Primtallsetning

I matematikk , og nærmere bestemt i analytisk tallteori , er primtallsetningen , uavhengig demonstrert av Hadamard og La Vallée Poussin i 1896, et resultat angående asymptotisk fordeling av primtall .

Stater

Theorem  -  For real x er antallet π ( x ) av første tall mindre enn eller lik x er tilsvarende , når x har en tendens til + ∞ , kvotienten av x ved sin naturlige logaritme . Er

π(x)∼xln⁡(x) (x→+∞),{\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln (x)}} \ (x \ to + \ infty),}

det er å si

limx→+∞π(x)ln⁡(x)x=1.{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ pi (x) {\ frac {\ ln (x)} {x}} = 1.}

Tilsvarende utsagn

Primtallsetningen tilsvarer når derfor følgende asymptotiske oppførsel for det n- primtallet  : π(x)ln⁡(π(x))∼x{\ displaystyle \ pi (x) \ ln (\ pi (x)) \ sim x}x→∞{\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}sikke{\ displaystyle p_ {n}}

sikke∼ikkeln⁡(ikke){\ displaystyle p_ {n} \ sim n \ ln (n)}.

Det tilsvarer også

θ(x)∼x(x→∞){\ displaystyle \ theta (x) \ sim x \ quad (x \ rightarrow \ infty)}

og til

ψ(x)∼x(x→∞){\ displaystyle \ psi (x) \ sim x \ quad (x \ rightarrow \ infty)},

siden hver av de to Chebyshev-funksjonene og , der betegner settet med primtall, tilsvarer asymptotisk når . θ(x): =∑s∈P, s≤xln⁡s{\ displaystyle \ theta (x): = \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}, ~ p \ leq x} \ ln p \ quad}ψ(x): =∑s∈P, k∈IKKE∗, sk≤xln⁡s{\ displaystyle \ quad \ psi (x): = \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}, ~ k \ in \ mathbb {N} ^ {*}, ~ p ^ {k} \ leq x} \ ln p}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}π(x)ln⁡x{\ displaystyle \ pi (x) \ ln x}x→∞{\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}

Primtallsetningen tilsvarer også, i en viss forstand, påstanden om at Riemann zeta-funksjonen ikke forsvinner på abscissen av reell del 1:

∀t∈Rζ(1+Jegt)≠0{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} \ quad \ zeta (1+ \ mathrm {i} t) \ neq 0}.

Asymptotiske tilnærminger

En betydelig bedre tilnærming av π ( x ) enn x / ln ( x ) er loggintegralfunksjonen li ( x ) eller dens variant, den logaritmiske integralavviksfunksjonen Li ( x )  :

π(x)∼lJeg(x)∼LJeg(x){\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ rm {li}} (x) \ sim {\ rm {Li}} (x)}

eller

lJeg(x)=∫0xdtln⁡(t) og LJeg(x)=lJeg(x)-lJeg(2)=∫2xdtln⁡(t).{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}} {\ text {and}} \ mathrm {Li} (x) = \ mathrm {li} (x) - \ mathrm {li} (2) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}}.}

Se avsnittene Historikk og eksempler på numeriske estimater nedenfor for estimater av feilen i disse tilnærmingene .

Historie

Primtallsetningen ble antatt i kanten av en logaritmetabell av Gauss i 1792 eller 1793 da han bare var 15 eller 16 år gammel (ifølge hans egne senere påstander) og av Adrien-Marie Legendre (utkast i år VI av den republikanske kalenderen , dvs. 1797-1798, presis formodning i 1808).

Russiske Pafnouti Chebyshev etablerte i 1851 at hvis x er stor nok, er π ( x ) mellom 0,92129 x / ln ( x ) og 1,10556 x / ln ( x ).

Teoremet ble til slutt bevist uavhengig av Hadamard og La Vallée Poussin i 1896 ved hjelp av metoder for kompleks analyse , spesielt ved bruk av funksjonen ζ Riemann .

I 1899 forbedret La Vallée Poussin resultatet sitt ved å vise at (med O- notasjonen Landau )

π(x)=lJeg(x)+O(xeksp⁡(-ln⁡x2V)){\ displaystyle \ pi (x) = {\ rm {li}} (x) + O \ left (x \ exp \ left (- {\ sqrt {\ frac {\ ln x} {2V}}} \ right) \ Ikke sant)}

for noen konstant V . Landau (i 1909) arbeidet mange andre med å redusere den tillatte størrelsen på denne konstante V , med en metode der V måler en ekstrem egenskap til en viss klasse av trigonometriske polynomer . Vi vet at V = 34.5036 er egnet. Problemet med å bestemme med denne metoden den minste mulige verdien V er kjent under navnet "Landaus ekstreme problem". Det er et interessant forskningsfag i seg selv, uavhengig av anvendelsen til estimering av La Vallée Poussin. Hvilken applikasjon har blitt rent anekdotisk siden vi har estimatet Vinogradov-Korobov-Richert (se rett nedenfor), som er mye bedre, og som spesielt innebærer at vi kan erstatte V med et så lite tall som du vil i La Vallée Poussin.

I motsetning til hva numerisk eksperimentering kan antyde , er ikke li ( x ) alltid større enn π ( x ). Den engelske matematikeren John Littlewood demonstrerte allerede i 1914 at det er xs som denne ulikheten er omgjort for.

På grunn av forholdet mellom funksjonen ζ og funksjonen π , har Riemann-hypotesen betydelig betydning i tallteorien  : hvis den ble bevist, ville den gi et langt bedre estimat av feilen som forekommer i setningen til tall . Primtall.

Helge von Koch i 1901 viste mer presist:

Riemann-hypotesen innebærer estimering π(x)=lJeg(x)+O(xln⁡x).{\ displaystyle \ pi (x) = {\ rm {li}} (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ ln x \ right).}

(Dette sistnevnte estimatet tilsvarer faktisk Riemann-hypotesen). Vi er fremdeles langt fra en så presis vurdering. På den annen side vet vi at enhver forbedring av regionen uten null av funksjonen ζ de facto forbedrer feil begrepet av primtall teoremet. Den mest kjente null-null-regionen ble oppnådd i 1958 av Korobov og Vinogradov .

[Denne regionen var litt for "optimistisk" og ble aldri grundig etablert, verken av Vinogradov, Korobov eller noen andre. Den ble til slutt erstattet av en mindre region (men etablert av bevis) av Hans-Egon Richert  (i) i 1967].

Richert-regionen innebærer følgende resultat:

π(x)=lJeg(x)+O(xeksp⁡(-vs.(ln⁡x)3/5(ln⁡ln⁡x)-1/5)),{\ displaystyle \ pi (x) = {\ rm {li}} (x) + O \ left (x \ exp \ left (-c (\ ln x) ^ {3/5} (\ ln \ ln x) ^ {- 1/5} \ høyre) \ høyre),}

der c > 0 er en absolutt konstant.

Når det gjelder eksplisitte markeringer , la oss nevne arbeidet til Rosser og Schoenfeld  (en) (1962, 1975, 1976), deretter til Dusart (1998). Ved å bruke stadig kraftigere datamaskiner klarte disse forskerne å bestemme flere og flere ikke-trivielle nuller av funksjonen ζ på den kritiske linjen. Denne bedre kunnskapen innebærer gode estimater av de vanlige funksjonene til primtall, med eller uten Riemann-hypotesen. Dermed var Schoenfeld i stand til å etablere:

hvis Riemann-hypotesen er sant, da ∀x≥2657,|π(x)-lJeg(x)|<18πxln⁡x{\ displaystyle \ forall x \ geq 2657, \ quad | \ pi (x) - {\ rm {li}} (x) | <{\ frac {1} {8 \ pi}} {\ sqrt {x}} \ ln x}

mens Dusart ubetinget demonstrerte det

∀x≥59,|π(x)-LJeg(x)|<2Kx(ln⁡x)3/4eksp⁡(-ln⁡xR),{\ displaystyle \ forall x \ geq 59, \ quad \ left | \ pi (x) - {\ rm {Li (x)}} \ right | <2K {\ frac {x} {(\ ln x) ^ { 3/4}}} \ exp \ left (- {\ sqrt {\ frac {\ ln x} {R}}} \ høyre),}eller

R≈9,645908801 og K=8/(17π)R1/4≈0,2196.{\ displaystyle R \ ca 9.645908801 {\ text {et}} K = {\ frac {\ sqrt {8 / (17 \ pi)}} {R ^ {1/4}}} \ ca. 0.2196.}

Når det gjelder summen av krefter av primtall, gir en enkel summering av Abel fra primtalsetningen,

∀α>-1,∑s<xsα∼xα+1(α+1)ln⁡x∼lJeg(xα+1){\ displaystyle \ forall \ alpha> -1, \ quad \ sum _ {p <x} p ^ {\ alpha} \ sim {\ frac {x ^ {\ alpha +1}} {(\ alpha +1) \ ln x}} \ sim {\ rm {li}} (x ^ {\ alpha +1})}.

Tilfellet α = 0 for denne ekvivalensen er selvfølgelig primtallsetningen; Hvis α = 1 ble behandlet av Edmund Landau i 1909. Hvis α = -1 , som ekvivalensen ikke gjelder for, er gitt av andre setning Mertens  : . ∑s<x1s=ln⁡ln⁡x+M+O(1/ln⁡x){\ displaystyle \ sum _ {p <x} {\ frac {1} {p}} = \ ln \ ln x + M + O (1 / \ ln x)}

Utkast bevis

Vi starter med å skrive likheten mellom Euler-produktet og Weierstrass-faktoriseringen av zeta-funksjonen:

ζ(s)=∏s∈P 11-s-s=epå+bss-1∏ρ∈Z(1-sρ)esρ{\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} \ {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = {\ frac {e ^ {a + bs}} {s-1}} \ prod _ {\ rho \ in Z} \ left (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ right) e ^ {\ frac {s} {\ rho} }}

med s av reell del strengt større enn 1, Z settet med nuller (trivielt og ikke-trivielt) av zeta og a , b- konstanter. Vi tar deretter det logaritmiske derivatet:

ζ′(s)ζ(s)=-∑s∈Ps-s1-s-sln⁡s=b-1s-1+∑ρ∈Zsρ(s-ρ){\ displaystyle {\ frac {\ zeta '(s)} {\ zeta (s)}} = - \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}} {\ frac {p ^ {- s}} {1 -p ^ {- s}}} \ ln p = b - {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {\ rho \ in Z} {\ frac {s} {\ rho (s- \ rho)}}}

Gjennom hele den komplekse serien for | z | <1, han kommer . Det ser vi også , som gir z1-z=∑ikke=1∞zikke{\ displaystyle {\ frac {z} {1-z}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} z ^ {n}}∑s∈Ps-s1-s-sln⁡s=∑s∈P,ikke≥1s-ikkesln⁡s{\ displaystyle \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}} {\ frac {p ^ {- s}} {1-p ^ {- s}}} \ ln p = \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}, \; n \ geq 1} p ^ {- ns} \ ln p}b+1=ζ′(0)/ζ(0)=ln⁡2π{\ displaystyle b + 1 = \ zeta '(0) / \ zeta (0) = \ ln 2 \ pi}

∑s∈P,ikke≥1s-ikkesln⁡s=-ln⁡2π+ss-1-∑ρ∈Zsρ(s-ρ){\ displaystyle \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}, \; n \ geq 1} p ^ {- ns} \ ln p = - \ ln 2 \ pi + {\ frac {s} {s-1 }} - \ sum _ {\ rho \ in Z} {\ frac {s} {\ rho (s- \ rho)}}}

for Re (s)> 1. Vi ønsker nå å integrere denne likheten mot funksjonen x s / s (med x konstant fast). Integreringskonturen er et høyresidig rektangel {Re (s) = σ} med σ> 1 og som strekker seg til uendelig loddrett og til venstre. Etter beregninger ved bruk av restsetningen får vi Riemanns  berømte eksplisitte formel (en) , for x > 0 ikke kraften til et primtall:

∑s∈P,m≥1,sm<xln⁡s=x-∑ρxρρ-ln⁡2π-12ln⁡(1-1x2){\ displaystyle \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}, \; m \ geq 1, \; p ^ {m} <x} \ ln p = x- \ sum _ {\ rho} {\ frac { x ^ {\ rho}} {\ rho}} - \ ln 2 \ pi - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 - {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ Ikke sant)}

med denne gangen ρ feier bare de ikke-trivielle nullene til zeta (trivialene er gruppert sammen i forrige periode). Til venstre kjenner vi igjen Chebyshev-funksjonen ψ ( x ), asymptotisk ekvivalent med π ( x ) ln ( x ) . Primtallsetningen er derfor nesten bevist, siden til høyre ser vi forventet begrep x . Det siste poenget å vise er at de andre høyrehåndsbetingelsene er ubetydelige foran x , med andre ord at det ikke er noe null ρ hvis virkelige del er 1. Dette poenget er bevist av Hadamard og La Vallée Poussin.

Hva skjedde med "dybden"

Det er enighet om å skille mellom flere typer matematiske bevis, i henhold til graden av sofistikering av de matematiske teoriene man appellerer til; primtallsetningen gir en prototype for denne typen hensyn.

Det ble antatt i lang tid, på begynnelsen av XX E  århundre, og særlig Godfrey Hardy , at enhver demonstrasjon av satsen til primtalene uunngåelig måtte appellere til komplekse analysesetninger; som i tillegg kan virke frustrerende for en uttalelse som tilsynelatende først og fremst relaterer seg til hele tallene (selv om de krever rasjonelle tall, til og med de reelle tallene for å kunne angis). Så det var en utfordring for matematikere som prøvde å finne en demonstrasjon elementær  (in) av denne teoremet -  elementært uvillig til å si enkelt eller usofistikert, men bare gjøre minst mulig å bruke eksterne metoder for å regne i vårt tilfelle - eller å forstå nøyaktig hvorfor visse uttalelser er bare tilgjengelig med mer avanserte metoder enn man kunne forvente. Hardy snakket derfor om "dybden" av teoremene og mente at primtallsetningen var en av uttalelsene hvis "dybde" gjorde dem tilgjengelige bare gjennom kompleks analyse.

Et første brudd i denne oppfatningen var oppdagelsen av et bevis bare basert på Wieners tauberiske teorem  ; men det var ikke klart at man ikke kunne tilskrive denne teoremet en "dybde" som tilsvarer setningene som følge av kompleks analyse.

Debatten ble avgjort i 1949, da Paul Erdős og Atle Selberg hver ga et unektelig elementært bevis på primtalsetningen. Uansett verdien av begrepet "dybde", krevde ikke satsen for primtallsetningen komplisert analyse. Mer generelt, oppdaget oppdagelsen av disse elementære demonstrasjonene en fornyet interesse for silemetoder , som dermed fant sin plass i aritmetikk.

Til tross for den “elementære” naturen til denne demonstrasjonen, forble den kompleks og ofte ansett som kunstig; i 1980 oppdaget Donald J. Newman  (in) en elegant anvendelse av en tauberisk teorem som (etter nye forenklinger) kunne gi et veldig kort bevis med lite mer enn restsetningen  ; Don Zagier holdt en presentasjon på to sider i 1997, for hundreårsdagen for teoremet.

Tilnærminger av det niende primtallet

Primtallsetningen sier at rekkefølgen av primtallene tilfredsstiller: (sikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

sikkeikke∼ln⁡ikke{\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {n}} \ sim \ ln n}.

Fra resultatene av La Vallée Poussin fra 1899 , trekker vi ut asymptotiske utvidelser mye mer presise enn dette tilsvarende. For eksempel (med Landau s o notasjon ):

ikkesikke=1ln⁡sikke+1(ln⁡sikke)2+2(ln⁡sikke)3+6(ln⁡sikke)4+o(1(ln⁡sikke)4),{\ displaystyle {\ frac {n} {p_ {n}}} = {\ frac {1} {\ ln p_ {n}}} + {\ frac {1} {(\ ln p_ {n}) ^ { 2}}} + {\ frac {2} {(\ ln p_ {n}) ^ {3}}} + {\ frac {6} {(\ ln p_ {n}) ^ {4}}} + o \ left ({\ frac {1} {(\ ln p_ {n}) ^ {4}}} \ høyre),}

som gjør det mulig å demonstrere

sikkeikke=ln⁡ikke+ln⁡ln⁡ikke-1+ln⁡ln⁡ikke-2ln⁡ikke-(ln⁡ln⁡ikke)2-6ln⁡ln⁡ikke+112(ln⁡ikke)2+o(1(ln⁡ikke)2).{\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {n}} = \ ln n + \ ln \ ln n-1 + {\ frac {\ ln \ ln n-2} {\ ln n}} - {\ frac {(\ ln \ ln n) ^ {2} -6 \ ln \ ln n + 11} {2 (\ ln n) ^ {2}}} + o \ left ({\ frac {1} {(\ ln n) ^ {2}}} \ høyre).}

De teoremet Rosser viser at p n er større enn n ln  n . Vi klarte å forbedre denne reduksjonen og oppnå et rammeverk: ln⁡ikke+ln⁡ln⁡ikke-1<sikkeikke<ln⁡ikke+ln⁡ln⁡ikketil ikke≥6{\ displaystyle \ ln n + \ ln \ ln n-1 <{\ frac {p_ {n}} {n}} <\ ln n + \ ln \ ln n \ quad {\ text {for}} n \ geq 6} Til og med, sikkeikke<ln⁡ikke+ln⁡ln⁡ikke-0,948til ikke≥40 000.{\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {n}} <\ ln n + \ ln \ ln n-0.948 \ quad {\ text {for}} n \ geq 40 ~ 000.}

Eksempler på numeriske estimater

Her er en tabell som viser den komparative oppførselen til π ( x ) og dens tilnærminger, x / ln ( x ) og li ( x ), og de absolutte (i forskjell) og relative (i proporsjon) avvik mellom disse tre funksjonene:

x	π ( x )	π ( x ) - x / ln ( x )	π ( x ) / ( x / ln ( x ))	li ( x ) - π ( x )	li ( x ) / π ( x )	x / π ( x )	ln (x)
10 0 = 1	0, fordi 1 ikke er prime	udefinert, fordi ln (1) = 0	udefinert fordi ln (1) = 0	- evighet	ikke definert	ikke definert	0
2 × 10 0 = 2	1 (den første "2")	–2	0,347	0	0	2.000	0,693
4 × 10 0 = 4	2 (den første "2" og "3")	-1	0,693	1	1.500.000.000.000	2.000	1.386
10 1	4 ("2", "3", "5" og "7")	–0	0,921	2	1.500.000.000.000	2500	2.303
10 2	25	3	1.151	5	1.200.000.000.000	4000	4,605
10 3	168	23	1.161	10	1.059 523 809524	5,952	6.908
10 4	1 229	143	1.132	17	1.013 832 384052	8.137	9.210
10 5	9,592	906	1.104	38	1.003 961 634 696	10.430	11.513
10 6	78.498	6 116	1.084	130	1.001 656093 149	12 740	13.816
10 7	664 579	44,159	1.071	339	1 000 510 097 370	15.050	16.118
10 8	5 761 455	332,774	1.061	754	1.000 130 869 720	17.360	18.421
10 9	50 847 534	2.592.592	1.054	1.701	1000 033 452950	19,670	20 723
10 10	455.052.511	20 758 029	1.048	3 104	1 000 006 821 191	21.980	23.026
10 11	4.118.054.813	169 923 159	1.043	11 588	1.000 002813 950	24 280	25,328
10 12	37 607 912 018	1.416.705.193	1.039	38 263	1.000 001017 419	26.590	27,631
10 13	346 065 536 839	11 992 858 452	1.034	108,971	1.000.000 314.885	28.900	29.934
10 14	3,204,941,750,802	102 838 308636	1.033	314.890	1.000.000 098 251	31.200	32,236
10 15	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1.031	1.052.619	1.000.000 035.270	33,510	34.539
10 16	279 238 341033 925	7,804,289,844,392	1.029	3,214,632	1.000.000 011.512	35.810	36.841
4 × 10 16	1075 292778 753 150	28929 900 579 949	1.028	5.538.861	1.000.000 005 151	37.200	38,228
10 17	2,623,557 157,654,233	68 883734 693 281	1.027	7 956 589	1.000.000 003.033	38.116	39.144
10 18	24 739 954 287 740 860	612 483070 893 536	1.025	21 949 555	1.000.000.000 887	40.420	41,447
10 19	234057667276344607	5 481624 169 369 960	1.024	99 877 775	1.000.000.000 427	42,725	43,749
10 20	2220819602560918840	49 347 193044 659 701	1.023	222744644	1.000.000.000 100	45,028	46.052
10 21	21 127 269 486018 731 928	446 579 871 578 168 707	1.022	597 394 254	1.000.000.000 028	47,332	48.354
10 22	201 467 286 689 315 906 290	40607040006019620994	1.021	1 932 355 208	1.000.000.000 010	49,636	50.657
10 23	19253203916068039688923	37 083 513 766 578 631 309	1.020	7 250 186 216	1.000.000.000 004	51,939	52,959
OEIS	Etter A006880 fra OEIS	Etter A057835 fra OEIS		Etter A057752 fra OEIS

Merknader (indeksene "i" i disse notatene tilsvarer referansene "Ti" i tabellen):

1. I primtalsetningen kan "  x  " representere et positivt reelt tall; i denne tabellen er eksemplene imidlertid valgt fra heltall for å forenkle illustrasjonen. Progresjonen til eksemplene ble valgt eksponentiell (med unntak av 2 e , 3 e og 20 e  linjer) for å være tilpasset skiftende logaritmiske primtall.
2. Resultatet av "π ( x ) - x / ln ( x )" er avrundet til hele sin del  ; på “-” skilt i to nd  linjen viser at resultatet er svakt negativ (ca. -0,3) før avrundet til 0.
3. Beregningen til 3 desimaler “π ( x ) / ( x / ln ( x ))” er utført med en tilnærmet desimalverdi på “  x / ln ( x )” som ikke er presentert i denne tabellen og ikke bruker andre kolonne i tabellen som gir den eneste heltalsdelen av "π ( x ) - x / ln ( x )", derfor av "  x / ln ( x )".
4. Resultatet "li ( x ) - π ( x )" er avrundet til hele sin del.
5. De omtrentlige verdier av "li ( x ) / π ( x )", er avrundet (ikke avkortet) til 12 th  desimal plass; men beregningen gjøres med verdien av "li ( x )" avrundet til hele sin del, fordi den kommer fra forrige kolonne. For en mer presis beregning er det nødvendig å bruke tabeller med "li ( x )", i trykt form som denne , ellers beregnet på linje som denne .
6. Dette " x / π ( x )" -forholdet  måler den økende fortynningen av primtall mindre enn et helt (eller reelt) tall "  x  " når dette tallet øker.

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen "  Prime number theorem  " ( se listen over forfattere ) .

1. se (in) Tom M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory , Springer ,1976, 340  s. ( ISBN  978-0-387-90163-3 , leses online ) , s.  80, th. 4.5, eller øvelse justert for leksjonen "Introduksjon til tallteorien" på Wikiversity ..
2. GH Hardy og EM Wright ( oversatt  fra engelsk av F. Sauvageot), Introduksjon til tallteorien ["  En introduksjon til teorien om tall  "], Vuibert -Springer,2007, s.  11.
3. Gérald Tenenbaum og Michel Mendès Frankrike , The Prime Numbers , Que sais-je? 571, Paris, PUF , 1997, s.  11 , oppgi varianten .ikke∼sikke/ln⁡(sikke){\ displaystyle n \ sim p_ {n} / {\ ln (p_ {n})}}
4. Apostol 1976 , s.  79, th. 4.4.
5. Hardy og Wright 2007 , s.  444, th. 420.
6. (in) AE Ingham , The Distribution of Prime Numbers , Cambridge University Press ,1932( les online ) , s.  36-37.
7. Ifølge La Vallée Poussins estimat fra 1899 holder den asymptotiske utvidelsen av li ( x ) også for π ( x ) , i hvilken som helst rekkefølge. Men x / ln x er bare den første termen.
8. I vitenskapelig litteratur, spesielt angelsaksisk, blir den integrerte logaritmefunksjonen li ( x ) ofte notert Li ( x ) med store bokstaver ( Bernhard Riemann , Helge von Koch , Hans Carl Friedrich von Mangoldt Edmund Landau , etc.), slik at denne siste notasjonen også betegner den integrerte logaritmiske avviksfunksjonen. Med notasjonen vedtatt i denne artikkelen har vi Li (2) = 0 mens li (2) = 1.045 ...
9. (de) Brev fra Gauss fra 1849 til Encke  : “  Die gütige Mittheilung Ihrer Bemerkungen über die Frequenz der Primzahlen ist mir in mehr als einer Beziehung interessant gewesen. Sie haben mir meine eigenen Beschäftigungen mit demselben Gegenstande i Erinnerung gebracht, Deren erste Anfänge i eine sehr entfernte Zeit falt, ins Jahr 1792 oder 1793, wo ich mir die Lambertschen Supplemente zu den Logarithmentafeln angeschafft hatte.  "
10. Edmund Landau . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Tredje utgave, Chelsea 1974, s. 11, 19 og 996. Se også s. 95 for en variant av metoden som gjør at konstanten 1.10556 kan erstattes av 1.08029.
11. Gilles Lachaud , "  The Riemann Hypothesis - The Grail of Mathematicians  ", Les Dossiers de La Recherche , nr .  20,August 2005, s.  26-35 ( les online ), s.  30 .
12. (in) Szilard Revesz , "  On Some extremal problems of Landau  " , Serdica Math. J. , vol.  33,2007, s.  125-162 ( les online ).
13. (in) Szilard Gy. Revesz, "  The Prime Number Theorem and Landaus Extreme Problems  " (Harmonic Analysis Seminar at the Rényi Institute Lecture Notes).
14. (in) VV Arestov og VP Kondrat'ev , "  Certain extremal problem for nonnegative trigonometriske polynomer  " , Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR , Vol.  47, n o  1,januar 1990, s.  10-20 ( DOI  10.1007 / BF01157278 ).
15. Jean-Pierre Kahane , "  Antallet, dette ukjente  " , Konferanse ved matematikkens assises, Poitiers ,2. april 1999.
16. Se artikkelen "  Number of Skewes  ".
17. NF Helge von Koch. Om fordelingen av primtall , Acta Mathematica 24 (1901), 159–182. Les online: [1] .
18. (i) Lowell Schoenfeld , "  Skarpere grenser for Chebyshev- funksjonene θ ( x ) og ψ ( x ) . II  ” , matematikk. Komp. , vol.  30,1976, s.  337-360 ( les online ).
19. Pierre Dusart , Rundt funksjonen som teller antall primtall , doktorgradsavhandling ved University of Limoges, forsvarte 26. mai 1998, Theorème 1.12, s.  38 .
20. (fra) E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen ,1909( les online ) , s.  226.
21. (in) P. Erdős, "  var ny metode i elementær tallteori qui fører til et elementært bevis på primtallsetningen  " , PNAS , vol.  35,1949, s.  374-384 ( les online ).
22. (in) A. Selberg, "  Et elementært bevis på primtalsetningen  " , Ann. Matte. , vol.  50, n o  to1949, s.  305-313 ( JSTOR  1969455 ).
23. (in) Paul Pollack Ikke alltid begravet dypt: Et andre kurs i elementær tallteori , AMS ,2009( les online ) , kap.  7 (“An Elementary Proof of the Prime Number Theorem”) , s.  213-246.
24. (i) Dorian M. Goldfeld , "  The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective  " ,2003.
25. Michèle Audin , "  Et kurs om spesialfunksjoner  " , på IRMA ,2012, s.  64-69.
26. (i) Don Zagier, "  Newmans korte bevis på primtalsetningen  " , Amer. Matte. Måned. , vol.  104, n o  8,1997, s.  705-708 ( les online ).
27. Patrick Bourdon, "  Spørsmål om tall - Asymptotisk oppførsel av primtall  " ,17. oktober 2018.
28. Demonstrasjonen av Ernesto Cesàro , "  On an empirical formula of M. Pervouchine  ", Weekly reports of the sessions of the Academy of sciences , vol.  119,1894, s.  848-849 ( les online ), er basert på en utvikling som han setter opp som demonstrert i 1893, men som bare vil være det gjennom etterfølgende arbeid av La Vallée Poussin. Se (i) Juan Arias de Reyna og Jérémy Toulisse, "  The n -th prime asymptotically  ", J. Théor. Tall Bordeaux 25 (2013), nr. 3, 521-555, arXiv : 1203.5413 .
29. (en) Pierre Dusart , "  The k te prime er større enn k (ln k + ln ln k - 1) for k ≥ 2  " , Math. Komp. , vol.  68,1999, s.  411-415 ( les online ).
30. (in) Eric Bach  (in) og Jeffrey Shallit , Algorithmic Number Theory , vol.  1, MIT Trykk ,1996( ISBN  0-262-02405-5 , leses online ) , s.  233.

Relaterte artikler

• Legendre konstant
• Möbius-funksjon
• Landau-teorem om de viktigste idealene  (i)
• Teorem for sjeldenhet for primtall
• Teorem of Wiener-Ikehara  (en)
• Antall Skewes