uavhengig av det grunnleggende konseptet som definert ovenfor. Her er noen eksempler,

• i matematikk (se tilsvarende neste avsnitt): fortsatt brøkutvidelse , Engel-utvidelse i serie , Hensel-utvidelse , modulært representasjonssystem  ;
• elektronikk og datamaskiner: Jeg tenkte binær (eller grå kode), komplementet til de to komplementet , BCD .

Matematikk

Definisjon

• En nummersystem er en trippel ( X, I, φ ), hvor X er innstilt for å nummerere, I er en fi nite eller tell tall og φ er en injektiv kartlegging i rekken av tall , . I desimalnotasjon er X settet med naturlige tall , er settet med desimaltegn og sekvensen assosiert med et helt tall er sekvensen til desimaltegnene. Søknaden φ kalles representasjon av anvendelsen, og φ ( x ) er en representasjon av x ∈ X . Kvalifiserte Suites er definert som bilde representasjoner φ ( x ) for x ∈ X .Φ:X↪JegIKKE{\ displaystyle \ Phi: X \ hookrightarrow I ^ {\ mathbb {N}}}x↦(ϵikke(x))ikke≥1{\ displaystyle x \ mapsto (\ epsilon _ {n} (x)) _ {n \ geq 1}}
  Jeg={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}{\ displaystyle I = \ {0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9 \}}
  
  
• Georg Cantor definerer et nummereringssystem som dataene til en serie naturlige tall a n arrangert i stigende rekkefølge (i tilfelle av desimalsystemet: a n = 10 n ) og for hver enkelt, med en maksimal verdi m n koeffisient ved som vi tillater oss å multiplisere den (i tilfelle av desimalsystemet: m n = 9). Han kaller fremstilling av et naturlig tall N hele endelig sekvens av koeffisienter c k , hver c k er et naturlig tall som ikke er større enn m k , slik at summen av c k en k er lik N . Han demonstrerer at et slikt system er "enkelt", dvs. representerer hvert heltall N unikt, hvis og bare hvis a 0 = 1 og for alle n , a n +1 = (1 + m n ) a n , strekker seg i dette tilfellet representasjonene av heltall i representasjoner av ( positive ) realer , og tilfører dem uendelige serier av formen∑k=1+∞dkpåk,dk∈{0,1,...,mk-1}.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {d_ {k}} {a_ {k}}}, \ quad d_ {k} \ in \ {0,1, \ ldots , m_ {k-1} \}.}
• Aviezri S. Fraenkel gir en generell definisjon av et tallsystem og beskriver tilfeller av unikhet og fullstendighet: et tallsystem er komplett hvis det lar alle heltall bli representert.
• Den systematiske studien ble tatt opp i sammenheng med formelle språk og kombinatorikk av Michel Rigo.
• Problemet med forplantningen av utsettelsen har blitt studert av Valérie Berthé , Christiane Frougny, Michel Rigo og Jacques Sakarovitch.

Eksempler

• Den q -adiske representasjonen , eller skriving i base q : ethvert naturlig heltall skrives på en unik måte som , med sifrene og hvor er antall sifre på n i base q . Tilsvarende kan enhver ekte skrives på en unik måte hvis utvidelsen er riktig (ingen uendelig rekkefølge på q -1 som 0,999 ... = 1), som .ikke=∑Jeg=0IKKEϵJeg(ikke)qJeg{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}0≤ϵJeg(ikke)<q{\ displaystyle 0 \ leq \ epsilon _ {i} (n) <q}ϵIKKE(ikke)≠0{\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}IKKE=⌊Logg⁡(ikke)Logg⁡(q)⌋+1{\ displaystyle N = \ left \ lfloor {\ frac {\ log (n)} {\ log (q)}} \ right \ rfloor +1}ikke=∑Jeg=-∞IKKEϵJeg(ikke)qJeg{\ displaystyle n = \ sum _ {i = - \ infty} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) q ^ {i}}
• Den representasjon Zeckendorf  : tallene Fibonacci , , brukes til å skrive helt naturlig helhet som unikt med tallene og .F0=1{\ displaystyle F_ {0} = 1}F1=2{\ displaystyle F_ {1} = 2}Fikke+2=Fikke+1+Fikke{\ displaystyle F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_ {n}}ikke=∑Jeg=0IKKEϵJeg(ikke)FJeg{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} \ epsilon _ {i} (n) F_ {i}}ϵJeg(ikke)∈{0,1}{\ displaystyle \ epsilon _ {i} (n) \ in \ {0,1 \}}ϵIKKE(ikke)≠0{\ displaystyle \ epsilon _ {N} (n) \ not = 0}
• Representasjonen i fortsatte brøker  : ethvert reelt tall kan skrives (på en unik måte hvis utvidelsen er riktig) med og for k> 0 .x=på0+1på1+1på2+1på3+...{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ frac {1} {a_ {3} + \ dots}} }}}}}på0∈Z{\ displaystyle a_ {0} \ in \ mathbb {Z}}påk∈IKKE∗{\ displaystyle a_ {k} \ in \ mathbb {N} ^ {*}}
• Ikke-heltall base antall systemer  : det gull basen er et eksempel.
• Den dekomponering til primtall er et nummereringssystem, spesielt brukt av kvante-datamaskiner , ∀ikke∈IKKE∗,∃!(αs)s∈P∈IKKE(P):ikke=∏s∈Psαs{\ displaystyle \ forall n \ i \ mathbb {N} ^ {*}, \ eksisterer! (\ alpha _ {p}) _ {p \ i {\ mathcal {P}}} \ i \ mathbb {N} ^ {({\ mathcal {P}})}: n = \ prod _ {p \ i {\ mathcal {P}}} p ^ {\ alpha _ {p}}}.

• Den Modular Representasjon system (RNS) gjør det mulig, ved anvendelse av en base av innbyrdes prime -moduler , for å liste opp alle heltall opp til sin resterende sekvens ved hjelp av den kinesiske Rest sats .{m1,m2,...,mikke}{\ displaystyle \ {m_ {1}, m_ {2}, \ ldots, m_ {n} \}}0≤x<M{\ displaystyle 0 \ leq x <M}M=∏Jeg=1ikkemJeg{\ displaystyle M = \ prod _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}}(x(modmJeg))1≤Jeg≤ikke{\ displaystyle (x {\ pmod {m_ {i}}}) _ {1 \ leq i \ leq n}}
• Den faktoriell teller  (i) , hvori en endelig sekvens av heltall med betyr et helt tall .(xikke,...,x1){\ displaystyle (x_ {n}, \ ldots, x_ {1})}0≤xk≤k{\ displaystyle 0 \ leq x_ {k} \ leq k}∑k=1ikkexk.k!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} .k!}

Fibertellingssystem

Tallene kommer fra en ikke-injiserende transformasjon T:X→X{\ displaystyle T: X \ til X}

• I q-adic-representasjon er "enhets siffer" gitt av og sekvensen av sifre etter hvor T er kartet .ϵ(ikke)=ikke(modq){\ displaystyle \ epsilon (n) = n \, ({\ text {mod}} \, q)}ϵk(ikke)=ϵ(Tk(ikke)){\ displaystyle \ epsilon _ {k} (n) = \ epsilon (T ^ {k} (n))}T(ikke)=(ikke-ϵ(ikke))/q{\ displaystyle T (n) = ({n- \ epsilon (n)}) / q}
• Fortsettelsen av figurene av representasjonen i fortsatte brøker kommer fra og anvendelsen av Gauss .ϵ(x)=⌊1/x⌋{\ displaystyle \ epsilon (x) = \ lfloor 1 / x \ rfloor} T(x)=1/x-ϵ(x){\ displaystyle T (x) = 1 / x- \ epsilon (x)}

Merknader og referanser

1. "  Numbers in Wolof  " , på www.omniglot.com (åpnet 10. januar 2020 )
2. av Tuxy Varman | , "  Khmer-figurer  " , på Srok Khmer - Lær Khmer ,28. november 2014(åpnet 10. januar 2020 )
3. "  Numbers in Nahuatl  " , på www.omniglot.com (åpnet 10. januar 2020 )
4. "  Numbers in Lote  " , på www.omniglot.com (åpnet 10. januar 2020 )
5. "  Numbers in Ngadha  " , på www.omniglot.com (åpnet 10. januar 2020 )
6. A. Cauty, Specificities of pre-Columbian Mayan numeration , Memory of the Société de Linguistique de Paris, Nouvelle Série, bind XII, 2002, Leuven (Belgia), Peters, s.121-147
7. A. Cauty, The protractive type numerations av Maya-området , fakta av språk, n o  20, 2002: Mesoamerika, Bisk, Amazonia, vol. 1, Paris, Ophrys, s. 85-93.
8. Michel Rigo, Formal Languages, Automata and Numeration Systems , vol.  2: Applications to Recognizability and Decidability , London / Hoboken, NJ, ISTE / John Wiley & Sons, Inc.,2014.
9. (De) Georg Cantor, "  Ueber die einfachen Zahlensysteme  " , Zeitschrift für Mathematik und Physik , vol.  14,1869, s.  121-128 ( les online ).
10. (in) Aviezri S. Fraenkel, "  Systems of Numeration  " , American Mathematical Monthly , vol.  92, n o  to1985, s.  105-114.
11. Valérie Berthé , Christiane Frougny , Michel Rigo og Jacques Sakarovitch , “  The carry propagation of the successor function  ”, Advances in Applied Mathematics , vol.  120, 2020, Artikkel n o  102062 ( DOI  10.1016 / j.aam.2020.102062 , arxiv  1907,01464 ).
12. (in) AJ Kempner, "  Unormal systems of numeration  " , American Mathematical Monthly , vol.  43, n o  101936, s.  610-617 ( DOI  10.2307 / 2300532 ).
13. John Gribbin , Quantum fysikk , to th ed., Pearson Education, 2007 ( ISBN  978-2-7440-7263-5 ) , s.  57 .
14. Charles-Ange Laisant , "  On factorial numeration, application to permutations  ", Bulletin of the Mathematical Society of France , vol.  16,1888, s.  176-183 ( les online ).

Se også

Relaterte artikler

• Digital kanal
• Telling
• Romertall
• Skogtelling
• Ostrowski teller
• Posisjonsnotasjon
• Base (aritmetikk)
• Unary system
• Tall på fransk
• Arabiske tall
• Tall i verden
• Liste over tall
• Vicesimalt system
• Ordinært system
• The Ciphers of the Monks
• Historisk gammelt digitalt system  (in)
  • Forhistorisk telling  (i)
  • Australian Aboriginal Digital System  (en)
  • Tellepinne

Eksterne linker

• NUMMER: kuriositeter, teori og bruksområder på Gérard Villemins nettsted (tellebaser)
• Telling
• Grunnleggende omformer på nettstedet Nice-Sophia-Antipolis University
• Programvare for å oppdage nummereringssystemer [1] på Michel Ramus-nettstedet