Den ikke-kommutative geometrien , utviklet av Alain Connes , er en gren av matematikken , spesielt en type geometri som skiller algebraisk av algebraisk geometri, slik det vanligvis forstås (som utviklet av Alexander Grothendieck ) som interessert i objekter definert fra ikke- kommutative algebraiske strukturer. .
Hovedideen er at et rom i betydningen av vanlig geometri kan beskrives av settet med digitale funksjoner som er definert i dette rommet. Dette funksjonssettet danner en assosiativ algebra over et felt , som også er kommutativ: produktet av to funksjoner avhenger ikke av valget av en ordre. Vi kan da tenke å se ikke-kommutative assosiative algebraer som "funksjonalgebraer" på "ikke-kommutative rom", som den ikke-kommutative torusen .
Den moderne tilnærmingen til mange geometriske spørsmål er å fokusere på funksjoner definert på rommet vi ønsker å studere. For eksempel innebærer studiet av geometrien til Riemannian manifolds å studere de meromorfe funksjonene som er definert på manifolden, med Riemann-Roch-teoremet og dets generaliseringer som et sentralt verktøy ; den algebraiske geometrien i sin omarbeid av Grothendieck , er helt viet til studiet av generaliserte funksjoner ( mønstrene ). Disse settene med funksjoner danner kommuterende ringer for addisjon og multiplikasjon , som i mange tilfeller karakteriserer det tilsvarende rommet; vi kan altså si at disse rommene i en viss forstand har en kommutativ topologi.
"Drømmen" om en ikke-kommutativ geometri er å også assosiere med ikke-kommutative ringer "mellomrom" som kan tolkes som støtte for elementene i ringen, betraktet som "funksjoner". Tilsvarende generaliseringer, som er svært ikke-trivielle, kalles ikke-kommutative rom , utstyrt med ikke-kommutative topologier .
Fra et teknisk synspunkt har en del av teorien utviklet av Alain Connes røtter i eldre tilnærminger, særlig fra ergodisk teori . Rundt 1970, George Mackey hadde dermed skapt en teori om virtuelle undergrupper , som ville være homogene områder (i en utvidet forstand) for Ergodic gruppe handlinger ; denne teorien tolkes nå som et spesielt tilfelle av ikke-kommutativ geometri.
I 1997 oppdaget Alain Connes anvendelser av ikke-kommutativ geometri til M-teorien , noe som fikk fysikere til å interessere seg for den; ulike og uventede bruksområder resulterte, særlig i kvantefeltteori .
Den representasjon Gelfand (en) forbundet med en C * algebra kommutativ (ved tosidigheten ) en egen plass lokalt kompakt ; selv i det ikke-kommutative tilfellet kan vi knytte et C * -algebra S til et topologisk rom Ŝ kalt dets spektrum ; vi sier da ofte at Ŝ er et ikke-kommutativt rom .
Det er også en dualitet mellom målte σ-endelige rom og kommutative Von Neumann-algebraer , vi forbinder også med ikke-kommutative Von Neumann-algebraobjekter som kalles av denne grunn ikke-kommutative målte mellomrom .
En Riemannian manifold M er et topologisk rom utstyrt med tilleggsstrukturer; algebra C ( M ) for kontinuerlige funksjoner over M lar bare topologien rekonstrueres. En algebraisk invariant som tillot å rekonstruere den Riemanniske strukturen ble introdusert av Alain Connes under navnet spektral triplett (en) , ved å bli inspirert av teoremet til Atiyah-Singer-indeksen . Den er bygd av en jevn vektorbunt E over M , bunten til den ytre algebraen . Den Hilbert plass L 2 ( M , E ) av seksjoner av E av integrable firkant representerer C ( M) (etter multiplikasjon operatørene); vi kan definere en ubegrenset operatør D på L 2 ( M , E ) av et kompakt oppløsningssett slik at bryterne [ D , f ] er begrenset når f kan differensieres. I 2008 demonstrerte Alain Connes at M , som en Riemannian-variant, er preget av denne tripletten.
Dette fører til å definere en ikke-kommutativ Riemannian manifold som en triplett ( A , H , D ) dannet av en representasjon av en C * -algebra A (ikke-kommutativ) på et Hilbert-rom H , og av en ubegrenset operator D på H , kompakt løsning sammen, slik som [ D , a ] er avgrenset for alle har noen tett subalgebra av a . Forskning på dette emnet er veldig aktiv, og mange eksempler på ikke-kommutative Riemann-manifolder er konstruert.
Den tosidigheten mellom affine ordninger og kommutative ringer fører til definere ved analogi en kategori av ikke-kommutative affine ordninger som det doble av den kategorien av enhetlige ringer . I denne sammenheng tillater visse generaliseringer av Zariski-topologi å knytte disse affinediagrammene til mer generelle objekter.
Den konstruksjon av Proj (en) på en gradert kommutativ ring kan også bli utvidet til den ikke-kommutativ vil efter linjene i en Serres teorem på kategorien av sammenhengende blokkskiver . Denne utvidelsen blir tatt som en definisjon av ikke-kommutativ prosjektiv geometri av Michael Artin og JJ Zhang.
Et av spørsmålene som motiverer teorien er muligheten for å utvide klassiske topologiske invarianter , som homologi , til det ikke-kommutative tilfellet, og mer presist å definere dem ved dualitet fra algebras av ikke-kommutative operatører.
Et av utgangspunktene til Alain Connes i denne retningen er hans oppdagelse av en ny kohomologisk teori, syklisk kohomologi , samt dens forhold til algebraisk K-teori (via tegnene til Connes - Chern).
Teorien om karakteristiske klasser av differensierbare manifolder kan utvides til spektrale tripler ved hjelp av verktøyene til syklisk kohomologi; Dermed generaliserer den grunnleggende karakteristiske klassen i denne utvidelsen, JLO cocycle (en) , Tsjernets karakter . Flere generaliseringer av indekssetningen tillater effektiv utvinning av numeriske invarianter fra tredobler.