I matematikk er monstrous moonshine et engelsk begrep utviklet av John Horton Conway og Simon P. Norton i 1979, brukt til å beskrive den da helt uventede forbindelsen mellom Monster M- gruppen og modulformene (spesielt j- funksjonen ).
Nærmere bestemt fant Conway og Norton, etter en første observasjon av John McKay , at Fourier-utvidelsen av (fortsatt A000521 av OEIS , som betyr kvotienten på halve perioder (in) ) kan uttrykkes i form av lineære kombinasjoner av dimensjoner av irredusible representasjoner av M (suite A001379 fra OEIS )
hvor og
Conway og Norton formulert av formodning om de funksjoner som oppnås ved å erstatte spor på den nøytrale element av spor av andre elementer g av M . Det mest slående del av dette gjetting er at alle disse funksjonene er kjønn null. Med andre ord, hvis er undergruppen til SL 2 ( ) som fikser seg , så er kvotienten til det øvre halvplanet av det komplekse planet par en sfære som er fratatt et endelig antall punkter, tilsvarende de parabolske formene av .
Det viser seg at bak monstrøs måneskin ligger en viss strengteori som har Monster-gruppen som en gruppe symmetrier; antagelsene fra Conway og Norton ble demonstrert av Richard Ewen Borcherds i 1992 ved bruk av Goddard-Thorn-teoremet (in) avledet fra strengteori, så vel som teorien om toppunktalgebras og generaliserte Kac-Moody algebras (in) . Borcherds mottok Fields-medaljen for sitt arbeid, og flere forbindelser mellom M og j- funksjonen ble oppdaget senere.
Den første antagelsen fra Conway og Norton var det som ble kalt " måneskinsgissingen "; det fastslår at det eksisterer en gradert M- modul av uendelig dimensjon
med for alle m , hvor
Av dette følger det at hvert element g av M virker på hver V m og har et tegnverdi
som kan brukes til å bygge McKay-Thompson-serien av g :
.Den andre antagelsen til Conway og Norton fastslår deretter at med V som ovenfor, for hvert element g av M , eksisterer det en undergruppe K av , av slekten null, som kan sammenlignes med modulgruppen Γ = PSL 2 ( Z ) og slik at enten Hoved modulære funksjons normalisert til K .
Senere ble det vist av AOL Atkin , Paul Fong og Frederic L. Smith ved bruk av datamaskinberegninger at det faktisk er en gradert uendelig dimensjonal representasjon av Monster-gruppen hvis McKay-Thompson-serie er nettopp Hauptmoduls funnet av Conway og Norton, Igor Frenkel (i ) , James Lepowsky (in) og Arne Meurman (in) bygget eksplisitt denne representasjonen ved hjelp av toppunktoperatører . Den resulterende modulen kalles Monster-modulen eller algebra vertex Monster (in) .
Richard Ewen Borcherds bevis på Conway og Norton-formodningen kan deles inn i fem hovedtrinn som følger:
Dermed er demonstrasjonen fullført. Borcherds ble senere sitert å ha sagt "Jeg var på månen når jeg demonstrerte hjemmebrent (måneskinn) formodning " og "jeg noen ganger lurer på om dette er hvordan det føles å ta visse legemidler. Det vet jeg foreløpig ikke, siden jeg ikke har testet denne personlige teorien. "
Begrepet " monstrous moonshine " ble oppfunnet av Conway, som da John McKay sa i slutten av 1970 at koeffisientene til (spesifikt 196 884) var nettopp dimensjonen til algebra Griess (in) (og dermed nøyaktig en mer enn graden av minste komplekse trofaste representasjon av Monster-gruppen), svarte at dette var " måneskin " (i betydningen "nutcase" eller "galne ideer"). Således refererer begrepet ikke bare til Monster-gruppen M , men også til den opplevde galskapen om det kompliserte forholdet mellom M og teorien om modulære funksjoner .
Imidlertid er " moonshine " også et slangord for en ulovlig destillert whisky , og faktisk kan navnet forklares i lys av dette. Monster-gruppen ble studert på 1970-tallet av matematikerne Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg (en) og John Griggs Thompson ; de studerte kvotienten til det hyperbolske planet av undergruppene til SL (2, R ), spesielt normaliseringen av kongruensundergruppen (en) Γ 0 ( p ) i SL (2, R ). De fant at Riemann-overflaten oppnådd ved å ta kvotienten til det hyperbolske planet er av slekten null hvis og bare hvis p er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 eller 71 (dvs. et super-entalt primtall ), og da Ogg senere hørte om Monster-gruppen og la merke til at disse tallene var nøyaktig de viktigste faktorene på størrelsen på M , utarbeidet han en artikkel som ga en flaske Jack Daniels whisky til alle som kunne forklare dette.