EBSB-stabilitet
Den EBSB stabilitet er en spesiell form av stabilitet av dynamiske systemer studert i automatisk , etter signalbehandling , og mer spesifikt i elektroteknikk . EBSB står for Bundne Input / Output Avgrenset: hvis et system er EBSB stabil, og deretter for en hvilken som helst avgrenset inndata , er systemet utgang er også.
Tid domenetilstand
Et lineært system invariant og kontinuerlig tid hvis overføringsfunksjon er rasjonell og strengt egen EBSB er stabil hvis og bare hvis impulsresponsen er helt integrerbar, dvs. hvis normen er:
L1{\ displaystyle L ^ {1}}
L1=∫-∞∞|h(t)|dt=‖h‖1<∞.{\ displaystyle L ^ {1} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (t) \ right | dt} = \ | h \ | _ {1} <\ infty.}
På diskret tid er et system EBSB-stabilt hvis og bare hvis dets impulsrespons er absolutt summerbar, dvs. hvis dets norm eksisterer:
ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}
ℓ1=∑ikke=-∞∞|h(ikke)|=‖h‖1<∞.{\ displaystyle \ ell ^ {1} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (n) \ right |} = \ | h \ | _ {1} <\ infty .}
Demonstrasjon
Det tilbys i diskret tid, men de samme argumentene gjelder i kontinuerlig tid.
Nødvendig tilstand
Til den begrensede inngangen tilsvarer tilfredsstillende
utgangx(ikke)=skilt(h(-ikke)){\ displaystyle x (n) = \ operatorname {sign} (h (-n))}y(ikke) {\ displaystyle y (n) \}
y(ikke)=h(ikke)∗x(ikke) {\ displaystyle y (n) = h (n) * x (n) \}der er convolution produkt, det vil si. :
∗{\ displaystyle *}
y(ikke)=∑k=-∞∞h(k)x(ikke-k).{\ displaystyle y (n) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (k) x (nk)}.}Spesielt y(0)=∑k=-∞∞h(k)x(-k)=∑k=-∞∞|h(k)|.{\ displaystyle y (0) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (k) x (-k)} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {| h (k) |}.}
Så siden er avgrenset.
‖h‖1<∞{\ displaystyle \ | h \ | _ {1} <\ infty}y(0) {\ displaystyle y (0) \}
Tilstrekkelig tilstand
Tenk på et avgrenset input, det vil si og anta . Da tilfredsstiller
utgangen‖x‖∞<∞{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} <\ infty}‖h‖1<∞{\ displaystyle \ | h \ | _ {1} <\ infty}y(ikke) {\ displaystyle y (n) \}
|y(ikke)|=|∑k=-∞∞h(ikke-k)x(k)|≤∑k=-∞∞|h(ikke-k)||x(k)|{\ displaystyle \ left | y (n) \ right | = \ left | \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (nk) x (k)} \ right | \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (nk) \ right | \ left | x (k) \ right |}}(ved
trekantet ulikhet )
≤∑k=-∞∞|h(ikke-k)|‖x‖∞=‖x‖∞∑k=-∞∞|h(ikke-k)|=‖x‖∞‖h‖1.{\ displaystyle \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (nk) \ right | \ | x \ | _ {\ infty}} = \ | x \ | _ { \ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (nk) \ right |} = \ | x \ | _ {\ infty} \ | h \ | _ {1} .}Så er også avgrenset.
|y(ikke)|{\ displaystyle \ left | y (n) \ right |}
Frekvens domenetilstand
Kontinuerlig signal
La være et invariant lineært system med kontinuerlig tid hvis overføringsfunksjon skal være rasjonell . Ved å merke polene ( komplekse røtter til nevneren ) og konvergensens abscissa definert av , viser vi at systemet er stabilt EBSB hvis og bare hvis .
H(s) {\ displaystyle H (p) \}sJeg {\ displaystyle p_ {i} \}σ {\ displaystyle \ sigma \}σ=maksRe(sJeg) {\ displaystyle \ sigma = \ max \ operatorname {Re} (p_ {i}) \}σ<0 {\ displaystyle \ sigma <0 \}
Bevis
Siden er Laplace-transformasjonen av impulsresponsen ,
H(s) {\ displaystyle H (p) \} h(t) {\ displaystyle h (t) \}
H(s)=∫0∞e-sth(t)dt{\ displaystyle H (p) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- pt} h (t) dt}og domene for konvergens er halvplanet .
Re(s)>σ {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> \ sigma \}
Hvis systemet er stabilt EBSB, er det i og det er konvergens i siden
h(t) {\ displaystyle h (t) \}L1{\ displaystyle L ^ {1}}s=0 {\ displaystyle p = 0 \}
|H(0)|=|∫0∞h(t)dt|≤∫0∞|h(t)|dt{\ displaystyle | H (0) | = \ left | \ int _ {0} ^ {\ infty} h (t) dt \ right | \ leq \ int _ {0} ^ {\ infty} | h (t) | dt}som, antatt, er en begrenset mengde. Derforσ<0 .{\ displaystyle \ sigma <0 \.}
Anta . Siden, av rasjonalitetshypotesen, er av formen
σ<0 {\ displaystyle \ sigma <0 \}H(s) {\ displaystyle H (p) \}
H(s)=∑Jegvs.Jegs-sJeg,{\ displaystyle H (p) = \ sum _ {i} {\ frac {c_ {i}} {p-p_ {i}}},}antar for enkelhets skyld at polene er enkle. Den omvendte Laplace-transformasjonen gir
H(s) {\ displaystyle H (p) \}
h(t)=∑Jegvs.JegesJegt{\ displaystyle h (t) = \ sum _ {i} c_ {i} e ^ {p_ {i} t}}som er i og systemet er stabilt EBSB.
L1{\ displaystyle L ^ {1}}
Diskret signal
La være et uforanderlig lineært system med diskret tid hvis overføringsfunksjon skal være rasjonell. Ved å merke polene og konvergensmodulen definert som maksimum for polmodulene , viser vi at systemet er EBSB-stabilt hvis og bare hvis .
H(z) {\ displaystyle H (z) \}zJeg {\ displaystyle z_ {i} \}ρ {\ displaystyle \ rho \} ρ<1 {\ displaystyle \ rho <1 \}
Bevis
Siden er Z-transformasjonen av impulsresponsen ,
H(z) {\ displaystyle H (z) \} h(ikke) {\ displaystyle h (n) \}
H(z)=∑k=0∞h(k)z-k{\ displaystyle H (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} h (k) z ^ {- k}}og domenet til konvergens er på utsiden av en sirkel, altså .
|z|>ρ {\ displaystyle | z |> \ rho \}
Hvis systemet er stabilt EBSB, er det i og det er konvergens i siden
h(ikke) {\ displaystyle h (n) \}ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}z=1 {\ displaystyle z = 1 \}
|H(1)|=|∑k=0∞h(k)|≤∑k=0∞|h(k)|{\ displaystyle | H (1) | = \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} h (k) \ right | \ leq \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} | h (k) |}som, antatt, er en begrenset mengde. Derforρ<1 .{\ displaystyle \ rho <1 \.}
Anta . Siden, av rasjonalitetshypotesen, er av formen
ρ<1 {\ displaystyle \ rho <1 \}H(z) {\ displaystyle H (z) \}
H(z)=∑JegdJeg1-zJegz-1,{\ displaystyle H (z) = \ sum _ {i} {\ frac {d_ {i}} {1-z_ {i} z ^ {- 1}}},}antar for enkelhets skyld at polene er enkle. Det omvendte av transformasjonen i z gir
H(z) {\ displaystyle H (z) \}
h(ikke)=∑JegdJegzJegikke{\ displaystyle h (n) = \ sum _ {i} d_ {i} z_ {i} ^ {n}}som er i og systemet er stabilt EBSB.
ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}
Stabilitetskriterier
For å bestemme om et fysisk system som er representert av et blokkdiagram er stabilt eller ikke, kan man bruke flere metoder eller flere kriterier. Det er to typer kriterier:
Disse kriteriene brukes bare til å bestemme om systemet er stabilt eller ikke, men de indikerer ikke graden av stabilitet, det vil si om systemet er mer eller mindre stabilt. For å sette pris på denne berømte graden av stabilitet , er det nødvendig å bruke andre verktøy som for eksempel fasemargin og marginstigning eller kvalitetsfaktor .
Merknader og referanser
-
I forhold til statlig representasjon, betyr dette at vi begrenser oss til å endelig dimensjonale systemer uten en direkte sikt. For eksempel har et system som består av en ren forsterkning (resp. Av en ren differensierer) for impulsrespons Dirac-fordelingen (resp. Deres derivat) som ikke er en funksjon.
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">