Matematisk tilfeldighet

I matematikk er et matematisk tilfeldighet et uttrykk for kvasi-likhet mellom to størrelser, uten at det er en direkte teoretisk forklaring.

Introduksjon

Et matematisk tilfeldighet ligger ofte i at et reelt tall er nær et helt tall , eller mer generelt nær et rasjonelt tall med en liten nevner . På grunn av det svært mange måtene å kombinere matematiske uttrykk på, er det et veldig stort antall.

Selv om matematiske tilfeldigheter noen ganger er nyttige, er de hovedsakelig kjent som matematiske kuriositeter eller rekreasjoner .

Noen eksempler

Base 2

Tilfeldighet , sant til nærmeste 2,4%, refererer til det regulære uttrykket , eller , sant til nærmeste 0,3%. Dette forholdet brukes i engineering, for eksempel for å gi en tilnærming til en effekt på 2 med 3 dB (faktisk 3.010 3 dB ), eller for å bevege seg fra ett kilo byte 1 kibi byte ; se binært prefiks . $2 ^ {10} = 1024 \ ca 1000 = 10 ^ 3$ $\ dfrac {\ log10} {\ log2} \ ca 3,219 \ approx \ dfrac {10} {3}$ $2 \ ca 10 ^ {3/10}$
Ved hjelp av 3- / 10 Som en tilnærming til log 10 (2) finner vi de følgende approksimasjoner for logaritmer av andre verdier:
- $3 ^ 4 \ ca 10 \ cdot 2 ^ 3,$ fører til (sammenlign med 0,4771, sant til 0,5%) $\ log_ {10} 3 = (1 + 3 \ log_ {10} 2) / 4 \ ca. (1 + 9/10) / 4 = 0,475$
- $7 ^ 2 \ ca 10 ^ 2/2,$ fører til (sammenlign med 0,8451, sant til 0,6%) $\ log_ {10} 7 \ ca 1- \ log_ {10} 2/2 \ ca 1 - 3/20 = 0,85$

Musikale intervaller

Tilfeldigheter og fører til observasjon ofte brukt i musikk som passer syv halvtoner av lik temperament til en 5te av naturlige utbredelsesområde : true til 0,1%. Den femte er grunnlaget for den pytagoreiske skalaen og de fleste musikalske systemene i verden. $2 ^ {11} \ ca 3 ^ 7$ $\ dfrac {\ log3} {\ log2} \ ca 1.5849 ... \ approx \ dfrac {11} {7}$ $2 ^ {7/12} \ ca 3/2$
Fra tilnærmingen følger det at syklusen av femtedeler ender syv oktaver høyere enn opprinnelsen. ${(3/2)} ^ {12} \ ca 2 ^ 7$
Kva-ekvivalensen mellom det pythagorasiske og syntonske kommaet: 3 12 ⁄ 2 19 (23,46 cent ) 3 4 ⁄ (2 4 * 5) (21,50 cent ) har bemerkelsesverdige konsekvenser i konstruksjonen av temperament, spesielt i barokkperioden (se Komma (musikkvitenskap) #History and Pythagorean Comma # Use ). $\ ca.$

Numeriske uttrykk

Antallet $π$

Den første redusert med $π$ med en fortsatt brøkdel ; [3; 7] = 22/7 = 3.1428…, var kjent for Archimedes , og er sann til omtrent 0,04%.
Den tredje redusert med $π$ , [3; 7, 15, 1] = 355 / 113 = 3,1415929 ..., funnet ved Zu Chongzhis (og gjenfunnet ved Metius ), er til stede for seks desimaler, eller 85 per milliard; denne ekstreme presisjonen med to tall mindre enn tusen kommer av det faktum at $π$ har en uvanlig stor fjerde term i sin fremstilling som en fortsatt brøkdel: $π$ = [3; 7, 15, 1, 292,…].
${\ displaystyle \ pi ^ {2} = 9 {,} 8696 \ prikker \ ca. 10}$ . Dette sammentreff ble brukt i utformingen av glide regel , særlig i graderingene av den sentrale linjal Tvilsom ;
${\ displaystyle \ pi \ approx {\ sqrt {\ frac {227} {23}}}}$ , 10 -5 nær (merk at 2 , 227 og 23 er primtall Chen ) ;
${\ displaystyle \ pi \ approx \ left (9 ^ {2} + {\ dfrac {19 ^ {2}} {22}} \ right) ^ {1/4}}$ bare til åtte desimaler.

Tallet $e$

Det åttende harmoniske tallet , 761/280, er nær $e$ , innenfor 0,016%.
${\ displaystyle \ exp (- \ psi ({\ sqrt {3}} / 4 + 1/2)) \ ca 2}$ til nærmeste 0.000015% (en per 10 millioner), der $ψ$ er digamma-funksjonen og $exp$ er den eksponensielle funksjonen .

Formler med $π$ og $e$

${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {6} - \ pi ^ {4} - \ pi ^ {5} = 0 {,} 00001767 \ dots}$
${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ pi} - \ pi = 19 {,} 99909998 \ prikker \ ca. 20}$ ( Conway, Sloane, Plouffe, 1988 ); dette tilsvarer . ${\ displaystyle (\ pi +20) ^ {\ mathrm {i}} = - 0,9999999992 \ prikker - \ mathrm {i} \ cdot 0 {,} 000 \, 039 \ prikker \ ca -1 = \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} \ pi}}$
${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {9}} {\ mathrm {e} ^ {8}}} = 9 {,} 9998 \ dots}$ .

Formel med $π$ , $e$ og det gyldne forholdet

${\ displaystyle {\ frac {5 \, \ phi \, \ mathrm {e}} {7 \ pi}} = 1 {,} 0000097 \ dots}$ .

Formler med $π$ , $e$ og tallet 163

${\ displaystyle {163} \ left (\ pi - \ mathrm {e} \ right) = 68 {,} 999664 \ dots}$ .
${\ displaystyle {\ frac {163} {\ ln 163}} = 31 {,} 9999987 \ dots}$ .
Ramanujan-konstant : 262 537 412 640 768 744 innen 10 –12 . ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} \ approx}$

Merk: er nær et heltall for mange verdier av $n$ , spesielt for $n$ $= 163$ , noe som er forklart av algebraisk tallteori . Se " Heegners nummer " og " Nesten hele tallet ". ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ pi {\ sqrt {n}}}}$

Formel med $ln (2)$

${\ displaystyle \ ln 2 = 0 {,} 693147 \ prikker \ ca 0 {,} 693144 \ prikker = (2/5) ^ {(2/5)}}$ .

Tilfeldigheter på enhetene

$\ pi$ sekunder er en nanosiècle (det vil si år ); sant til nærmeste 0,5%. $10 ^ {- 7}$
Én atto parsec per mikro-fjorten dager er omtrent 1 tomme per sekund (faktisk 1,004 3 inches per sekund).
En lengre per fjorten dager (14 dager) er omtrent lik 1 centimeter per minutt.
En kubisk attoparsec (en kube av den ene siden attoparsec) er til nærmeste 1% lik 1 US væske unse .
En internasjonal mil ( mil ) er omtrent kilometer (sant til nærmeste 0,5%), hvor er det gyldne forholdet . Siden er grensen for forholdet mellom to påfølgende termer av Fibonacci-sekvensen , gir dette en sekvens av tilnærminger av samsvar mellom miles og kilometer: mi = km, for eksempel 5 mi = 8 km , 8 mi = 13 km . $\ phi$ $\ phi = {1+ \ sqrt 5 \ over 2}$ $\ phi$ $F_ {n}$ $F_ {n + 1}$
En annen god tilnærming er: 1 mil = ln (5) km . Faktisk, 1 mil = 1,609 344 km og ln (5) = 1,6094379124341 ...
N A ≈ 279 , der N A er Avogadro-tallet ; sant til ca 0,4%. Dette betyr at 1 yobi- byte er omtrent litt mer enn en doble mol byte. Dette betyr også at ett mol av materialet (dvs. 12 g av karbon ), eller 25 l av gass ved normal temperatur og trykk, ikke kan halveres mer enn 79 ganger.
Lysets hastighet i vakuum er omtrent en fot per nano sekund (sant innen 2%), eller 3 x 10 8 m / s (0,07% sant nær), eller til slutt 1 milliard km / t (sant innen 8% )

Andre digitale kuriositeter

$10! = 6! \ cdot 7!$ eller . $1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 \ cdot 6 \ cdot 7 = 7 \ cdot 8 \ cdot 9 \ cdot 10$
$\ sin (666 ^ {\ circ}) = \ cos (6 \ cdot 6 \ cdot 6 ^ {\ circ}) = - \ phi / 2$ , hvor er det gyldne forholdet (en forbløffende likhet med en vinkel uttrykt i grader). Se dyrets nummer . $\ phi$
$5 ^ 2 = 25$ og er de eneste rutene og kubene atskilt med 2 enheter. $3 ^ 3 = 27$
$4 ^ 2 = 2 ^ 4$ er den unike heltalsløsningen til (se Lamberts W-funksjon for et formelt bevis). $a ^ b = b ^ a, a \ neq b$
$3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2$
31, 331, 3331, etc. opp til 33333331 er alle primtall , men ikke 333333331.
Den Fibonacci tall F 296 182 er (sannsynligvis) en semi-primtall , ettersom F 296182 = F 148 091 x L 148091 hvor F 148 091 ( 30,949 siffer) og Lucas nummer l 148 091 ( 30,950 sifre) er to sannsynlige primtall .
I bursdagens paradoks griper antallet inn; det virker "morsomt" for noen forfattere at de første fire sifrene er de fra . ${\ displaystyle \ lambda = {\ dfrac {1} {365}} {\ binom {23} {2}}}$ ${\ displaystyle \ ln 2}$

Desimal tilfeldigheter

2 3 + 2 = 32.
$2 ^ 5 \ cdot 9 ^ 2 = 2592$ .
$1! + 4! + 5! = 145$ .
${\ displaystyle {\ dfrac {16} {64}} = {\ dfrac {1 \! \! \! \ not 6} {\ not 64}} = {\ dfrac {1} {4}}}$ , , ${\ displaystyle {\ dfrac {26} {65}} = {\ dfrac {2 \! \! \! \ not 6} {\ not 65}} = {\ dfrac {2} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {19} {95}} = {\ dfrac {1 \! \! \! \ not 9} {\ not 95}} = {\ dfrac {1} {5}}}$
$(4 + 9 + 1 + 3) ^ 3 = 4913$ og og $(1 + 9 + 6 + 8 + 3) ^ 3 = 19683$ $(5 + 8 + 3 + 2) ^ 3 = 5832$
$1 ^ 3 + 5 ^ 3 + 3 ^ 3 = 153$ ; ; ; $3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 0 ^ 3 = 370$ $3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 1 ^ 3 = 371$ $4 ^ 3 + 0 ^ 3 + 7 ^ 3 = 407$
$3 ^ 2 + 7 ^ 2-3 - cdot 7 = (3 ^ 3 + 7 ^ 3) / (3 + 7) = 37$ .
$(3 + 4) ^ 3 = 343$ (viktig i den digitale symbolikken til Stefansdomen i Wien )
$3 ^ 3 + 4 ^ 4 + 3 ^ 3 + 5 ^ 5 = 3435$ .
$35 - 3 ^ 2 - 5 ^ 2 = 75 - 7 ^ 2 - 5 ^ 2$ .
$588 ^ 2 + 2353 ^ 2 = 5882353$ og som, avrundet til åtte sifre, er 0,05882353 $1/17 = 0,058823529411764 ...$
Et tall (blant annet: suite A032799 fra OEIS ) som tilsvarer summen av sifrene til påfølgende krefter: $2646798 = 2 ^ 1 + 6 ^ 2 + 4 ^ 3 + 6 ^ 4 + 7 ^ 5 + 9 ^ 6 + 8 ^ 7.$

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Mathematical coincidence " ( se forfatterlisten ) .

(in) Petr Beckmann , A History of Pi (in) , Dorset Press,1993( 1 st ed. , 1971, St. Martins Griffin), 200 s. ( ISBN 978-0-88029-418-8 ).
Fortsettelsen av den fortsatte fraksjonen er [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, ...] og med den femte sikt kan vi få 103993 / 33102 , se Innsamling av tilnærminger for p
(i) Frank Rubin, " PI Competition " på The Contest Center
På grunn av Srinivasa Ramanujan ( (en) " Modular equations and approximations to ? " , Quart. J. Pure Appl. Math. (En) , vol. 45,1914, s. 350-372 ( les online )). Ramanujan hevder at denne "nysgjerrige tilnærmingen av $π$ " "ble oppnådd empirisk og har ingen forbindelse med teorien" utviklet i resten av artikkelen.
Nevnt som "privat kommunikasjon" av Weisstein .
(in) Eric W. Weisstein , " Almost Integer " på MathWorld .
Nevnt av Weisstein som “lagt ut på sci.math; ukjent opprinnelse ” .
(in) Keith J. Devlin, Mathematics: The New Golden Age , Penguin Books ,1999, 320 s. ( ISBN 978-0-14-193605-5 , leses online ) , s. 83.
(in) David Broadhurst, Prime Curios!: ... 10660 49391 (61899-sifre) på Pages Prime .
(in) Richard Arratia Larry Goldstein og Louis Gordon, " Poisson approximation and the Chen-Stein method " Statistical Science , Vol. 4, n o 4, 1990 s. 403-434 .
Nevnt av Gilbert Labelle i 1980.

Se også

Relaterte artikler

For tilfeldigheter i fysikk , se det antropiske prinsippet .
Nesten hele tallet
Narsissistisk nummer
Sterk lov om små tall

Eksterne linker

(en) Archimedes 'Laboratory
(in) Eksempler på matematiske tilfeldigheter i seksjonen Science & Math Site futilitycloset.com
(en) e til pi Minus pi , Matematisk tegneserie