I matematikk , spesielt i topologi og algebraisk topologi , et belegg av et topologisk rom B ved en topologisk rom E blir å bruke kontinuerlig og surjektiv p : E → B slik at et hvilket som helst punkt B representerer en åpen U som den resiproke bilde av U med p er en usammenhengende forening av åpninger av E , hver homomorfe til U av s .
Det er derfor et diskret fiberbunt . Dekker spiller en rolle i beregningen av de grunnleggende gruppene og homotopigruppene i et rom. Et resultat av teorien av belegg er at hvis B er sti tilkoblet og lokalt bare tilkoblet , er det et en-korrespondanse mellom beslektede belegg buer B , opp til isomorfi, og undergrupper av den grunnleggende enhet B .
La X og B være to topologiske mellomrom.
En lokal homeomorfisme er et kart π : X → B , kalt projeksjon , slik at det for ethvert punkt x av X eksisterer en åpen U av X som inneholder x og en åpen V av B slik at begrensningen av π til U er en homeomorfisme. på V .
En plass X med en lokal homeomorfi π : X → B sies å spre enn B . Ankomstområdet B til projeksjonen kalles basen for den lokale homeomorfismen.
For et hvilket som helst punkt b ∈ B , kalt fiber av X over det punkt b og er betegnet X ( b ) den under plass π -1 ( b ) ⊂ X .
Kalt seksjon (kontinuerlig) fra π , eller X , over B , en applikasjon fortsetter σ : B → X slik at π ∘ σ = Id B .
Et belegg av et topologisk rom B er en plass X , utstyrt med en lokal homeomorfi π : X → B surjektiv , slik at for et hvilket som helst punkt b av b , eksisterer det en åpen V som inneholder b , en diskret plass F og en homeomorfi Φ: π −1 ( V ) → V × F som pendler med projeksjonene i mellomrom B , dvs. hvis Φ ( x ) = ( c , f ) så er π ( x ) = c .
Med andre ord: et belegg er en diskret fiberbunt , med bemerkningen at hvis basen B ikke er koblet til, er fiber F avhengig av basispunktet b og identifiseres med fiberen π −1 ( b ).
Enklere: π : X → B er et belegg hvis et punkt B representerer en åpen V som π -1 ( V ) er et usammenhengende forening av åpen anvendt homéomorphiquement ved π på V .
Teorem : La n være et naturlig heltall som ikke er null, X et eget mellomrom og π : X → B et lokalt homeomorfisme der alle fibre har n elementer, så er π et belegg.Hvis F er en diskret plass, påføring definerer et belegg enn B . Mer generelt sies det at et dekke er trivielt hvis vi kan ta V = B i definisjonen, dvs. hvis det eksisterer et diskret rom F og en homeomorfisme som pendler med projeksjonene på rommet B , det vil si at hvis , da . En homeomorfisme er et eksempel på en triviell tildekking.
La S 1 være sirkelen i planet ℝ 2 = ℂ. Den virkelige linjen ℝ er da en dekning av S 1 definert av applikasjonen:
Hver fiber er her uendelig tellbar : .
Konstruksjonen er generalisert til eksponensielt belegg av torus:
Fiber er tellbar: .
Søknaden p for den komplekse planen fratatt opprinnelsen ℂ *
definerer et belegg.Hver fiber er her endelig og har n elementer.
Anvendelsen av den kompliserte planen ℂ
definerer et belegg.Hver fiber er her uendelig tellbar: .
Den sylinderen (eller ring) er et to-lags belegg av Mobius strimmel.
Möbius-båndet er en ikke-orienterbar topologisk manifold mens dekket er orienterbart. Det er mer generelt vist at ethvert ikke-orienterbart relatert manifold har et relatert to-blad orienterbart belegg. Dette er spesielt tilfelle med det projiserende planet hvis belegg er en kule (se nedenfor), og Klein-flasken hvis belegg er torus .
For n > 1 er det kanoniske kartet en dekning av det prosjektive (virkelige) rommet; fiber har to elementer.
I tilfelle av det projiserende planet , hvis fremstilling i ℝ 3 er gitt av Boy-overflaten , er det mulig å transformere sfæren ved nedsenking i et to-lags belegg av denne Boy-overflaten. Hvis vi krysser disse to arkene, fortsetter vi til en inversjon av sfæren .
Vi fortsetter på samme måte for inversjonen av torusen , etter å ha gjort sammenfaller denne i et belegg med to ark av flasken Klein .
La X , Y og Z være tre topologiske rom og og to morphisms (kontinuerlige kart). Vi kaller et fiberprodukt av X og Y over Z , et topologisk rom, betegnet og et par morfismer, og slik at det for ethvert topologisk rom A og ethvert par morfismer og tilfredsstillende eksisterer en morfisme slik at og .
La Γ være en diskret gruppe som fungerer riktig og fritt på et lokalt kompakt rom E , projeksjonen E → E / Γ definerer et belegg av fiber Γ.
Spesielt hvis Γ er en diskret undergruppe av en topologisk gruppe G , er projeksjonen G → G / Γ et dekk av fiber Γ.
En morfisme av tildekking over B er et kontinuerlig kart (hvor X og X ' er tildekking) som pendler med anslagene, og det vil si slik at:
. Den identitet søknad Id X er en morphism av gulvbelegg. Forbindelsen med to dekkende morfier er en morfisme.Derfor danner basisbelegg B med morfismer en kategori .
Teorem - Enhver tildekking av et kompakt intervall på ℝ er trivielt.
Mer generelt :
Teorem - Enhver tildekking av et enkelt tilkoblet og lokalt tilkoblet rom er trivielt.
Teorem - Enhver bunt på et kontraktilt CW-kompleks er trivielt.
Proposisjon - La ( X , π ) være en dekning av B , b et punkt av B og x ∈ X ( b ). For hvilken som helst bane f i B med opprinnelse b , eksisterer det en bane og bare en g i X med opprinnelse x slik at f = π ∘ g .
Et spesialtilfelle er gitt ved belegging av enhetssirkelen B i det komplekse plan av den virkelige linje X . Det forrige resultatet kalles da løftesetningen .
Den grunnleggende gruppen til basen, π 1 ( B , b ) , opererer ved en gruppehandling til høyre på fiberen X ( b ) = π −1 ( b ) , på en måte som er kompatibel med handlingen til venstre for gruppe av automatiseringer av belegget.
La Z være et mellomrom forbundet med buer og lokalt forbundet med buer , f : ( Z , z ) → ( B , b ) et kontinuerlig kart og x ∈ X ( b ). En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at f har peiling g : ( Z , z ) → ( X , x ) er at de induserte morfismene, f # : π 1 ( Z , z ) → π 1 ( B , b ) og π # : π 1 ( X , x ) → π 1 ( B , b ), verifiser:
I tillegg er lageret g da unikt.
Et belegg sies å være Galois (eller vanlig eller normalt ) hvis det er forbundet med buer og gruppen av automorfismer virker transitt på fiberen til hvert punkt. Det sies å være abelsk hvis gruppen dessuten er abelsk .
En universell dekning av et rom B er en Galois-dekking E slik at det for enhver dekning D av B eksisterer en morfisme fra E til D.
To universelle belegg er isomorfe, og ethvert belegg av ett universalt belegg er trivielt .Teorem - Enhver enkelt relatert dekning er en universell dekning.
Teorem - Et rom ( forbundet med buer ) innrømmer et enkelt tilkoblet dekk hvis og bare hvis det er semi-lokalt enkelt koblet til .
Spesielt en hvilken som helst graf, et hvilket som helst topologisk utvalg, innrømmer et enkelt tilkoblet dekk.
Hvis B er koblet med lysbue, har vi en isomorfisme mellom homotopigruppene , som en konsekvens av den lange eksakte sekvensen av en fibrering :
.For eksempel, er den virkelige linje ℝ et dekke av S en derfor .
Nielsen-Schreier-teorem - Enhver undergruppe til en gratis gruppe er en gratis gruppe.