Paritet av en funksjon

I matematikk , den pariteten av en funksjon av en ekte , kompleks eller vektor variabel er en egenskap som først krever at symmetrien av domenet av definisjonen med hensyn til opprinnelse , så blir uttrykt av det ene eller det andre av de følgende ligninger:

jevn funksjon : for alle x av definisjonsdomenet, $f (- x ) = f ( x )$ ;
odde funksjon : for alle x av definisjonsdomenet, $f (- x ) = - f ( x )$ .

I reell analyse er jevne funksjoner funksjoner hvis representative kurve er symmetrisk i forhold til y-aksen, slik som konstante funksjoner , kvadratfunksjonen og mer generelt kraftfunksjonene med jevne eksponenter , cosinus og hyperbolske cosinusfunksjoner ... Odd funksjoner er de hvis representative kurve er symmetrisk med tanke på opprinnelsen, slik som identitet , kube og mer generelt kraftfunksjoner med odde eksponent- , invers- , sinus- , tangens- , hyperbolske sinus- og hyperbolske tangensfunksjoner og deres gjensidige funksjoner .

De eneste funksjonene som er både jevne og rare, er nullfunksjonene på et symmetrisk domene.

En uspesifisert funksjon er generelt verken jevn eller rar, selv om definisjonsdomenet er symmetrisk sammenlignet med opprinnelsen. Enhver funksjon definert på et slikt domene er derimot skrevet på en unik måte som summen av en jevn funksjon og en merkelig funksjon.

Demonstrasjonen av pariteten til en funksjon av en reell variabel (enten den er jevn eller merkelig) gjør det spesielt mulig å begrense studien til positive realer.

bruk

Pariteten av funksjoner brukes for eksempel til å studere funksjoner bare over halvparten av definisjonsintervallet, den andre halvparten blir utledet av symmetri. Merk at en merkelig funksjon, definert til 0, er null på dette punktet (faktisk, siden er merkelig, for alt , og derfor ; dermed . $f$ $f (-x) = - f (x)$ $x$ $f (0) = - f (0)$ $f (0) = 0$

Vi kan også forenkle integralberegningen i tilfelle av en jevn eller ulik funksjon, siden for even er lik , noe som kan sees med den grafiske representasjonen av området under kurven, og henholdsvis for odd er lik . Faktisk vil det være like stort et positivt område av til som det er et negativt område av til . $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x$ $f$ ${\ displaystyle 2 \ times \ int _ {0} ^ {n} f (x) dx \,}$ $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x,$ $f$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ $ikke$ $-ikke$ ${\ displaystyle 0}$

Denne definisjonen av paritet og imparitet kan også gjøres eksplisitt med begrepet symmetrisering av en funksjon: den symmetriiserte funksjonen til en funksjon s er funksjonen š som assosieres med en gitt og for eksempel s er selv om den er lik dens symmetrisert. ${\ displaystyle s (-x)}$ $x$

Jevn og merkelig del av en funksjon

Hvis er en delmengde av symmetrisk med hensyn til 0 (dvs. hvis tilhører da tilhører ), kan en hvilken som helst funksjon unikt spaltes som summen av en jevn funksjon og en merkelig funksjon: $E$ $\ mathbb {R}$ $x$ $E$ $-x$ $E$ $f: E \ til \ mathbb {R}$

{\ displaystyle f (x) = f _ {\ text {p}} (x) + f _ {\ text {i}} (x)}

, hvor den jevne funksjonen er

{\ displaystyle f _ {\ text {p}} (x) = {\ frac {f (x) + f (-x)} {2}}}

og den odde funksjonen er

{\ displaystyle f _ {\ text {i}} (x) = {\ frac {f (x) -f (-x)} {2}}}

Faktisk er vektorunderrommet til jevne funksjoner og det for odde funksjoner ekstra i funksjonen til in . $E$ $\ mathbb {R}$

Derfor kan vi snakke om den jevne delen av og den rare delen. For eksempel, den eksponensielle funksjon er som summen av funksjoner hyperbolsk cosinus , og hyperbolsk sinus , . $f$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} + \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} - \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$

Grafisk representasjon

La være en funksjon definert på og dens graf, i et aksekoordinatsystem . $f$ $E$ $(C_ {f})$ $(Okse), (Oy)$

$f$ er en jevn funksjon hvis og bare hvis den er symmetrisk rundt aksen , parallell med aksen . $(C_ {f})$ $(Oy)$ $(Okse)$
$f$ er en merkelig funksjon hvis og bare hvis er symmetrisk om opprinnelsen . $(C_ {f})$ $O$

Funksjonen er jevn. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {4}}$
Funksjonen er merkelig. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {3} -3x}$

Men en funksjon hvis representative kurve har en akse eller et symmetrisenter er ikke nødvendigvis jevn eller merkelig: det er nødvendig at sentrum er eller aksen er . $O$ $(Oy)$

Noen eiendommer

Hver konstant funksjon er jevn.
Enhver jevn og monoton funksjon over definisjonssettet er konstant.
Den eneste funksjon som er både like og ulike er null funksjon (konstant funksjon lik null).
Generelt er summen av en jevn funksjon og en merkelig funksjon verken jevn eller merkelig; eks: 1 + x .
Summen eller forskjellen på to like funksjoner er jevn.
Summen eller forskjellen på to odde funksjoner er merkelig.
Paritet følger, for produktet eller kvotienten , tegnregelen : ethvert produkt eller kvotient av to jevne funksjoner er en jevn funksjon, ethvert produkt eller kvotient av to odde funksjoner er også en jevn funksjon, ethvert produkt eller kvotient av en jevn funksjon av odd funksjon er en merkelig funksjon.
Den deriverte av en funksjon selv er en odde funksjon; derivatet av en merkelig funksjon er en jevn funksjon.
En primitiv av en merkelig funksjon på E er ikke nødvendigvis jevn, med mindre E er et intervall.
En primitiv av en jevn funksjon på E er ikke nødvendigvis merkelig, bortsett fra hvis E er et intervall, og hvis dessuten den primitive vurderte er den som forsvinner ved 0.
Sammensetningen av to odde funksjoner er merkelig; forbindelsen g ∘ f av en jevn funksjon g med en merkelig funksjon f er en jevn funksjon.
Forbindelsen g ∘ f av en hvilken som helst funksjon g med en jevn funksjon f er en jevn funksjon.

Se også

Merknader og referanser

Som sannsynligvis er en av grunnene til dette valget av ordforråd.
Proof av analyse-syntese er klassisk, og er bare et spesialtilfelle av diagonalisering av symmetri : se for eksempel X. Oudot og Mr. ALLANO Chevalier Matematikk HPIC - PTSI 1 st år: Alt i ett , Hatchet ,2008( les online ) , kap. 11 (“Vektorrom”), s. 203og denne øvelsen korrigert på Wikiversity .